Математический объект, описывающий электромагнитное поле в пространстве-времени.
В электромагнетизме электромагнитный тензор или тензор электромагнитного поля (иногда называемый тензором напряженности поля , тензором Фарадея или бивектором Максвелла ) — математический объект, описывающий электромагнитное поле в пространстве-времени. Тензор поля был впервые использован после того, как Герман Минковский представил четырехмерную тензорную формулировку специальной теории относительности . Тензор позволяет очень кратко записывать соответствующие физические законы и позволяет квантовать электромагнитное поле с помощью лагранжевой формулировки, описанной ниже.
Определение
Электромагнитный тензор, условно обозначаемый F , определяется как внешняя производная электромагнитного четырехпотенциала A , дифференциальной 1-формы: [1] [2]
![{\displaystyle F\ {\stackrel {\mathrm {def} {=}}\ \mathrm {d} A.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Следовательно, F является дифференциальной 2-формой , то есть антисимметричным тензорным полем ранга 2, в пространстве Минковского. В компонентной форме
![{\displaystyle F_{\mu \nu } =\partial _ {\mu }A_ {\nu }-\partial _ {\nu }A_ {\mu }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – четырехградиент и – четырехпотенциал .![{\displaystyle \partial }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В этой статье будут использоваться единицы СИ для уравнений Максвелла и соглашение физиков элементарных частиц для сигнатуры пространства Минковского ( + - - -) .
Связь с классическими полями
Дифференциальная 2-форма Фарадея имеет вид
![{\displaystyle F=(E_{x}/c)\ dx\wedge dt+(E_{y}/c) \ dy\wedge dt+(E_{z}/c)\ dz\wedge dt+B_ {x}\ dy\wedge dz+B_{y}\ dz\wedge dx+B_{z}\ dx\wedge dy,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где элемент времени, умноженный на скорость света .![{\displaystyle дт}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle с}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это внешняя производная от его первообразной 1-формы.
,
где has ( — скалярный потенциал для безвихревого/консервативного векторного поля ) и has ( — векторный потенциал для соленоидального векторного поля ).![{\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle -{\vec {\nabla }}\phi = {\vec {E}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\vec {E}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}},t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}} = {\vec {B}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\vec {B}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что
![{\displaystyle {\begin{cases}dF=0\\{\star }d{\star }F=J\end{cases}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где - внешняя производная, - звезда Ходжа , (где - плотность электрического тока , - плотность электрического заряда ) - 4-плотность тока. 1-форма - версия уравнений Максвелла в дифференциальных формах.![{\displaystyle d}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\star }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J=-J_{x}\ dx-J_{y} \ dy-J_{z} \ dz+\rho \ dt}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\vec {J}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \rho }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Электрическое и магнитное поля можно получить из компонент электромагнитного тензора . Простейшая связь в декартовых координатах :
![{\displaystyle E_{i}=cF_{0i},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где c — скорость света, а
![{\displaystyle B_{i}=-1/2\epsilon _{ijk}F^{jk},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где – тензор Леви-Чивита . Это дает поля в определенной системе отсчета; если система отсчета изменится, компоненты электромагнитного тензора преобразуются ковариантно , и поля в новой системе отсчета будут заданы новыми компонентами.![{\displaystyle \epsilon _{ijk}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В контравариантной матричной форме с метрической сигнатурой (+,-,-,-),
![{\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_ {z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ковариантная форма задается понижением индекса ,
![{\displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _ {\alpha \nu }F^{\beta \alpha }\eta _ {\mu \beta } = {\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_ {y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_ {z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Двойник Ходжа тензора Фарадея равен
![{\displaystyle {G^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}} \epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta } F_ {\gamma \delta } = {\begin{bmatrix} 0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/ c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
С этого момента в этой статье, когда упоминаются электрические или магнитные поля, предполагается декартова система координат, а электрические и магнитные поля относятся к системе координат системы координат, как в приведенных выше уравнениях.
Характеристики
Матричная форма тензора поля обладает следующими свойствами: [3]
- Антисимметрия :
![{\displaystyle F^{\mu \nu } = -F^{\nu \mu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Шесть независимых компонентов: в декартовых координатах это просто три пространственных компонента электрического поля ( Ex , Ey , Ez ) и магнитного поля ( Bx , By , Bz ) .
- Внутренний продукт: если сформировать внутренний продукт тензора напряженности поля, образуется инвариант Лоренца.
![{\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-2\left({\frac {E^{2}}{c^{2}}}-B^{2}\right )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
это означает, что это число не меняется от одной системы отсчета к другой. - Псевдоскалярный инвариант: произведение тензорана двойственный ему Ходж дает инвариант Лоренца :
![{\displaystyle G^{\mu \nu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\epsilon _ {\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta } F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где находится символ Леви-Чивита 4 ранга . Знак, указанный выше, зависит от условного обозначения, используемого для символа Леви-Чивита. Здесь используется соглашение .![{\displaystyle \epsilon _ {\alpha \beta \gamma \delta }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \epsilon _{0123}=-1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Определитель :
![{\displaystyle \det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
что пропорционально квадрату указанного выше инварианта. - След :
![{\displaystyle F={{F}^{\mu }} _ {\mu }=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
который равен нулю.
Значение
Этот тензор упрощает и сводит уравнения Максвелла как четыре уравнения векторного исчисления к двум уравнениям тензорного поля. В электростатике и электродинамике закон Гаусса и закон цепи Ампера соответственно :
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} = {\frac {\rho }{\epsilon _{0}}},\quad \nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c ^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
и сведем к неоднородному уравнению Максвелла:
, где – четырехток .![{\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho,\mathbf {J})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В магнитостатике и магнитодинамике закон Гаусса для магнетизма и уравнение Максвелла – Фарадея имеют вид соответственно:
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {B} {\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0 } }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
которые сводятся к тождеству Бьянки :
![{\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
или используя индексное обозначение с квадратными скобками [примечание 1] для антисимметричной части тензора:
![{\displaystyle \partial _ {[\alpha }F_ {\beta \gamma ]}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Используя выражение, связывающее тензор Фарадея с четырехпотенциалом, можно доказать, что указанная выше антисимметричная величина тождественно обращается в ноль ( ). Значение этого тождества имеет далеко идущие последствия: это означает, что теория электромагнитного поля не оставляет места для магнитных монополей и токов из них.![{\displaystyle \equiv 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
относительность
Тензор поля получил свое название от того факта, что электромагнитное поле подчиняется закону тензорного преобразования ; это общее свойство физических законов было признано после появления специальной теории относительности . Эта теория предусматривала, что все законы физики должны принимать одинаковую форму во всех системах координат — это привело к введению тензоров . Тензорный формализм также приводит к математически более простому представлению физических законов.
Неоднородное уравнение Максвелла приводит к уравнению неразрывности :
![{\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=J^{\alpha }{}_{,\alpha }=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
подразумевающее сохранение заряда .
Приведенные выше законы Максвелла можно обобщить на искривленное пространство-время , просто заменив частные производные ковариантными производными :
и ![{\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\alpha } =\mu _{0}J^{\beta }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где точка с запятой представляет собой ковариантную производную, а не частную производную. Эти уравнения иногда называют уравнениями Максвелла искривленного пространства . Опять же, второе уравнение подразумевает сохранение заряда (в искривленном пространстве-времени):
![{\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }\,=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Лагранжева формулировка классического электромагнетизма
Классический электромагнетизм и уравнения Максвелла можно вывести из действия :
![{\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(- {\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0}}}\end{matrix}}F_ {\mu \ nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\right)\mathrm {d} ^{4}x\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это означает, что лагранжева плотность равна
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_ {\mu \nu }F^{\mu \nu } -J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\ частичный _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^ {\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\ mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^ {\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\\конец{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Два средних члена в скобках одинаковы, как и два внешних члена, поэтому плотность Лагранжа равна
![{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu } A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Подставив это в уравнение движения Эйлера – Лагранжа для поля:
![{\displaystyle \partial _ {\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)- {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Таким образом, уравнение Эйлера-Лагранжа принимает вид:
![{\displaystyle -\partial _{\mu }{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu } A^{\mu }\right)+J^{\nu }=0.\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Величина в скобках выше — это всего лишь тензор поля, поэтому в конечном итоге это упрощается до
![{\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это уравнение представляет собой другой способ записи двух неоднородных уравнений Максвелла (а именно, закона Гаусса и закона цепи Ампера ) с использованием замен:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}E^{i}&=-F^{0i}\\\epsilon ^{ijk}B_{k}&=-F^{ ij}\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где i, j, k принимают значения 1, 2 и 3.
гамильтонова форма
Плотность гамильтониана можно получить по обычному соотношению :
.
Квантовая электродинамика и теория поля
Лагранжиан квантовой электродинамики выходит за рамки классического лагранжиана, установленного в теории относительности , и включает в себя рождение и уничтожение фотонов (и электронов):
![{\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_ {\alpha }-mc^{2}\right)\ psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где первая часть в правой части, содержащая спинор Дирака , представляет поле Дирака . В квантовой теории поля он используется в качестве шаблона для тензора напряженности калибровочного поля. Будучи использованным в дополнение к лагранжиану локального взаимодействия, он повторяет свою обычную роль в КЭД.![{\displaystyle \psi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Примечания
- ^ По определению,
![{\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}+T_{bca}+T_{cab}-T_{acb}-T_{bac}-T_{cba })}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Так что если
![{\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
затем
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{matrix}{\frac {2}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\ частичное _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\ end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(2F_{\alpha \beta })+\partial _{\alpha }(2F_{\beta \gamma })+\partial _{\beta }(2F_ {\gamma \alpha })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(F_{\alpha \ бета }-F_{\beta \alpha })+\partial _{\alpha }(F_{\beta \gamma }-F_{\gamma \beta })+\partial _{\beta }(F_{\gamma \ альфа }-F_{\alpha \gamma })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\ альфа \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }-\partial _{\gamma }F_{\beta \alpha }- \partial _{\alpha }F_{\gamma \beta }-\partial _{\beta }F_{\alpha \gamma })\\&=\partial _{[\gamma }F_{\alpha \beta ]} \end{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Рекомендации