Фермионное поле

Поля, порождающие фермионные частицы

В квантовой теории поля фермионное поле — это квантовое поле , квантами которого являются фермионы ; то есть они подчиняются статистике Ферми – Дирака . Фермионные поля подчиняются каноническим антикоммутационным соотношениям , а не каноническим коммутационным соотношениям бозонных полей .

Наиболее ярким примером фермионного поля является поле Дирака, которое описывает фермионы со спином -1/2: электроны , протоны , кварки и т. д. Поле Дирака можно описать либо как 4-компонентный спинор , либо как пару 2-компонентных спиноров. -компонентные спиноры Вейля. Майорановские фермионы со спином 1/2 , такие как гипотетическое нейтралино , могут быть описаны либо как зависимый 4-компонентный спинор Майораны , либо как одиночный 2-компонентный спинор Вейля. Неизвестно, является ли нейтрино майорановским фермионом или фермионом Дирака ; экспериментальное наблюдение безнейтринного двойного бета-распада решило бы этот вопрос.

Основные свойства

Свободные (невзаимодействующие) фермионные поля подчиняются каноническим антикоммутационным соотношениям ; т. е. использовать антикоммутаторы { a , b } = ab + ba , а не коммутаторы [ a , b ] = ab − ba бозонной или стандартной квантовой механики. Эти соотношения также справедливы для взаимодействующих фермионных полей в картине взаимодействия , где поля развиваются во времени, как если бы они были свободными, а эффекты взаимодействия закодированы в эволюции состояний.

Именно из этих антикоммутационных соотношений следует статистика Ферми–Дирака для квантов поля. Они также приводят к принципу запрета Паули : две фермионные частицы не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.

Поля Дирака

Ярким примером фермионного поля со спином 1/2 является поле Дирака (названное в честь Поля Дирака ) и обозначаемое . Уравнением движения частицы со свободным спином 1/2 является уравнение Дирака : ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,}$

где – гамма-матрицы , – масса. Простейшими возможными решениями этого уравнения являются решения в виде плоских волн и . Эти решения в виде плоских волн образуют основу для компонентов Фурье , допуская общее разложение волновой функции следующим образом: ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle u(p)e^{-ip\cdot x}\,}$ ${\displaystyle v(p)e^{ip\cdot x}\,}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u_{\alpha }^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v_{\alpha }^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}$

u и v — спиноры, помеченные спином, s и спинорными индексами . Для электрона, частицы со спином 1/2, s = +1/2 или s = -1/2. Энергетический фактор является результатом наличия лоренц-инвариантной меры интегрирования. При вторичном квантовании преобразуется в оператор, поэтому коэффициенты его мод Фурье тоже должны быть операторами. Следовательно, и являются операторами. Свойства этих операторов можно узнать из свойств поля. и подчиняться антикоммутационным соотношениям: ${\displaystyle \alpha \in \{0,1,2,3\}}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s}}$ ${\displaystyle b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi (y)^{\dagger }}$

${\displaystyle \left\{\psi _{\alpha }(\mathbf {x} ),\psi _{\beta }^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{\alpha \beta }.}$

Мы налагаем антикоммутантное соотношение (в отличие от коммутационного соотношения , как мы это делаем для бозонного поля ), чтобы сделать операторы совместимыми со статистикой Ферми – Дирака . Подставив разложения для и , можно вычислить антикоммутационные соотношения для коэффициентов. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi (y)}$

${\displaystyle \left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,}$

Подобно нерелятивистским операторам уничтожения и рождения и их коммутаторам, эти алгебры приводят к физической интерпретации, которая создает фермион с импульсом p и спином s и создает антифермион с импульсом q и спином r . Общее поле теперь рассматривается как взвешенное (по энергетическому фактору) суммирование по всем возможным спинам и импульсам для создания фермионов и антифермионов. Его сопряженное поле , является противоположным, взвешенным суммированием по всем возможным спинам и импульсам для аннигиляции фермионов и антифермионов. ${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$ ${\displaystyle b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

Поняв моды поля и определив сопряженное поле, можно построить лоренц-инвариантные величины для фермионных полей. Самое простое — количество . Это делает причину выбора понятной. Это связано с тем, что общее преобразование Лоренца не является унитарным , поэтому величина не будет инвариантной относительно таких преобразований, поэтому включение должно исправить это. Другая возможная ненулевая Лоренц-инвариантная величина, с точностью до полного сопряжения, которую можно построить из фермионных полей, равна . ${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,}$ ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$ ${\displaystyle \gamma ^{0}\,}$ ${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$

Поскольку линейные комбинации этих величин также являются лоренц-инвариантными, это естественным образом приводит к плотности лагранжиана для поля Дирака из-за требования, чтобы уравнение Эйлера – Лагранжа системы восстанавливало уравнение Дирака.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,}$

В таком выражении индексы подавлены. При повторном введении полного выражения будет

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,}$

Плотность гамильтониана ( энергии ) также может быть построена путем определения импульса, канонически сопряженного с , называемого ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \Pi (x):}$

${\displaystyle \Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.}$

При таком определении плотность гамильтониана равна: ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,}$

где – стандартный градиент пространственноподобных координат, – вектор пространственноподобных матриц. Удивительно, что плотность гамильтониана не зависит напрямую от производной по времени, но выражение верно. ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$ ${\displaystyle {\vec {\gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \psi }$

Учитывая выражение для, мы можем построить фейнмановский пропагатор фермионного поля: ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle }$

мы определяем упорядоченное по времени произведение для фермионов со знаком минус из-за их антикоммутирующей природы

${\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).}$

Подстановка нашего разложения по плоским волнам для фермионного поля в приведенное выше уравнение дает:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}}$

где мы использовали косую черту Фейнмана . Этот результат имеет смысл, поскольку фактор

${\displaystyle {\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}}$

является просто обратным оператору, действующему в уравнении Дирака. Обратите внимание, что таким же свойством обладает пропагатор Фейнмана для поля Клейна–Гордона. Поскольку все разумные наблюдаемые (такие как энергия, заряд, число частиц и т. д.) состоят из четного числа фермионных полей, коммутационное соотношение между любыми двумя наблюдаемыми в точках пространства-времени за пределами светового конуса исчезает. Как мы знаем из элементарной квантовой механики, две одновременно коммутирующие наблюдаемые могут быть измерены одновременно. Таким образом, мы правильно реализовали лоренц-инвариантность для поля Дирака и сохранили причинность . ${\displaystyle \psi (x)}$

Более сложные теории поля, включающие взаимодействия (такие как теория Юкавы или квантовая электродинамика ), также можно анализировать с помощью различных пертурбативных и непертурбативных методов.

Поля Дирака являются важным компонентом Стандартной модели .

Смотрите также

• Уравнение Дирака
• Теорема о спин-статистике
• Спинор
• Составное поле
• Вспомогательное поле

Рекомендации

• Эдвардс, Д. (1981). «Математические основы квантовой теории поля: фермионы, калибровочные поля и суперсимметрия, часть I: решеточные теории поля». Межд. Дж. Теория. Физ . 20 (7): 503–517. Бибкод : 1981IJTP...20..503E. дои : 10.1007/BF00669437. S2CID  120108219.
• Пескин М. и Шредер Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля , Westview Press. (См. стр. 35–63.)
• Средницкий, Марк (2007). Квантовая теория поля , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-86449-7 . 
• Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей , (3 тома) Издательство Кембриджского университета.