Закон всемирного тяготения Ньютона

Классическое утверждение гравитации как силы

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что каждая частица притягивает любую другую частицу во Вселенной с силой , пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами. Отдельные предметы притягиваются и притягиваются так, как если бы вся их масса сосредоточилась в их центрах . Публикация закона стала известна как « первое великое объединение », поскольку оно ознаменовало объединение ранее описанных явлений гравитации на Земле с известными астрономическими закономерностями. ^{[1] [2] [3]}

Это общий физический закон , выведенный на основе эмпирических наблюдений с помощью того, что Исаак Ньютон называл индуктивным рассуждением . ^[4] Она является частью классической механики и была сформулирована в работе Ньютона Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (« Начала »), впервые опубликованной 5 июля 1687 года.

Таким образом, уравнение всемирного тяготения принимает вид:

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},}$

где F — сила гравитации, действующая между двумя объектами, m ₁ и m ₂ — массы объектов, r — расстояние между центрами их масс , а G — гравитационная постоянная .

Первой проверкой закона тяготения Ньютона между массами в лаборатории стал эксперимент Кавендиша , проведенный британским ученым Генри Кавендишем в 1798 году. ^{[5] Он состоялся через 111 лет после публикации} «Начал» Ньютона и примерно через 71 год после его смерти.

Закон гравитации Ньютона напоминает закон электрических сил Кулона , который используется для расчета величины электрической силы, возникающей между двумя заряженными телами. Оба являются законами обратных квадратов , где сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. В законе Кулона вместо массы используется заряд и другая константа.

Закон Ньютона позже был заменен общей теорией относительности Альберта Эйнштейна , но универсальность гравитационной постоянной сохранилась, и закон до сих пор продолжает использоваться как превосходное приближение эффектов гравитации в большинстве приложений. Теория относительности требуется только тогда, когда существует необходимость в предельной точности или когда мы имеем дело с очень сильными гравитационными полями, например, теми, которые обнаруживаются вблизи чрезвычайно массивных и плотных объектов, или на небольших расстояниях (например, на орбите Меркурия вокруг Солнца).

История

Около 1600 года научный метод начал укореняться. Рене Декарт начал с более фундаментальной точки зрения, развивая идеи материи и действия независимо от теологии. Галилео Галилей писал об экспериментальных измерениях падающих и катящихся предметов. Законы движения планет Иоганна Кеплера обобщили астрономические наблюдения Тихо Браге . ^{[6] : 132}

Около 1666 года Исаак Ньютон разработал идею о том, что законы Кеплера должны применяться также к орбите Луны вокруг Земли, а затем и ко всем объектам на Земле. Для анализа потребовалось предположить, что сила гравитации действовала так, как если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре, что на тот момент было недоказанной гипотезой. Его расчеты времени обращения Луны находились в пределах 16% от известного значения. К 1680 году новые значения диаметра Земли улучшили время его обращения по орбите с точностью до 1,6%, но, что более важно, Ньютон нашел доказательство своей более ранней гипотезы. ^{[7] : 201}

В 1687 году Ньютон опубликовал свои «Начала» , в которых его законы движения сочетались с новым математическим анализом для объяснения эмпирических результатов Кеплера. ^{[6] : 134} Его объяснение было в форме закона всемирного тяготения: любые два тела притягиваются силой, пропорциональной их массе и обратно пропорциональной квадрату их расстояния. ^{[8] : 28} Первоначальная формула Ньютона была:

${\displaystyle {\rm {Force\,of\,gravity}}\propto {\frac {\rm {mass\,of\,object\,1\,\times \,mass\,of\,object\,2}}{\rm {distance\,from\,centers^{2}}}}}$

где этот символ означает «пропорционален». Чтобы превратить это в равностороннюю формулу или уравнение, должен был быть умножающий коэффициент или константа, которая давала бы правильную силу гравитации независимо от значения масс или расстояния между ними (гравитационная постоянная). Ньютону понадобилась бы точная мера этой константы, чтобы доказать свой закон обратных квадратов. (Когда Ньютон представил в апреле 1686 года Королевскому обществу Книгу 1 неопубликованного текста , Роберт Гук заявил, что Ньютон получил от него закон обратных квадратов, что в конечном итоге оказалось необоснованным обвинением ^{[7] : 204} ) ${\displaystyle \propto }$

Ньютоновские «неизвестные до сих пор причины»

Хотя Ньютон смог сформулировать свой закон тяготения в своей монументальной работе, ему было очень не по себе понятие «действия на расстоянии», которое подразумевалось в его уравнениях. В 1692 году в своем третьем письме Бентли он писал: «То, что одно тело может действовать на другое на расстоянии через вакуум без посредничества чего-либо еще, посредством чего их действие и сила могут передаваться друг от друга, является для меня это настолько великая нелепость, что, я думаю, ни один человек, обладающий в философских вопросах компетентным мышлением, никогда не сможет в нее впасть».

Он никогда, по его словам, "не назначал причину этой власти". Во всех остальных случаях он использовал явление движения для объяснения происхождения различных сил, действующих на тела, но в случае тяготения ему не удалось экспериментально выявить движение, вызывающее силу тяготения (хотя он выдвинул две механические гипотезы в 1675 и 1717 годах). Более того, он отказался даже предложить гипотезу о причине этой силы на том основании, что это противоречит здравой науке. Он посетовал, что «философы до сих пор тщетно пытались найти в природе» источник гравитационной силы, поскольку он был убежден «по многим причинам», что существуют «до сих пор неизвестные причины», которые были фундаментальными для всех «феноменов природы». ". Эти фундаментальные явления все еще исследуются, и, хотя гипотез имеется множество, окончательный ответ еще не найден. И в «Общем схолии» Ньютона 1713 года во втором издании «Начал» : «Я еще не смог открыть причину этих свойств гравитации на основе явлений и не выдвигаю никаких гипотез … Достаточно того, что гравитация действительно существует и действует». согласно законам, которые я объяснил, и что это в значительной степени служит для объяснения всех движений небесных тел». ^[9]

Современная форма

Говоря современным языком, в законе говорится следующее:

График ошибок , показывающий экспериментальные значения G.

В системе СИ F измеряется в ньютонах (Н), м ₁ и м ₂ в килограммах (кг), r в метрах (м), а константа G равна6,674 30 (15) × 10 ⁻¹¹  м ³ ⋅кг ⁻¹ ⋅с ⁻² . ^[11] Значение константы G было впервые точно определено по результатам эксперимента Кавендиша, проведенного британским учёным Генри Кавендишем в 1798 году, хотя сам Кавендиш не рассчитал численное значение G . ^[5] Этот эксперимент был также первой проверкой теории Ньютона о гравитации между массами в лаборатории. Это произошло через 111 лет после публикации «Начал» Ньютона и через 71 год после смерти Ньютона, поэтому ни в одном из расчетов Ньютона нельзя было использовать значение G ; вместо этого он мог только вычислить силу относительно другой силы.

Тела с пространственной протяженностью

Напряженность гравитационного поля внутри Земли

Гравитационное поле у ​​поверхности Земли - показано, как объект ускоряется к поверхности.

Если рассматриваемые тела имеют пространственную протяженность (а не являются точечными массами), то сила гравитации между ними рассчитывается путем суммирования вкладов воображаемых точечных масс, составляющих тела. В пределе, когда точечные массы компонентов становятся «бесконечно малыми», это влечет за собой интегрирование силы (в векторной форме, см. Ниже) по протяженности двух тел .

Таким образом, можно показать, что объект со сферически-симметричным распределением массы оказывает такое же гравитационное притяжение на внешние тела, как если бы вся масса объекта была сосредоточена в точке в его центре. ^[10] (Это, как правило, не верно для несферически симметричных тел.)

Для точек внутри сферически симметричного распределения материи теорема Ньютона о оболочках может использоваться для определения гравитационной силы. Теорема говорит нам, как различные части распределения массы влияют на силу гравитации, измеренную в точке, расположенной на расстоянии r ₀ от центра распределения массы: ^[12]

• Часть массы, расположенная на радиусах r < r _0, вызывает на радиусе r ₀ такую ​​же силу , как если бы вся масса, заключенная внутри сферы радиуса r _0, была сосредоточена в центре распределения массы (как отмечалось выше). ).
• Часть массы, расположенная на радиусах r > r _0, не оказывает результирующей гравитационной силы на радиусе r ₀ от центра. То есть отдельные гравитационные силы, действующие на точку радиуса r ₀ элементами массы вне радиуса r ₀ , нейтрализуют друг друга.

Как следствие, например, внутри оболочки одинаковой толщины и плотности нигде внутри полой сферы нет чистого гравитационного ускорения.

Векторная форма

Гравитационное поле, окружающее Землю, с макроскопической точки зрения.

Закон всемирного тяготения Ньютона можно записать в виде векторного уравнения , позволяющего объяснить направление гравитационной силы, а также ее величину. В этой формуле величины, выделенные жирным шрифтом, представляют собой векторы.

$${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}_{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{3}}\mathbf {r} _{21}}$$

• F ₂₁ — сила, действующая на тело 2 со стороны тела 1,
• G — гравитационная постоянная ,
• m ₁ и m ₂ — соответственно массы тел 1 и 2,
• r ₂₁ = r ₂ − r ₁ — вектор перемещения между телами 1 и 2, а
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r_{2}-r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}-r_{1}} |}}}$— единичный вектор от тела 1 к телу 2. ^[13]

Видно, что векторная форма уравнения такая же, как и скалярная форма, приведенная ранее, за исключением того, что F теперь является векторной величиной, а правая часть умножается на соответствующий единичный вектор. Также можно видеть, что F ₁₂ = − F ₂₁ .

Гравитационное поле

Гравитационное поле — это векторное поле , которое описывает гравитационную силу, которая будет приложена к объекту в любой заданной точке пространства на единицу массы. Фактически оно равно гравитационному ускорению в этой точке.

Это обобщение векторной формы, которое становится особенно полезным, если задействовано более двух объектов (например, ракета между Землей и Луной). Для двух объектов (например, объект 2 — ракета, объект 1 — Земля) мы просто пишем r вместо r ₁₂ и m вместо m ₂ и определяем гравитационное поле g ( r ) как:

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{m_{1} \over {{\vert \mathbf {r} \vert }^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}} }$

чтобы мы могли написать:

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} ).}$

Эта формулировка зависит от объектов, вызывающих поле. Поле имеет единицы ускорения; в системе СИ это м/с ² .

Гравитационные поля также консервативны ; то есть работа, совершаемая гравитацией из одного положения в другое, не зависит от пути. Это приводит к тому, что существует гравитационное потенциальное поле V ( r ) такое, что

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).}$

Если m ₁ — точечная масса или масса сферы с однородным распределением массы, то силовое поле g ( r ) вне сферы изотропно, т. е. зависит только от расстояния r от центра сферы. В таком случае

${\displaystyle V(r)=-G{\frac {m_{1}}{r}}.}$

гравитационное поле действует внутри и снаружи симметричных масс.

Согласно закону Гаусса , поле в симметричном теле можно найти по математическому уравнению:

${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {g(r)} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM_{\text{enc}},}$

где – замкнутая поверхность, – масса, заключенная в поверхности. ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle M_{\text{enc}}}$

Следовательно, для полой сферы радиусом и полной массой ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}0,&{\text{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{if }}r\geq R\end{cases}}}$

Для однородной твердой сферы радиуса и полной массы ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle |\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}{\dfrac {GMr}{R^{3}}},&{\text{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{if }}r\geq R\end{cases}}}$

Ограничения

Описание гравитации, данное Ньютоном, достаточно точно для многих практических целей и поэтому широко используется. Отклонения от него малы при безразмерных величинах и обе много меньше единицы, где – гравитационный потенциал , – скорость изучаемых объектов, – скорость света в вакууме. ^[14] Например, ньютоновская гравитация обеспечивает точное описание системы Земля/Солнце, поскольку ${\displaystyle \phi /c^{2}}$ ${\displaystyle (v/c)^{2}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\frac {\phi }{c^{2}}}={\frac {GM_{\mathrm {sun} }}{r_{\mathrm {orbit} }c^{2}}}\sim 10^{-8},\quad \left({\frac {v_{\mathrm {Earth} }}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {2\pi r_{\mathrm {orbit} }}{(1\ \mathrm {yr} )c}}\right)^{2}\sim 10^{-8},}$

где - радиус орбиты Земли вокруг Солнца. ${\displaystyle r_{\text{orbit}}}$

В ситуациях, когда любой безразмерный параметр велик, для описания системы необходимо использовать общую теорию относительности . Общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации в пределе малого потенциала и малых скоростей, поэтому закон гравитации Ньютона часто называют пределом низкой гравитации общей теории относительности.

Наблюдения, противоречащие формуле Ньютона

• Теория Ньютона не вполне объясняет прецессию перигелия орбит планет, особенно Меркурия, обнаруженную спустя много времени после жизни Ньютона. ^[15] Существует расхождение в 43 угловых секунды за столетие между ньютоновскими расчетами, возникающими только из-за гравитационного притяжения других планет, и наблюдаемой прецессией, полученной с помощью современных телескопов в 19 веке.
• Предсказанное угловое отклонение световых лучей под действием силы тяжести (рассматриваемое как частицы, движущиеся с ожидаемой скоростью), рассчитанное с использованием теории Ньютона, составляет лишь половину отклонения, наблюдаемого астрономами. ^{[ нужна цитата ]} Расчеты с использованием общей теории относительности находятся в гораздо более близком согласии с астрономическими наблюдениями.
• В спиральных галактиках вращение звезд вокруг их центров, по-видимому, категорически не подчиняется как закону всемирного тяготения Ньютона, так и общей теории относительности. Астрофизики, однако, объясняют это заметное явление, предполагая наличие большого количества темной материи .

Решение Эйнштейна

Первые два конфликта с приведенными выше наблюдениями были объяснены общей теорией относительности Эйнштейна , в которой гравитация является проявлением искривленного пространства-времени , а не возникает из-за силы, распространяющейся между телами. В теории Эйнштейна энергия и импульс искажают пространство-время вблизи себя, а другие частицы движутся по траекториям, определяемым геометрией пространства-времени. Это позволило описать движения света и массы, согласующееся со всеми доступными наблюдениями. В общей теории относительности гравитационная сила — это фиктивная сила, возникающая в результате искривления пространства-времени , поскольку гравитационное ускорение тела в свободном падении обусловлено тем, что его мировая линия является геодезической линией пространства -времени .

Расширения

В последние годы поиск членов необратных квадратов в законе гравитации проводился с помощью нейтронной интерферометрии . ^[16]

Решения закона всемирного тяготения Ньютона.

Проблема n тел — древняя классическая задача ^[17] предсказания отдельных движений группы небесных объектов, гравитационно взаимодействующих друг с другом . Решение этой проблемы — со времен греков и далее — было мотивировано желанием понять движение Солнца , планет и видимых звезд . В 20 веке понимание динамики звездных систем шаровых скоплений также стало важной проблемой n -тел. Задачу n тел в общей теории относительности решить значительно сложнее.

Классическую физическую задачу можно неформально сформулировать так: учитывая квазистационарные орбитальные свойства ( мгновенное положение, скорость и время ) ^[18] группы небесных тел, предсказать силы их взаимодействия; и, следовательно, предсказать их истинные орбитальные движения на все будущие времена . ^[19]

Задача двух тел полностью решена, как и ограниченная задача трех тел . ^[20]

Смотрите также

• Физический портал

• Парадокс Бентли  - Космологический парадокс, связанный с гравитацией.
• Закон гравитации Гаусса  - повторение закона всемирного тяготения Ньютона.
• Фреймы Джордана и Эйнштейна  - разные соглашения для метрического тензора в теории дилатона, связанного с гравитацией.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Орбита Кеплера  - Небесная орбита, траектория которой представляет собой коническое сечение в плоскости орбиты.
• Пушечное ядро ​​Ньютона  – мысленный эксперимент о гравитации
• Законы движения Ньютона  - Законы физики о силе и движении.
• Социальная гравитация  - Социальная теория
• Статические силы и обмен виртуальными частицами  - Физическое взаимодействие в постклассической физике

Примечания

Рекомендации

1. Фриц Рорлих (25 августа 1989 г.). От парадокса к реальности: наши основные концепции физического мира. Издательство Кембриджского университета. стр. 28–. ISBN 978-0-521-37605-1.
2. Клаус Майнцер (2 декабря 2013 г.). Симметрии природы: Справочник по философии природы и науки. Вальтер де Грюйтер. стр. 8–. ISBN 978-3-11-088693-1.
3. «Физика: фундаментальные силы и синтез теории | Encyclepedia.com». www.энциклопедия.com .
4. Исаак Ньютон: «В [экспериментальной] философии частные положения выводятся из явлений, а затем становятся общими посредством индукции»: « Principia », Книга 3, General Scholium, стр. 392 во 2 томе английского перевода Эндрю Мотта, опубликованного в 1729 году.
5. Эксперимент Мичелла-Кавендиша, Лоран Ходжес
6. Гессен, Мэри Б. (2005). Силы и поля: концепция действия на расстоянии в истории физики (изд. Дувра). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-44240-2.
7. Feather, Норман (1959). Введение в физику массы-длины и времени . Издательство Эдинбургского университета.
8. Уиттакер, Эдмунд Т. (1989). История теорий эфира и электричества. 1: Классические теории (Ред.). Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN 978-0-486-26126-3.
9. Построение современной науки: механизмы и механика , Ричард С. Вестфолл. Издательство Кембриджского университета. 1978 год
10. Предложение 75, Теорема 35: с. 956 — И.Бернард Коэн и Энн Уитмен, переводчики: Исаак Ньютон , «Начала : Математические начала естественной философии» . Ему предшествовал «Путеводитель по «Началам» Ньютона » И. Бернарда Коэна. Издательство Калифорнийского университета, ISBN 1999 г. 0-520-08816-6 ISBN 0-520-08817-4   
11. «Значение CODATA 2018: гравитационная постоянная Ньютона» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 20 мая 2019 г.
12. «Вращательное сплющивание». Farside.ph.utexas.edu .
13. Векторная разность r ₂ − r ₁ указывает от объекта 1 к объекту 2. См. рис. 11–6. из «Фейнмановских лекций по физике», том I, уравнение (9.19) из «Фейнмановских лекций по физике», том I и евклидов вектор # Сложение и вычитание
14. Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Нью-Йорк: WHFreeman and Company. ISBN 978-0-7167-0344-0.Страница 1049.
15. Макс Борн (1924), Теория относительности Эйнштейна (Дуврское издание 1962 года, стр. 348 содержит таблицу, документирующую наблюдаемые и рассчитанные значения прецессии перигелия Меркурия, Венеры и Земли.)
16. Грин, Джеффри Л.; Гудков, Владимир (2007). «Нейтронно-интерферометрический метод, обеспечивающий улучшенные ограничения неньютоновской гравитации в нанометровом масштабе». Физический обзор C . 75 (1): 015501. arXiv : hep-ph/0608346 . Бибкод : 2007PhRvC..75a5501G. doi : 10.1103/PhysRevC.75.015501. S2CID  39665455.
17. Лейманис и Минорский: Нас интересует Лейманис, который сначала обсуждает некоторую историю проблемы n тел, особенно г-жу Ковалевскую ~ 1868–1888, двадцатилетний подход с комплексными переменными, неудачу; Раздел 1: Динамика твердых тел и математическая внешняя баллистика (Глава 1, движение твердого тела вокруг неподвижной точки ( уравнения Эйлера и Пуассона ); глава 2, Математическая внешняя баллистика ), хорошая предыстория проблемы n тел. ; Раздел 2: Небесная механика (Глава 1, Униформизация задачи трех тел (ограниченная задача трех тел); Глава 2, Захват в задаче трех тел ; Глава 3, Обобщенная задача n тел ).
18. Квазипостоянные нагрузки относятся к мгновенным инерционным нагрузкам, создаваемым мгновенными угловыми скоростями и ускорениями, а также поступательными ускорениями (9 переменных). Это похоже на то, как если бы кто-то сделал фотографию, которая также зафиксировала мгновенное положение и свойства движения. Напротив, устойчивое состояние относится к состоянию системы, инвариантному во времени; в противном случае первые производные и все высшие производные равны нулю.
19. Р. М. Розенберг аналогичным образом формулирует проблему n тел (см. Ссылки): Каждая частица в системе из конечного числа частиц подвергается ньютоновскому гравитационному притяжению со стороны всех других частиц и никаким другим силам. Если задано начальное состояние системы, как будут двигаться частицы? Розенберг, как и все остальные, не осознал, что необходимо сначала определить силы, прежде чем можно будет определить движения.
20. Известно, что общее классическое решение в терминах первых интегралов невозможно. Точное теоретическое решение для произвольного n можно аппроксимировать рядом Тейлора , но на практике такой бесконечный ряд необходимо усекать, что дает в лучшем случае только приближенное решение; и этот подход сейчас устарел. Кроме того, задачу n тел можно решить с помощью численного интегрирования , но это тоже приближенные решения; и снова устарело. См. книгу Сверре Дж. Ошета « Моделирование гравитационного тела N» , указанную в списке литературы.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с законом всемирного тяготения Ньютона, на Викискладе?
• Падение пера и молота на Луну на YouTube
• Javascript-калькулятор закона всемирного тяготения Ньютона