Обозначение Фейнмана с косой чертой

Обозначение сокращений с гамма-матрицами

При изучении полей Дирака в квантовой теории поля Ричард Фейнман изобрел удобную косую черту Фейнмана (менее известную как косая черта Дирака ^[1] ). Если A — ковариантный вектор (т. е. 1-форма ),

${\displaystyle {A\!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{0}A_{0}+\gamma ^{1}A_{1}+\gamma ^{2}A_{2}+\gamma ^{3}A_{3}}$

где γ – гамма-матрицы . Используя обозначение суммирования Эйнштейна , выражение просто

${\displaystyle {A\!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{\mu }A_{\mu }}$.

Личности

Используя антикоммутаторы гамма-матриц, можно показать, что для любых и , ${\displaystyle a_{\mu }}$ ${\displaystyle b_{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=a^{\mu }a_{\mu }\cdot I_{4}=a^{2}\cdot I_{4}\\{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}+{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}=2a\cdot b\cdot I_{4}.\end{aligned}}}$

где – единичная матрица в четырех измерениях. ${\displaystyle I_{4}}$

В частности,

${\displaystyle {\partial \!\!\!/}^{2}=\partial ^{2}\cdot I_{4}.}$

Дальнейшие тождества можно считать непосредственно из тождеств гамма-матрицы, заменив метрический тензор внутренними произведениями . Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=-2{a\!\!\!/}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=4a\cdot b\cdot I_{4}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}\\\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=2({d\!\!\!/}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}+{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}{d\!\!\!/})\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/})&=4a\cdot b\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/})&=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{\gamma ^{\mu }}{b\!\!\!/}{\gamma ^{\nu }})&=4\left[a^{\mu }b^{\nu }+a^{\nu }b^{\mu }-\eta ^{\mu \nu }(a\cdot b)\right]\\\operatorname {tr} (\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/})&=4i\varepsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }\\\operatorname {tr} ({\gamma ^{\mu }}{a\!\!\!/}{\gamma ^{\nu }})&=0\\\operatorname {tr} ({\gamma ^{5}}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/})&=0\\\operatorname {tr} ({\gamma ^{0}}({a\!\!\!/}+m){\gamma ^{0}}({b\!\!\!/}+m))&=8a^{0}b^{0}-4(a.b)+4m^{2}\\\operatorname {tr} (({a\!\!\!/}+m){\gamma ^{\mu }}({b\!\!\!/}+m){\gamma ^{\nu }})&=4\left[a^{\mu }b^{\nu }+a^{\nu }b^{\mu }-\eta ^{\mu \nu }((a\cdot b)-m^{2})\right]\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}_{1}...{a\!\!\!/}_{2n})&=\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}_{2n}...{a\!\!\!/}_{1})\\\operatorname {tr} ({a\!\!\!/}_{1}...{a\!\!\!/}_{2n+1})&=0\end{aligned}}}$

где:

• ${\displaystyle \varepsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }}$это символ Леви-Чивита
• ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$это метрика Минковского
• ${\displaystyle m}$является скаляром.

С четырьмя импульсами

В этом разделе используется метрическая сигнатура (+ − − −) . Часто при использовании уравнения Дирака и решении поперечных сечений можно встретить обозначение косой черты, используемое для четырехимпульса : использование базиса Дирака для гамма-матриц,

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}\,}$

а также определение контравариантного четырехимпульса в натуральных единицах ,

${\displaystyle p^{\mu }=\left(E,p_{x},p_{y},p_{z}\right)\,}$

мы ясно видим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}{p\!\!/}&=\gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma ^{0}p^{0}-\gamma ^{i}p^{i}\\&={\begin{bmatrix}p^{0}&0\\0&-p^{0}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i}p^{i}\\-\sigma ^{i}p^{i}&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}E&-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-E\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Аналогичные результаты справедливы и для других базисов, таких как базис Вейля .

Смотрите также

• Базис Вейля
• Гамма-матрицы
• Четырехвекторный
• S-матрица

Рекомендации

1. Вайнберг, Стивен (1995), Квантовая теория полей, том. 1, Издательство Кембриджского университета, с. 358 (380 в польском издании), ISBN 0-521-55001-7

• Хальцен, Фрэнсис ; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс в современную физику элементарных частиц . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-88741-2.