В физике , в частности в специальной теории относительности и общей теории относительности , 4-скорость — это 4-вектор в четырехмерном пространстве-времени [nb 1] , представляющий собой релятивистский аналог скорости , которая является трехмерным вектором в пространстве.
Физические события соответствуют математическим точкам во времени и пространстве, а совокупность всех этих точек вместе образует математическую модель физического четырехмерного пространства-времени. История объекта прослеживает кривую в пространстве-времени, называемую его мировой линией . Если объект имеет массу , так что его скорость обязательно меньше скорости света , мировая линия может быть параметризована собственным временем объекта. Четырехскорость — это скорость изменения четырехпозиционного положения относительно собственного времени вдоль кривой. Скорость, напротив, — это скорость изменения положения в (трехмерном) пространстве объекта, как его видит наблюдатель, относительно времени наблюдателя.
Значение величины 4 -скорости объекта, т. е. величина, полученная путем применения метрического тензора g к 4-скорости U , то есть ‖ U ‖ 2 = U ⋅ U = g μν U ν U μ , всегда равно ± c 2 , где c — скорость света. Применимость знака плюс или минус зависит от выбора метрической сигнатуры . Для покоящегося объекта его 4-скорость параллельна направлению временной координаты с U 0 = c . Таким образом, 4-скорость — это нормализованный направленный в будущее времениподобный касательный вектор к мировой линии и является контравариантным вектором . Хотя это вектор, сложение двух 4-скоростей не дает 4-скорости: пространство 4-скоростей само по себе не является векторным пространством . [nb 2]
Путь объекта в трехмерном пространстве (в инерциальной системе отсчета) можно выразить через три пространственные координатные функции x i ( t ) времени t , где i — индекс , принимающий значения 1, 2, 3.
Три координаты образуют трехмерный вектор положения , записанный в виде вектора-столбца.
Компоненты скорости (касательной к кривой) в любой точке мировой линии равны
Каждый компонент просто написан
В теории относительности Эйнштейна путь объекта, движущегося относительно конкретной системы отсчета, определяется четырьмя функциями координат x μ ( τ ) , где μ — индекс пространства-времени, который принимает значение 0 для временной компоненты и 1, 2, 3 для пространственноподобных координат. Нулевая компонента определяется как временная координата, умноженная на c ,
Каждая функция зависит от одного параметра τ, называемого ее собственным временем . Как вектор-столбец,
Из замедления времени следует , что дифференциалы в координатном времени t и собственном времени τ связаны соотношением , где фактор Лоренца является функцией евклидовой нормы u трехмерного вектора скорости :
Четырехскорость — это касательный четырехвектор времениподобной мировой линии . Четырехскорость в любой точке мировой линии определяется как: где — четырехпозиционное положение , а — собственное время . [1]
Четырехскорость, определенная здесь с использованием собственного времени объекта, не существует для мировых линий безмассовых объектов, таких как фотоны, движущиеся со скоростью света; она также не определена для тахионных мировых линий, где касательный вектор является пространственноподобным .
Связь между временем t и координатным временем x 0 определяется соотношением
Взяв производную от этого по собственному времени τ , находим компоненту скорости U μ при μ = 0 :
а для остальных 3-х компонентов собственного времени мы получаем компонент скорости U μ для μ = 1, 2, 3 : где мы использовали цепное правило и соотношения
Таким образом, для четырехскорости находим :
В стандартной четырехвекторной нотации это выглядит так: где — временная составляющая, а — пространственная составляющая.
В терминах синхронизированных часов и линеек, связанных с определенным срезом плоского пространства-времени, три пространственноподобных компонента 4-скорости определяют собственную скорость движущегося объекта, то есть скорость, с которой преодолевается расстояние в системе отсчета карты за единицу собственного времени, прошедшего по часам, движущимся вместе с объектом.
В отличие от большинства других четырехвекторов, четырехскорость имеет только 3 независимых компонента вместо 4. Фактор является функцией трехмерной скорости .
При умножении определенных скаляров Лоренца на 4-скорость получаются новые физические 4-векторы, имеющие 4 независимых компонента.
Например:
Фактически, фактор объединяется со скалярным членом Лоренца, образуя 4-й независимый компонент и
Используя дифференциал четырехпозиционной системы отсчета в покоящейся системе отсчета, величину четырехскорости можно получить с помощью метрики Минковского с сигнатурой (−, +, +, +) : короче говоря, величина четырехскорости для любого объекта всегда является фиксированной константой:
В движущейся системе отсчета та же норма равна: так что:
что сводится к определению фактора Лоренца.