Четырех-силовой

4-мерный аналог силы, используемый в теории относительности

В специальной теории относительности четырехсила — это четырехвектор , заменяющий классическую силу .

В специальной теории относительности

Четырех-сила определяется как скорость изменения четырех -импульса частицы по отношению к собственному времени частицы . Следовательно,:

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\mathrm {d} \mathbf {P} \over \mathrm {d} \tau }.}$$

Для частицы постоянной инвариантной массы 4-импульс определяется соотношением , где 4 -скорость . По аналогии со вторым законом Ньютона 4-силу можно связать с 4-ускорением , , уравнением: ${\displaystyle m>0}$ ${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {U} }$ ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,\mathbf {u} )}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {A} =\left(\gamma {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} \over c},\gamma {\mathbf {f} }\right).}$$

Здесь

$${\displaystyle {\mathbf {f} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma m{\mathbf {u} }\right)={\mathrm {d} \mathbf {p} \over \mathrm {d} t}}$$

и

$${\displaystyle {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\left(\gamma mc^{2}\right)={\mathrm {d} E \over \mathrm {d} t}.}$$

где , и — трехмерные векторы, описывающие скорость, импульс частицы и силу, действующую на нее соответственно; а — полная энергия частицы. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle E}$

Включая термодинамические взаимодействия

Из формул предыдущего раздела следует, что временная составляющая 4-силы — это затраченная мощность, , за исключением релятивистских поправок . Это справедливо только в чисто механических ситуациях, когда теплообмен исчезает или им можно пренебречь. ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \gamma /c}$

В полном термомеханическом случае не только работа , но и тепло вносят вклад в изменение энергии, которая является временной составляющей ковектора энергии-импульса . Временная составляющая 4-силы включает в этом случае скорость нагрева , помимо мощности . ^[1] Обратите внимание, что работа и тепло не могут быть осмысленно разделены, поскольку они обе несут инерцию. ^[2] Этот факт распространяется также на контактные силы, то есть на тензор напряжения-энергии-импульса . ^{[3] [2]} ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$

Таким образом, в термомеханических ситуациях временная составляющая четырехсилы не пропорциональна мощности , а имеет более общее выражение, которое следует давать в каждом конкретном случае и которое представляет собой запас внутренней энергии из комбинации работы и тепла, ^{[2] [1] [4] [3]} и которое в ньютоновском пределе становится . ${\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ ${\displaystyle h+\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$

В общей теории относительности

В общей теории относительности соотношение между 4-силой и 4-ускорением остается прежним, но элементы 4-силы связаны с элементами 4-импульса через ковариантную производную по собственному времени.

$${\displaystyle F^{\lambda }:={\frac {DP^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dP^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }P^{\nu }}$$

Кроме того, мы можем сформулировать силу, используя концепцию преобразований координат между различными системами координат. Предположим, что мы знаем правильное выражение для силы в системе координат, в которой частица на мгновение находится в состоянии покоя. Затем мы можем выполнить преобразование в другую систему, чтобы получить соответствующее выражение силы. ^[5] В специальной теории относительности преобразование будет преобразованием Лоренца между системами координат, движущимися с относительной постоянной скоростью, тогда как в общей теории относительности это будет общее преобразование координат.

Рассмотрим 4-силу, действующую на частицу массы , которая на мгновение находится в покое в системе координат. Релятивистская сила в другой системе координат, движущейся с постоянной скоростью относительно другой, получается с помощью преобразования Лоренца: ${\displaystyle F^{\mu }=(F^{0},\mathbf {F} )}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f^{\mu }}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &=\mathbf {F} +(\gamma -1)\mathbf {v} {\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} \over v^{2}},\\f^{0}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {F} ={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {f} .\end{aligned}}}$$

где . ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}$

В общей теории относительности выражение для силы становится

$${\displaystyle f^{\mu }=m{DU^{\mu } \over d\tau }}$$

с ковариантной производной . Уравнение движения становится ${\displaystyle D/d\tau }$

$${\displaystyle m{d^{2}x^{\mu } \over d\tau ^{2}}=f^{\mu }-m\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{dx^{\nu } \over d\tau }{dx^{\lambda } \over d\tau },}$$

где — символ Кристоффеля . Если внешняя сила отсутствует, это становится уравнением для геодезических в искривленном пространстве-времени . Второй член в приведенном выше уравнении играет роль силы тяготения. Если — правильное выражение для силы в свободно падающей системе отсчета , то мы можем использовать принцип эквивалентности , чтобы записать 4-силу в произвольной координате : ${\displaystyle \Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }}$ ${\displaystyle f_{f}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

$${\displaystyle f^{\mu }={\partial x^{\mu } \over \partial \xi ^{\alpha }}f_{f}^{\alpha }.}$$

Примеры

В специальной теории относительности четвертая сила Лоренца (четырехсила, действующая на заряженную частицу, находящуюся в электромагнитном поле) может быть выражена как: $${\displaystyle f_{\mu }=qF_{\mu \nu }U^{\nu },}$$

где

• ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$- электромагнитный тензор ,
• ${\displaystyle U^{\nu }}$является четырехскоростным , и
• ${\displaystyle q}$это электрический заряд .

Смотрите также

• четырехвекторный
• четырехскоростной
• четыре-ускорение
• четыре-импульса
• четырехградиентный

Ссылки

1. Grot, Richard A.; Eringen, A. Cemal (1966). «Релятивистская механика сплошной среды: Часть I – Механика и термодинамика». Int. J. Engng Sci . 4 (6): 611–638, 664. doi :10.1016/0020-7225(66)90008-5.
2. Эккарт, Карл (1940). «Термодинамика необратимых процессов. III. Релятивистская теория простой жидкости». Phys. Rev. 58 ( 10): 919–924. Bibcode :1940PhRv...58..919E. doi :10.1103/PhysRev.58.919.
3. CA Truesdell, RA Toupin: Классические теории поля (в S. Flügge (ред.): Энциклопедия физики, т. III-1 , Springer 1960). §§152–154 и 288–289.
4. Maugin, Gérard A. (1978). «О ковариантных уравнениях релятивистской электродинамики сплошных сред. I. Общие уравнения». J. Math. Phys . 19 (5): 1198–1205. Bibcode :1978JMP....19.1198M. doi :10.1063/1.523785.
5. Стивен, Вайнберг (1972). Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности . John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-92567-5.

• Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 0-19-853953-3.