Тензор энергии-напряжения

Tensor describing energy momentum density in spacetime

Контравариантные компоненты тензора энергии-импульса.

Тензор энергии-импульса , иногда называемый тензором энергии-импульса или тензором энергии-импульса , является тензорной физической величиной , которая описывает плотность и поток энергии и импульса в пространстве-времени , обобщая тензор напряжений ньютоновской физики . Он является атрибутом материи , излучения и негравитационных силовых полей . Эта плотность и поток энергии и импульса являются источниками гравитационного поля в уравнениях поля Эйнштейна общей теории относительности , так же как плотность массы является источником такого поля в ньютоновской гравитации .

Определение

Тензор энергии-импульса подразумевает использование переменных с верхним индексом ( не экспонент; см. обозначение индекса тензора и обозначение суммирования Эйнштейна ). Если используются декартовы координаты в единицах СИ , то компоненты позиционного четырехвектора x задаются как: ( x ⁰ , x ¹ , x ² , x ³ ) = ( t , x , y , z ) , где t — время в секундах, а x , y и z — расстояния в метрах .

Тензор энергии-импульса определяется как тензор T ^αβ второго порядка, который дает поток α -й компоненты вектора импульса через поверхность с постоянной координатой x ^β . В теории относительности этот вектор импульса принимается за четырехимпульс . В общей теории относительности тензор энергии-импульса симметричен, ^[1]

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=T^{\beta \alpha }.}$

В некоторых альтернативных теориях, таких как теория Эйнштейна–Картана , тензор энергии-импульса может быть не идеально симметричным из-за ненулевого тензора спина , который геометрически соответствует ненулевому тензору кручения .

Компоненты

Поскольку тензор энергии-напряжения имеет порядок 2, его компоненты можно отобразить в виде матрицы 4 × 4:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}T^{00}&T^{01}&T^{02}&T^{03}\\T^{10}&T^{11}&T^{12}&T^{13}\\T^{20}&T^{21}&T^{22}&T^{23}\\T^{30}&T^{31}&T^{32}&T^{33}\end{pmatrix}}\,,}$

где индексы μ и ν принимают значения 0, 1, 2, 3.

В дальнейшем k и ℓ будут иметь значения от 1 до 3:

1. Компонент время-время представляет собой плотность релятивистской массы, т.е. плотность энергии , деленную на квадрат скорости света, находясь в сопутствующей системе отсчета . ^[2] Он имеет прямую физическую интерпретацию. В случае идеальной жидкости этот компонент равен

   ${\displaystyle T^{00}=\rho ~,}$

   где — релятивистская масса на единицу объема, а для электромагнитного поля в пустом пространстве эта компонента равна ${\displaystyle \rho }$

   ${\displaystyle T^{00}={1 \over c^{2}}\left({\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),}$

   где E и B — электрическое и магнитное поля соответственно. ^[3]
2. Поток релятивистской массы через поверхность x ^k эквивалентен k -й компоненте плотности линейного импульса ,

   ${\displaystyle T^{0k}=T^{k0}~.}$

3. Компоненты
   ${\displaystyle T^{k\ell }}$
   представляют собой поток k- го компонента линейного импульса через поверхность x ^ℓ . В частности,

   ${\displaystyle T^{kk}}$

   (не суммируется) представляет собой нормальное напряжение в k -м направлении координат ( k = 1, 2, 3 ), которое называется « давлением », когда оно одинаково в каждом направлении, k . Остальные компоненты

   ${\displaystyle T^{k\ell }\quad k\neq \ell }$

   представляют собой касательное напряжение (сравните с тензором напряжений ).

В физике твердого тела и механике жидкости тензор напряжения определяется как пространственные компоненты тензора напряжения-энергии в соответствующей системе отсчета. Другими словами, тензор напряжения-энергии в инженерии отличается от релятивистского тензора напряжения-энергии импульсно-конвективным членом.

Ковариантные и смешанные формы

Большая часть этой статьи работает с контравариантной формой T ^μν тензора энергии-импульса. Однако часто необходимо работать с ковариантной формой

${\displaystyle T_{\mu \nu }=T^{\alpha \beta }g_{\alpha \mu }g_{\beta \nu },}$

или смешанная форма,

${\displaystyle T^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu },}$

или как смешанная тензорная плотность

${\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\mu }{}_{\nu }=T^{\mu }{}_{\nu }{\sqrt {-g}}\,.}$

В данной статье для метрической сигнатуры используется пространственное соглашение о знаках (−+++).

Закон сохранения

В специальной теории относительности

Тензор энергии-импульса представляет собой сохраняющийся ток Нётер, связанный с пространственно-временными трансляциями .

Дивергенция негравитационного напряжения-энергии равна нулю. Другими словами, негравитационная энергия и импульс сохраняются,

${\displaystyle 0=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }{}.\!}$

Когда гравитация незначительна и используется декартова система координат для пространства-времени, это можно выразить через частные производные как

${\displaystyle 0=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }.\!}$

Интегральная форма нековариантной формулировки имеет вид

${\displaystyle 0=\int _{\partial N}T^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{3}s_{\nu }\!}$

где N — любая компактная четырехмерная область пространства-времени; — ее граница, трехмерная гиперповерхность; и — элемент границы, рассматриваемый как внешняя нормаль. ${\displaystyle \partial N}$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$

В плоском пространстве-времени и с использованием декартовых координат, если объединить это с симметрией тензора энергии-импульса, можно показать, что угловой момент также сохраняется:

${\displaystyle 0=(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })_{,\nu }.\!}$

В общей теории относительности

Когда гравитация не пренебрежимо мала или при использовании произвольных систем координат, расхождение напряжения-энергии все еще исчезает. Но в этом случае используется определение расхождения без координат , которое включает ковариантную производную

${\displaystyle 0=\operatorname {div} T=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}$

где - символ Кристоффеля , который представляет собой гравитационное силовое поле . ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

Следовательно, если — любое векторное поле Киллинга , то закон сохранения, связанный с симметрией, порожденной векторным полем Киллинга, может быть выражен как ${\displaystyle \xi ^{\mu }}$

${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }\left(\xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\right)={\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\nu }\left({\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\right)}$

Интегральная форма этого есть

${\displaystyle 0=\int _{\partial N}{\sqrt {-g}}\ \xi ^{\mu }T_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }=\int _{\partial N}\xi ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }\ \mathrm {d} ^{3}s_{\nu }}$

В специальной теории относительности

В специальной теории относительности тензор энергии-импульса содержит информацию о плотностях энергии и импульса данной системы, в дополнение к плотностям потока импульса и энергии. ^[4]

Учитывая плотность Лагранжа , которая является функцией набора полей и их производных, но явно не какой-либо из пространственно-временных координат, мы можем построить канонический тензор энергии-импульса, рассматривая полную производную по одной из обобщенных координат системы. Итак, с нашим условием ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle \phi _{\alpha }}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x^{\nu }}}=0}$

Используя цепное правило, мы имеем

${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {L}}}{dx^{\nu }}}=d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}{\frac {\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}{\frac {\partial \phi _{\alpha }}{\partial x^{\nu }}}}$

Написано в удобной стенографии,

${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\partial _{\mu }\phi _{\alpha }+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }}$

Затем мы можем использовать уравнение Эйлера–Лагранжа:

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{\alpha }}}}$

А затем используем тот факт, что частные производные коммутируют, так что теперь мы имеем

${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi _{\alpha }+\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\right)\partial _{\nu }\phi _{\alpha }}$

Мы можем распознать правую часть как правило произведения. Запись его как производной произведения функций говорит нам, что

${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }\right]}$

Теперь, в плоском пространстве, можно написать . Сделав это и переместив это на другую сторону уравнения, мы получаем, что ${\displaystyle d_{\nu }{\mathcal {L}}=\partial _{\mu }[\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}]}$

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }\right]-\partial _{\mu }\left(\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right)=0}$

И при перегруппировке условий,

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}\right]=0}$

Это означает, что дивергенция тензора в скобках равна 0. Действительно, таким образом мы определяем тензор энергии-импульса:

${\displaystyle T_{\nu }^{\mu }\equiv {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\nu }\phi _{\alpha }-\delta _{\nu }^{\mu }{\mathcal {L}}}$

По построению он имеет свойство, что

${\displaystyle \partial _{\mu }T_{\nu }^{\mu }=0}$

Обратите внимание, что это свойство бездивергентности этого тензора эквивалентно четырем уравнениям непрерывности . То есть поля имеют по крайней мере четыре набора величин, которые подчиняются уравнению непрерывности. В качестве примера можно увидеть, что — плотность энергии системы и что таким образом можно получить плотность гамильтониана из тензора энергии-импульса. ${\displaystyle T_{0}^{0}}$

Действительно, поскольку это так, то, заметив, что , мы тогда имеем ${\displaystyle \partial _{\mu }T_{0}^{\mu }=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }\right)=0}$

Тогда мы можем заключить, что члены представляют плотность потока энергии системы. ${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \nabla \phi _{\alpha }}}{\dot {\phi }}_{\alpha }}$

След

Обратите внимание, что след тензора энергии-напряжения определяется как , поэтому ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }}$

${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\mathcal {L}}.}$

С , ${\displaystyle \delta _{\mu }^{\mu }=4}$

${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{\alpha })}}\partial _{\mu }\phi _{\alpha }-4{\mathcal {L}}.}$

В общей теории относительности

В общей теории относительности симметричный тензор энергии-импульса действует как источник кривизны пространства-времени и является плотностью тока, связанной с калибровочными преобразованиями гравитации, которые являются общими криволинейными преобразованиями координат . (Если есть кручение , то тензор больше не является симметричным. Это соответствует случаю с ненулевым тензором спина в теории гравитации Эйнштейна–Картана .)

В общей теории относительности частные производные, используемые в специальной теории относительности, заменяются ковариантными производными . Это означает, что уравнение непрерывности больше не подразумевает, что негравитационная энергия и импульс, выраженные тензором, абсолютно сохраняются, т. е. гравитационное поле может выполнять работу над материей и наоборот. В классическом пределе ньютоновской гравитации это имеет простую интерпретацию: кинетическая энергия обменивается с гравитационной потенциальной энергией , которая не включена в тензор, и импульс передается через поле другим телам. В общей теории относительности псевдотензор Ландау–Лифшица является уникальным способом определения плотности энергии и импульса гравитационного поля. Любой такой псевдотензор энергии-импульса можно заставить локально исчезнуть с помощью преобразования координат.

В искривленном пространстве-времени пространственноподобный интеграл теперь зависит от пространственноподобного среза, в общем случае. Фактически нет способа определить глобальный вектор энергии-импульса в общем искривленном пространстве-времени.

Уравнения поля Эйнштейна

В общей теории относительности тензор энергии-импульса изучается в контексте уравнений поля Эйнштейна, которые часто записываются как

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$

где — тензор Риччи , — скаляр Риччи ( тензорная контракция тензора Риччи), — метрический тензор , Λ — космологическая постоянная (пренебрежимо малая в масштабах галактики или меньше), а — гравитационная постоянная Эйнштейна . ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle \kappa =8\pi G/c^{4}}$

Стресс–энергия в особых ситуациях

Изолированная частица

В специальной теории относительности энергия-импульс невзаимодействующей частицы с массой покоя m и траекторией равна: ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{p}}(t)}$

${\displaystyle T^{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,t)={\frac {m\,v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}}\;\,\delta \left(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t)\right)={\frac {E}{c^{2}}}\;v^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)\;\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{\text{p}}(t))}$

где — вектор скорости (который не следует путать с четырехскоростным , поскольку в нем отсутствует a ) ${\displaystyle v^{\alpha }}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle v^{\alpha }=\left(1,{\frac {d\mathbf {x} _{\text{p}}}{dt}}(t)\right)\,,}$

${\displaystyle \delta }$— дельта-функция Дирака , — энергия частицы. ${\textstyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$

На языке классической физики тензор энергии-импульса будет выглядеть следующим образом: (релятивистская масса, импульс, двоичное произведение импульса и скорости):

${\displaystyle \left({\frac {E}{c^{2}}},\,\mathbf {p} ,\,\mathbf {p} \,\mathbf {v} \right)}$.

Напряжение–энергия жидкости в равновесии

Для идеальной жидкости, находящейся в термодинамическом равновесии , тензор энергии-напряжения принимает особенно простую форму

${\displaystyle T^{\alpha \beta }\,=\left(\rho +{p \over c^{2}}\right)u^{\alpha }u^{\beta }+pg^{\alpha \beta }}$

где — плотность массы-энергии ( килограммов на кубический метр), — гидростатическое давление ( паскалей ), — 4-скорость жидкости , а — матрица, обратная метрическому тензору . Таким образом, след задается как ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u^{\alpha }}$ ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$

${\displaystyle T_{\,\alpha }^{\alpha }=g_{\alpha \beta }T^{\beta \alpha }=3p-\rho c^{2}\,.}$

Четырехскоростной удовлетворяет ​

${\displaystyle u^{\alpha }u^{\beta }g_{\alpha \beta }=-c^{2}\,.}$

В инерциальной системе отсчета, сопутствующей жидкости, более известной как собственная система отсчета жидкости , четырехскорость равна

${\displaystyle u^{\alpha }=(1,0,0,0)\,,}$

матрица, обратная метрическому тензору, просто

${\displaystyle g^{\alpha \beta }\,=\left({\begin{matrix}-{\frac {1}{c^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\,}$

а тензор энергии-напряжения представляет собой диагональную матрицу

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}\rho &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right).}$

Электромагнитный тензор энергии-напряжения

Тензор энергии-импульса Гильберта электромагнитного поля без источника равен

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F^{\mu \alpha }g_{\alpha \beta }F^{\nu \beta }-{\frac {1}{4}}g^{\mu \nu }F_{\delta \gamma }F^{\delta \gamma }\right)}$

где - тензор электромагнитного поля . ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$

Скалярное поле

Тензор энергии-импульса для комплексного скалярного поля , удовлетворяющего уравнению Клейна–Гордона, имеет вид ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }g^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi -g^{\mu \nu }mc^{2}{\bar {\phi }}\phi ,}$

а когда метрика плоская (Минковский в декартовых координатах), ее компоненты получаются следующими:

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{00}&={\frac {\hbar ^{2}}{mc^{4}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi +c^{2}\partial _{k}{\bar {\phi }}\partial _{k}\phi \right)+m{\bar {\phi }}\phi ,\\T^{0i}=T^{i0}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{mc^{2}}}\left(\partial _{0}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi +\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{0}\phi \right),\ \mathrm {and} \\T^{ij}&={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\left(\partial _{i}{\bar {\phi }}\partial _{j}\phi +\partial _{j}{\bar {\phi }}\partial _{i}\phi \right)-\delta _{ij}\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\alpha }{\bar {\phi }}\partial _{\beta }\phi +mc^{2}{\bar {\phi }}\phi \right).\end{aligned}}}$

Варианты определений стресса–энергии

Существует ряд неэквивалентных определений ^[5] негравитационного напряжения-энергии:

Тензор энергии-напряжения Гильберта

Тензор энергии-напряжения Гильберта определяется как функциональная производная

${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta S_{\mathrm {matter} }}{\delta g^{\mu \nu }}}={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }\right)}{\partial g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}{\partial g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} },}$

где — негравитационная часть действия , — негравитационная часть плотности лагранжиана , и использовалось уравнение Эйлера–Лагранжа . Оно симметрично и калибровочно-инвариантно. Для получения дополнительной информации см. действие Эйнштейна–Гильберта . ${\displaystyle S_{\mathrm {matter} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {matter} }}$

Канонический тензор энергии-напряжения

Теорема Нётер подразумевает, что существует сохраняющийся ток, связанный с трансляциями в пространстве и времени; подробности см. в разделе выше о тензоре энергии-импульса в специальной теории относительности. Это называется каноническим тензором энергии-импульса. Как правило, это не симметрично, и если у нас есть некоторая калибровочная теория, она может не быть калибровочно-инвариантной, поскольку зависящие от пространства калибровочные преобразования не коммутируют с пространственными трансляциями.

В общей теории относительности переносы происходят относительно системы координат и, как таковые, не преобразуются ковариантно. См. раздел ниже о псевдотензоре гравитационного напряжения–энергии.

Тензор энергии-напряжения Белинфанте–Розенфельда

При наличии спина или другого внутреннего углового момента канонический тензор напряжения-энергии Нётера не может быть симметричным. Тензор напряжения-энергии Белинфанте-Розенфельда строится из канонического тензора напряжения-энергии и спинового тока таким образом, чтобы быть симметричным и при этом сохраняться. В общей теории относительности этот модифицированный тензор согласуется с тензором напряжения-энергии Гильберта.

Гравитационное напряжение–энергия

По принципу эквивалентности гравитационное напряжение-энергия всегда будет локально обращаться в нуль в любой выбранной точке в некоторой выбранной системе отсчета, поэтому гравитационное напряжение-энергия не может быть выражено как ненулевой тензор; вместо этого мы должны использовать псевдотензор .

В общей теории относительности существует множество возможных различных определений псевдотензора гравитационного напряжения-энергии-импульса. К ним относятся псевдотензор Эйнштейна и псевдотензор Ландау-Лифшица . Псевдотензор Ландау-Лифшица может быть сведен к нулю в любом событии в пространстве-времени путем выбора подходящей системы координат.

Смотрите также

• Электромагнитный тензор энергии-напряжения
• Состояние энергии
• Плотность энергии электрических и магнитных полей
• Тензор напряжений Максвелла
• Вектор Пойнтинга
• исчисление Риччи
• классификация Сегре

Примечания и ссылки

1. На стр. 141–142 Мизнера, Торна и Уиллера раздел 5.7 «Симметрия тензора энергии-напряжения» начинается словами: «Все тензоры энергии-напряжения, рассмотренные выше, были симметричными. То, что они не могли быть симметричными, можно увидеть из следующего».
2. Мизнер, Чарльз В.; Торн, Кип С.; Уилер, Джон А. (1973). Гравитация . Сан-Франциско, Калифорния: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0334-3.
3. d'Inverno, RA (1992). Введение в теорию относительности Эйнштейна . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-859686-8.
4. Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (2010). Классическая теория полей (4-е изд.). Butterworth-Heinemann. стр. 84–85. ISBN 978-0-7506-2768-9.
5. Бейкер, MR; Кирющева, Н.; Кузьмин, С. (2021). «Тензоры энергии-импульса Нётер и Гильберта (метрические) в общем случае не эквивалентны». Nuclear Physics B . 962 (1): 115240. arXiv : 2011.10611 . Bibcode :2021NuPhB.96215240B. doi :10.1016/j.nuclphysb.2020.115240. S2CID  227127490.

• W. Wyss (2005). «Тензор энергии-импульса в классической теории поля» (PDF) . Колорадо, США.

Внешние ссылки

• Лекция, Стефан Ванер
• Учебник Caltech по теории относительности — Простое обсуждение связи между тензором энергии-импульса общей теории относительности и метрикой