Гамма-матрицы

Генераторы алгебры Клиффорда для релятивистской квантовой механики

В математической физике гамма -матрицы , также называемые матрицами Дирака , представляют собой набор обычных матриц со специфическими антикоммутационными отношениями, которые гарантируют, что они генерируют матричное представление алгебры Клиффорда . Также возможно определить гамма-матрицы более высокой размерности . При интерпретации как матрицы действия набора ортогональных базисных векторов для контравариантных векторов в пространстве Минковского векторы-столбцы, на которые действуют матрицы, становятся пространством спиноров , на котором действует алгебра Клиффорда пространства-времени . Это, в свою очередь, позволяет представлять бесконечно малые пространственные вращения и повышения Лоренца . Спиноры облегчают пространственно-временные вычисления в целом и, в частности, являются фундаментальными для уравнения Дирака для частиц с релятивистским спином . Гамма-матрицы были представлены Полем Дираком в 1928 году. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \ \left\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle {\tfrac {\ 1\ }{2}}}$

В представлении Дирака четыре контравариантные гамма-матрицы имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}}$— времяподобная эрмитова матрица . Остальные три являются пространственноподобными антиэрмитовыми матрицами . Более компактно, где обозначает произведение Кронекера , а ( для j = 1, 2, 3 ) обозначает матрицы Паули . ${\displaystyle \ \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes I_{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{j}=i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{j}\ ,}$ ${\displaystyle \ \otimes \ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{j}\ }$

Кроме того, при обсуждении теории групп единичная матрица ( I ) иногда включается в состав четырех гамма-матриц, а также существует вспомогательная, «пятая» бесследовая матрица, используемая совместно с обычными гамма-матрицами.

${\displaystyle {\begin{aligned}\ I_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\ ,\qquad \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

«Пятая матрица» не является полноценным членом основного набора из четырех; он используется для разделения номинальных левых и правых киральных представлений . ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$

Гамма-матрицы имеют групповую структуру, гамма-группу , которая является общей для всех матричных представлений группы в любом измерении и для любой сигнатуры метрики. Например, матрицы Паули 2 × 2 представляют собой набор «гамма»-матриц в трехмерном пространстве с метрикой евклидовой сигнатуры (3, 0). В пяти измерениях пространства-времени четыре гаммы, указанные выше, вместе с пятой гамма-матрицей, представленной ниже, образуют алгебру Клиффорда.

Математическая структура

Определяющим свойством гамма-матриц порождать алгебру Клиффорда является антикоммутационное соотношение

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ ,}$

где фигурные скобки обозначают антикоммутатор , — метрика Минковского с сигнатурой (+ — — —) и — единичная матрица 4 × 4 . ${\displaystyle \ \{,\}\ }$ ${\displaystyle \ \eta _{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle I_{4}}$

Это определяющее свойство является более фундаментальным, чем числовые значения, используемые в конкретном представлении гамма-матриц. Ковариантные гамма-матрицы определяются формулой

${\displaystyle \ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\}\ ,}$

и принимаются обозначения Эйнштейна .

Обратите внимание, что другое соглашение о знаках метрики (− + + +) требует либо изменения определяющего уравнения:

${\displaystyle \ \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=-2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ }$

или умножение всех гамма-матриц на , что, конечно, меняет их свойства эрмитичности, подробно описанные ниже. В соответствии с альтернативным соглашением о знаках для метрики ковариантные гамма-матрицы затем определяются формулой ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{-\gamma ^{0},+\gamma ^{1},+\gamma ^{2},+\gamma ^{3}\right\}~.}$

Физическая структура

Алгебра Клиффорда в пространстве-времени V может рассматриваться как набор действительных линейных операторов из V в себя, End( V ) или, в более общем плане, при комплексировании как набор линейных операторов из любого четырехмерного комплексного векторного пространства в себя. Проще говоря, базис для V представляет собой просто набор всех комплексных матриц 4×4 , но наделенных структурой алгебры Клиффорда. Предполагается, что пространство-время наделено метрикой Минковского η _μν . В каждой точке пространства-времени также предполагается пространство биспиноров U _x , наделенное биспинорным представлением группы Лоренца . Биспинорные поля Ψ уравнений Дирака, вычисляемые в любой точке x пространства-времени, являются элементами U _x (см. ниже). Предполагается, что алгебра Клиффорда также действует на U _x (путем умножения матриц на вектор-столбцы Ψ( x ) в U _x для всех x ). Это будет основной вид элементов в этом разделе. ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ }$

Для каждого линейного преобразования S группы U _x существует преобразование End( U _x ) , заданное SES ⁻¹ для E в. Если S принадлежит представлению группы Лоренца, то индуцированное действие E ↦ SES ⁻¹ также будет принадлежать к представлению группы Лоренца см. Теорию представлений группы Лоренца . ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\approx \operatorname {End} (U_{x})~.}$

Если S(Λ) — биспинорное представление , действующее на U _x произвольного преобразования Лоренца Λ в стандартном (4-векторном) представлении, действующем на V , то существует соответствующий оператор на, заданный уравнением: ${\displaystyle \ \operatorname {End} \left(U_{x}\right)=\mathrm {Cl} _{1,3}\left(\mathbb {R} \right)_{\mathbb {C} }\ }$

${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\ \mapsto \ S(\Lambda )\ \gamma ^{\mu }\ {S(\Lambda )}^{-1}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\ \gamma ^{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }\ \gamma ^{\nu }\ ,}$

показывающий, что величину γ ^µ можно рассматривать как основу пространства представления 4 -векторного представления группы Лоренца, находящегося внутри алгебры Клиффорда. Последнее тождество можно признать определяющим соотношением для матриц, принадлежащих к неопределенной ортогональной группе , записанной в индексированных обозначениях. Это означает, что величины вида ${\displaystyle \ \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}\ ,}$

${\displaystyle a\!\!\!/\equiv a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$

при манипуляциях следует рассматривать как 4 вектора. Это также означает, что индексы на γ можно повышать и понижать с помощью метрики η _µν , как и в случае с любым 4-вектором. Эта запись называется косой чертой Фейнмана . Операция косой черты отображает базис e _µ V или любого 4-мерного векторного пространства в базисные векторы γ _µ . Правило преобразования для сокращенных величин просто

${\displaystyle {a\!\!\!/}^{\mu }\mapsto {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{a\!\!\!/}^{\nu }~.}$

Следует отметить, что это отличается от правила преобразования для γ ^μ , которые теперь рассматриваются как (фиксированные) базисные векторы. Таким образом , обозначение кортежа 4 как вектора 4, иногда встречающееся в литературе, является небольшим неправильным употреблением. ^{Последнее преобразование соответствует} активному преобразованию компонент косой величины по базису γμ , а первое — пассивному преобразованию ^самого базиса γμ . ${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)_{\mu =0}^{3}=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$

Элементы образуют представление алгебры Ли группы Лоренца. Это спиновое представление. Когда эти матрицы и их линейные комбинации возводятся в степень, они являются биспинорными представлениями группы Лоренца, например, S (Λ) из вышеизложенного имеют такую ​​форму. Шестимерное пространство, охватывающее σ ^µν , является пространством представления тензорного представления группы Лоренца. Элементы высшего порядка алгебры Клиффорда в целом и правила их преобразования см. в статье « Алгебра Дирака» . Спиновое представление группы Лоренца кодируется в спиновой группе Spin(1, 3) (для вещественных незаряженных спиноров) и в комплексифицированной спиновой группе Spin(1, 3) для заряженных (Дираковских) спиноров. ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu \nu }=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\ }$

Выражение уравнения Дирака

В натуральных единицах уравнение Дирака можно записать как

${\displaystyle \ \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0\ }$

где спинор Дирака. ${\displaystyle \ \psi \ }$

Переходя к обозначениям Фейнмана , уравнение Дирака имеет вид

${\displaystyle \ (i{\partial \!\!\!/}-m)\psi =0~.}$

Пятая «гамма»-матрица, .mw-parser-output .var-serif{font-family:"Nimbus Roman No9 L","Times New Roman",Times,serif;font-size:118%;line-height:1}γ 5

Полезно определить произведение четырех гамма-матриц как , так что ${\displaystyle \gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes I}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\qquad }$(в базисе Дирака).

Хотя используется буква гамма, она не является одной из гамма -матриц. Индексный номер 5 является пережитком старых обозначений: раньше он назывался " ". ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{0}\ }$ ${\displaystyle \gamma ^{4}}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$имеет также альтернативную форму:

${\displaystyle \ \gamma ^{5}={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\ }$

используя соглашение или ${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1\ ,}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\ }$

используя соглашение Доказательство: ${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=1~.}$

В этом можно убедиться, воспользовавшись тем фактом, что все четыре гамма-матрицы антикоммутируют, поэтому

${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\tfrac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }\ ,}$

где – обобщенная дельта Кронекера типа (4,4) в 4 измерениях, в полной антисимметризации . Если обозначает символ Леви-Чивита в n измерениях, мы можем использовать тождество . Тогда мы получаем, используя соглашение ${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }}$ ${\displaystyle \ \varepsilon _{\alpha \dots \beta }\ }$ ${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }}$ ${\displaystyle \ \varepsilon ^{0123}=1\ ,}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\varrho }\gamma _{\sigma }}$

Эта матрица полезна при обсуждении квантово-механической киральности . Например, поле Дирака можно спроецировать на его левые и правые компоненты следующим образом:

${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ I-\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ,\qquad \psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ I+\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ~.}$

Некоторые свойства:

• Это эрмитово:

  ${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}~.}$

• Его собственные значения равны ±1, потому что:

  ${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4}~.}$

• Он антикоммутирует с четырьмя гамма-матрицами:

  ${\displaystyle \left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0~.}$

Фактически и являются собственными векторами т.к. ${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {L} }\ }$ ${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {R} }\ }$ ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$

${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ \gamma ^{5}-\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =-\psi _{\mathrm {L} }\ ,}$и ${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ \gamma ^{5}+\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =\psi _{\mathrm {R} }~.}$

Пять измерений

Алгебра Клиффорда в нечетных измерениях ведет себя как две копии алгебры Клиффорда на одну размерность меньше: левая копия и правая копия. ^{[3] : 68} Таким образом, можно использовать небольшую хитрость, чтобы перепрофилировать i  γ ⁵ в качестве одного из генераторов алгебры Клиффорда в пяти измерениях. В этом случае множество { γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , i γ ⁵ } поэтому по двум последним свойствам (имея в виду, что i ² ≡ −1 ) и свойствам «старых» гамм, образует основу алгебры Клиффорда в 5  измерениях пространства-времени для метрической сигнатуры (1,4) . ^[а]  . ^{[4] : 97} В метрической сигнатуре (4,1) используется набор { γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , γ ⁵ } , где γ ^µ являются подходящими для (3,1) подпись. ^[5] Этот шаблон повторяется для четного измерения пространства-времени 2 n и следующего нечетного измерения 2 n + 1 для всех n ≥ 1 . ^{[6] : 457} Подробнее см. в разделе «Гамма-матрицы более высокой размерности ».

Личности

Следующие тождества следуют из фундаментального антикоммутационного соотношения, поэтому они выполняются в любом базисе (хотя последнее зависит от выбора знака для ). ${\displaystyle \gamma ^{5}}$

Разные личности

1. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}}$

2. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }}$

3. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}}$

4. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }}$

5. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}}$

6. где ${\displaystyle \gamma ^{5}\sigma ^{\nu \rho }={\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\sigma _{\sigma \mu }\ ,}$ ${\displaystyle \ \sigma _{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]={\tfrac {i}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })\ }$

Отследить личности

Гамма-матрицы подчиняются следующим тождествам следов :

1. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0}$
2. След любого произведения нечетного числа равен нулю ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$
3. След раз, когда произведение нечетного числа все еще равно нулю ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$
4. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }}$
5. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)}$
6. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0}$
7. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }}$
8. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{n}}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{n}}\dots \gamma ^{\mu _{1}}\right)}$

Доказательство вышеизложенного предполагает использование трех основных свойств оператора трассировки :

• тр( А + B ) = тр( А ) + тр( B )
• тр( рА ) = р тр( А )
• tr( ABC ) = tr( CAB ) = tr( BCA )

Нормализация

Гамма-матрицы могут быть выбраны с дополнительными условиями эрмитичности, которые, однако, ограничены указанными выше антикоммутационными соотношениями. Мы можем навязать

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}}$, совместим с ${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}}$

а для остальных гамма-матриц (для k = 1, 2, 3 )

${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}}$, совместим с ${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.}$

Сразу проверяем, что эти соотношения эрмитичности справедливы для представления Дирака.

Вышеуказанные условия можно объединить в соотношении

${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.}$

Условия эрмитичности не инвариантны относительно действия преобразования Лоренца , поскольку оно не обязательно является унитарным преобразованием из-за некомпактности группы Лоренца. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle S(\Lambda )}$

Сопряжение зарядов

Оператор зарядового сопряжения в любом базисе можно определить как

${\displaystyle C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}}$

где обозначает транспонирование матрицы . Явная форма, которая принимает это значение, зависит от конкретного представления, выбранного для гамма-матриц, вплоть до произвольного фазового коэффициента. Это потому, что, хотя зарядовое сопряжение является автоморфизмом гамма -группы , оно не является внутренним автоморфизмом (группы). Сопряжающие матрицы можно найти, но они зависят от представления. ${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle C}$

Независимые от представления тождества включают в себя:

${\displaystyle {\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{aligned}}}$

Оператор зарядового сопряжения также унитарен , хотя для него это справедливо и для любого представления. Учитывая представление гамма-матриц, произвольный фазовый коэффициент для оператора зарядового сопряжения также может быть выбран так, что , как и в случае четырех представлений, приведенных ниже (Дирак, Майорана и оба киральных варианта). ${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{T}=-C}$ ${\displaystyle C^{\dagger }=-C}$

Обозначение Фейнмана с косой чертой

Обозначение косой черты Фейнмана определяется формулой

${\displaystyle {a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }}$

для любого 4-вектора . ${\displaystyle a}$

Вот несколько идентификаторов, похожих на приведенные выше, но с использованием косой черты:

• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=\left[a\cdot b-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }\right]I_{4}}$
• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=\left[a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\right]I_{4}=\left[{\tfrac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)\right]I_{4}=\left[\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }\right]I_{4}=a^{2}I_{4}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)I_{4}}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}}$

  где - символ Леви-Чивита , а на самом деле следы произведений нечетного числа равны нулю и, следовательно, ${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]~.}$ ${\displaystyle \ \gamma \ }$

• ${\displaystyle \operatorname {tr} (a_{1}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,a_{2}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\cdots a_{n}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,)=0\ }$для n нечетно. ^[7]

Многие следуют непосредственно из расширения обозначения косой черты и сокращения выражений формы с соответствующей идентичностью в терминах гамма-матриц. ${\displaystyle \ a_{\mu }b_{\nu }c_{\rho }\ \ldots \ }$

Другие представления

Матрицы также иногда записываются с использованием единичной матрицы 2×2 , и ${\displaystyle I_{2}}$

${\displaystyle \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}}$

где k принимает значения от 1 до 3, а σk ^— матрицы Паули .

Основа Дирака

Гамма-матрицы, которые мы написали до сих пор, подходят для воздействия на спиноры Дирака , записанные в базисе Дирака ; фактически базис Дирака определяется этими матрицами. Подводя итог, в базисе Дирака:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}$

В базисе Дирака оператор зарядового сопряжения веществен антисимметричен ^{[8] : 691–700.}

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1\\0&~~0&~~1&~~0\\0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\end{pmatrix}}~.}$

Базис Вейля (хиральный)

Другой распространенный выбор — это Вейля или киральный базис , в котором он остается тем же, но отличается, а значит , тоже различен и диагональен. ${\displaystyle \gamma ^{k}}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{5}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},}$

или в более компактной записи:

${\displaystyle \gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\right).}$

Преимущество базиса Вейля состоит в том, что его киральные проекции принимают простую форму:

${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }={\tfrac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {R} }={\tfrac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi ~.}$

Идемпотентность киральных проекций очевидна .

Слегка злоупотребляя обозначениями и повторно используя символы, мы можем затем идентифицировать ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} /R}}$

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {L} }\\\psi _{\mathrm {R} }\end{pmatrix}},}$

где теперь и – левые и правые двухкомпонентные спиноры Вейля. ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$

Оператор зарядового сопряжения в этом базисе вещественный антисимметричен:

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$

Базис Дирака можно получить из базиса Вейля как

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

через унитарное преобразование

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.}$

Базис Вейля (хиральный) (альтернативная форма)

Другой возможный выбор ^[9] базиса Вейля имеет

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.}$

Киральные проекции принимают форму, немного отличную от другого выбора Вейля:

${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {L} }={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .}$

Другими словами,

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {R} }\\\psi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}},}$

где и – левые и правые двухкомпонентные спиноры Вейля, как и раньше. ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$

Оператором зарядового сопряжения в этом базисе является

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\\0&~~0&~~0&~~1\\0&~~0&-1&~~0\\\end{pmatrix}}~=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}.}$

Этот базис можно получить из приведенного выше базиса Дирака с помощью унитарного преобразования ${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

Майорановая основа

Существует также майорановский базис, в котором все матрицы Дирака мнимые, а спиноры и уравнение Дирака вещественные. Что касается матриц Паули , то базис можно записать как

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\ ,~&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,\end{aligned}}}$

где – матрица зарядового сопряжения, соответствующая версии Дирака, определенной выше. ${\displaystyle C}$

Причина создания всех гамма-матриц мнимыми состоит исключительно в том, чтобы получить метрику физики элементарных частиц (+, −, −, −) , в которой квадраты масс положительны. Однако представление Майораны реально. Можно исключить the, чтобы получить другое представление с четырьмя компонентами действительных спиноров и действительными гамма-матрицами. Последствием удаления является то, что единственной возможной метрикой с реальными гамма-матрицами является (−, +, +, +) . ${\displaystyle \ i\ }$ ${\displaystyle \ i\ }$

Базис Майораны можно получить из базиса Дирака, описанного выше, с помощью унитарного преобразования ${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {M} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle U=U^{\dagger }={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

Cl 1,3 (C) и Cl 1,3 (R)

Алгебру Дирака можно рассматривать как комплексификацию вещественной алгебры Cl _1,3 ( ), называемой алгеброй пространства-времени : ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} }$

Cl _1,3 ( ) отличается от Cl _1,3 ( ): в Cl _1,3 ( ) допускаются только вещественные линейные комбинации гамма-матриц и их произведений. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Заслуживают внимания две вещи. Поскольку алгебры Клиффорда , Cl _1,3 ( ) и Cl ₄ ( ) изоморфны, см. классификацию алгебр Клиффорда . Причина в том, что основная сигнатура метрики пространства-времени теряет свою сигнатуру (1,3) при переходе к комплексификации. Однако преобразование, необходимое для приведения билинейной формы к сложной канонической форме, не является преобразованием Лоренца и, следовательно, не «допустимо» (по крайней мере, непрактично), поскольку вся физика тесно связана с симметрией Лоренца, и предпочтительно сохранить ее. манифест. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Сторонники геометрической алгебры стремятся работать с реальными алгебрами везде, где это возможно. Они утверждают, что в целом возможно (и обычно полезно) определить наличие мнимой единицы в физическом уравнении. Такие единицы возникают из одной из многих величин в реальной алгебре Клиффорда, которые квадратичны до −1, и они имеют геометрическое значение из-за свойств алгебры и взаимодействия ее различных подпространств. Некоторые из этих сторонников также задаются вопросом, необходимо ли или даже полезно ли вводить дополнительную мнимую единицу в контексте уравнения Дирака. ^{[10] : х–кси}

В математике римановой геометрии принято определять алгебру Клиффорда Cl _p,q ( ) для произвольных размерностей p,q . Спиноры Вейля преобразуются под действием спиновой группы . Комплексификация спиновой группы, называемая спин-группой , является произведением спиновой группы на окружность. Произведение — всего лишь обозначение для идентификации. Геометрическая точка этого состоит в том, что оно распутывает реальный спинор, который является ковариантным относительно преобразований Лоренца. , от составляющей, которую можно отождествить с волокном электромагнитного взаимодействия. Это запутывающая четность и сопряжение зарядов способом, подходящим для связи состояний частицы/античастицы Дирака (эквивалентно киральным состояниям в базисе Вейля). Биспинор , поскольку он имеет линейно независимые левую и правую компоненты, может взаимодействовать с электромагнитным полем . В этом отличие от спинора Майораны и спинора ELKO (Eigenspinoren des Ladungskonjugationsoperators), которые не могут ( т.е. они электрически нейтральны), поскольку они явно ограничивают спинор, чтобы не взаимодействовать с частью, возникающей в результате комплексификации. Спинор ELKO — это спинор Lounesto класса 5. ^{[11] : 84} ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\cong U(1).}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle (a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}}$ ${\displaystyle (-a,-u).}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Однако в современной физической практике алгебра Дирака, а не алгебра пространства-времени, продолжает оставаться стандартной средой, в которой «живут» спиноры уравнения Дирака.

Другие свойства без представления

Гамма-матрицы диагонализуемы с собственными значениями для и собственными значениями для . ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle \gamma ^{i}}$

В частности, это означает, что одновременно эрмитово и унитарно, а одновременно антиэрмитово и унитарно. ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{i}}$

При этом кратность каждого собственного значения равна двум.

В более общем смысле, если значение не равно нулю, имеет место аналогичный результат. Для конкретности мы ограничимся случаем положительной нормы. Отрицательный случай следует аналогично . ${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }X_{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=p\!\!\!/\ }$ ${\displaystyle \ p\cdot p=m^{2}>0~.}$

Отсюда следует, что пространство решений (то есть ядро ​​левой части) имеет размерность 2. Это означает, что пространство решений для плоских волновых решений уравнения Дирака имеет размерность 2. ${\displaystyle \ p\!\!\!/-m=0\ }$

Этот результат по-прежнему справедлив для безмассового уравнения Дирака. Другими словами, если значение равно нулю, то оно имеет значение недействительности 2. ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle p\!\!\!/}$

Евклидовы матрицы Дирака

В квантовой теории поля Вик может повернуть ось времени, чтобы перейти из пространства Минковского в пространство Евклида . Это особенно полезно в некоторых процедурах перенормировки , а также в калибровочной теории решетки . В евклидовом пространстве обычно используются два представления матриц Дирака:

Хиральное представление

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

Обратите внимание, что факторы были вставлены в пространственные гамма-матрицы, так что евклидова алгебра Клиффорда ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}}$

появится. Также стоит отметить, что существуют варианты, которые вместо этого вставляются в одну из матриц, например, в решеточных кодах КХД, которые используют киральный базис. ${\displaystyle -i}$

В евклидовом пространстве

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {M} }={\tfrac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {E} }=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\mathrm {E} }=\gamma _{\mathrm {E} }^{5}~.}$

Используя антикоммутатор и отмечая, что в евклидовом пространстве , можно показать, что ${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }}$

${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}}$

В киральном базисе в евклидовом пространстве

${\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}}$

который не отличается от версии Минковского.

Нерелятивистское представление

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}}\ ,\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

Сноски

1. Набор матриц (Γ ^a ) = ( γ ^μ , i γ ⁵ ) с a = (0, 1, 2, 3, 4) удовлетворяет пятимерной алгебре Клиффорда {Γ ^a , Γ ^b } = 2  η ^ab

Смотрите также

• физический портал

• Матрицы Паули
• Матрицы Гелл-Манна
• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Личность Фирца
• Алгебра пространства-времени

Цитаты

1. Кукин 2016.
2. Лонигро 2023.
3. Йост 2002.
4. Тонг 2007, Эти вводные заметки по квантовой теории поля предназначены для студентов части III (уровень магистратуры).
5. Вайнберг 2002, § 5.5.
6. де Вит и Смит 2012.
7. Каплуновский 2008.
8. Ицыксон и Зубер 2012.
9. Каку 1993.
10. Хестенес 2015.
11. Родригес и Оливейра 2007.

Рекомендации

• де Вит, Б.; Смит, Дж. (2 декабря 2012 г.). Теория поля в физике элементарных частиц, Том 1. Elsevier. ISBN 978-0-444-59622-2.[1]
• Хальцен, Фрэнсис; Мартин, Алан Д. (17 мая 2008 г.). Кварк и лептоны: вводный курс в современную физику элементарных частиц. Wiley India Pvt. Ограниченное. ISBN 978-81-265-1656-8.
• Хестенес, Дэвид (2015). Пространственно-временная алгебра. Международное издательство Спрингер. ISBN 978-3-319-18412-8.
• Ицыксон, Клод; Зубер, Жан-Бернар (20 сентября 2012 г.). Квантовая теория поля. Курьерская корпорация. Приложение А. ISBN 978-0-486-13469-7.
• Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ. Спрингер. п. 68, следствие 1.8.1. ISBN 978-3-540-42627-1.
• Каку, Мичио (1993). Квантовая теория поля: современное введение. Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-509158-8.
• Каплуновский, Вадим (2008). «Трасология» (PDF) . Квантовая теория поля (домашнее задание по курсу/конспекты занятий). Физический факультет. Техасский университет в Остине . Архивировано из оригинала (PDF) 13 ноября 2019 г.

• Кукин, В.Д. (2016). «Матрицы Дирака - Математическая энциклопедия». энциклопедияofmath.org . Проверено 2 ноября 2023 г.

• Лонигро, Давиде (2023). «Размерная редукция уравнения Дирака в произвольных пространственных измерениях». Европейский физический журнал Плюс . 138 (4): 324. arXiv : 2212.11965 . Бибкод : 2023EPJP..138..324L. дои : 10.1140/epjp/s13360-023-03919-0.
• Паули, В. (1936). «Математические вклады в теорию матриц Дирака». Анналы Института Анри Пуанкаре . 6 :109.

• Пескин, М.; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Вествью Пресс. глава 3.2. ISBN 0-201-50397-2.

• Родригес, Валдир А.; Оливейра, Эдмундо К. де (2007). Многоликие уравнения Максвелла, Дирака и Эйнштейна: подход расслоения Клиффорда. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-71292-3.
• Тонг, Дэвид (2007). Лекции по квантовой теории поля (конспект лекций курса). Дэвид Тонг из Кембриджского университета . п. 93 . Проверено 7 марта 2015 г.

• Вайнберг, С. (2002). Квантовая теория полей . Том. 1. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-55001-7– через Интернет-архив (archive.org).

• Зи, А. (2003). Квантовая теория поля в двух словах. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. глава II.1. ISBN 0-691-01019-6.

Внешние ссылки

• Матрицы Дирака в математическом мире, включая их групповые свойства
• Матрицы Дирака как абстрактная группа в GroupNames
• «Матрицы Дирака», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]