Коммутатор

Операция по измерению неспособности двух субъектов совершать поездки на работу

В математике коммутатор дает указание на степень, в которой определенная бинарная операция не является коммутативной . Существуют различные определения, используемые в теории групп и теории колец .

Теория групп

Коммутатором двух элементов g и h группы G называется элемент

[ г , ч ] = г ⁻¹ ч ⁻¹ гх .

Этот элемент равен единице группы тогда и только тогда, когда g и h коммутируют (то есть тогда и только тогда, когда gh = hg ).

Множество всех коммутаторов группы, вообще говоря, не замкнуто относительно групповой операции, но подгруппа группы G, порождённая всеми коммутаторами, замкнута и называется производной группой или коммутаторной подгруппой группы G. Коммутаторы используются для определения нильпотентных и разрешимых групп, а также наибольшей абелевой факторгруппы .

Приведенное выше определение коммутатора используется на протяжении всей статьи, но многие специалисты по теории групп определяют коммутатор как

[ г , ч ] = гх г ⁻¹ ч ⁻¹ . ^{[1] [2]}

Используя первое определение, это можно выразить как [ g ⁻¹ , h ⁻¹ ] .

Идентичности (теория групп)

Коммутаторные тождества являются важным инструментом в теории групп . ^[3] Выражение a ^x обозначает сопряжение a посредством x , определяемое как x ⁻¹ ax .

1. ${\displaystyle x^{y}=x[x,y].}$
2. ${\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}$
3. ${\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}$и ${\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}$
4. ${\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}$и ${\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}$
5. ${\displaystyle \left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1}$и ${\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.}$

Тождество (5) также известно как тождество Холла–Витта , в честь Филипа Холла и Эрнста Витта . Это теоретико-групповой аналог тождества Якоби для теоретико-кольцевого коммутатора (см. следующий раздел).

NB, приведенное выше определение сопряжения a с помощью x используется некоторыми теоретиками групп. ^[4] Многие другие теоретики групп определяют сопряжение a с помощью x как xax ⁻¹ . ^[5] Это часто записывается . Аналогичные тождества справедливы для этих соглашений. ${\displaystyle {}^{x}a}$

Также используются многие тождества, которые истинны по модулю определенных подгрупп. Они могут быть особенно полезны при изучении разрешимых групп и нильпотентных групп . Например, в любой группе вторые степени ведут себя хорошо:

${\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}$

Если производная подгруппа является центральной, то

${\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}$

Теория колец

Кольца часто не поддерживают деление. Таким образом, коммутатор двух элементов a и b кольца (или любой ассоциативной алгебры ) определяется по-другому:

${\displaystyle [a,b]=ab-ba.}$

Коммутатор равен нулю тогда и только тогда, когда a и b коммутируют. В линейной алгебре , если два эндоморфизма пространства представлены коммутирующими матрицами в терминах одного базиса, то они представлены так в терминах каждого базиса. Используя коммутатор как скобку Ли , каждую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли .

Антикоммутатор двух элементов a и b кольца или ассоциативной алгебры определяется формулой

${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}$

Иногда используется для обозначения антикоммутатора, тогда как затем используется для коммутатора. ^[6] Антикоммутатор используется реже, но может быть использован для определения алгебр Клиффорда и йордановых алгебр , а также при выводе уравнения Дирака в физике элементарных частиц . ${\displaystyle [a,b]_{+}}$ ${\displaystyle [a,b]_{-}}$

Коммутатор двух операторов, действующих в гильбертовом пространстве , является центральным понятием в квантовой механике , поскольку он количественно определяет, насколько хорошо две наблюдаемые, описываемые этими операторами, могут быть измерены одновременно. Принцип неопределенности в конечном счете является теоремой о таких коммутаторах в силу соотношения Робертсона–Шредингера . ^[7] В фазовом пространстве эквивалентные коммутаторы звездообразных произведений функций называются скобками Мойала и полностью изоморфны упомянутым структурам коммутатора гильбертова пространства.

Тождества (теория колец)

Коммутатор обладает следующими свойствами:

Тождества алгебры Ли

1. ${\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}$
2. ${\displaystyle [A,A]=0}$
3. ${\displaystyle [A,B]=-[B,A]}$
4. ${\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}$

Соотношение (3) называется антикоммутативностью , а (4) — тождеством Якоби .

Дополнительные идентичности

1. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$
2. ${\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
3. ${\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}$
4. ${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
5. ${\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}$
6. ${\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}$
7. ${\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}$
8. ${\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}$
9. ${\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}$
10. ${\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}$

Если A — фиксированный элемент кольца R , тождество (1) можно интерпретировать как правило Лейбница для отображения, заданного . Другими словами, отображение ad _A определяет вывод на кольце R. Тождества (2), (3) представляют правила Лейбница для более чем двух факторов и действительны для любого вывода. Тождества (4)–(6) также можно интерпретировать как правила Лейбница. Тождества (7), (8) выражают Z - билинейность . ${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}$

Из тождества (9) находим, что коммутатор целых степеней элементов кольца равен:

${\displaystyle [A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n}B^{m}[A,B]B^{N-n-1}A^{M-m-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{n}A^{m}[A,B]A^{N-n-1}B^{M-m-1}}$

Некоторые из приведенных выше тождеств можно распространить на антикоммутатор, используя указанную выше ± индексную нотацию. ^[8] Например:

1. ${\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}$
2. ${\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B}$
3. ${\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]}$
4. ${\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0}$
5. ${\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}}$
6. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}$

Экспоненциальные тождества

Рассмотрим кольцо или алгебру, в которой экспонента может быть осмысленно определена, например, банахову алгебру или кольцо формальных степенных рядов . ${\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }$

В таком кольце лемма Адамара, примененная к вложенным коммутаторам, дает: (Последнее выражение см. в разделе «Сопряженный вывод » ниже.) Эта формула лежит в основе разложения Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа log(exp( A ) exp( B )). ${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$

Аналогичное расширение выражает групповой коммутатор выражений (аналогичных элементам группы Ли ) через ряд вложенных коммутаторов (скобок Ли), ${\displaystyle e^{A}}$ $${\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}$$

Градуированные кольца и алгебры

При работе с градуированными алгебрами коммутатор обычно заменяется градуированным коммутатором , определяемым в однородных компонентах как

${\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}$

Сопряженный вывод

Особенно, если мы имеем дело с несколькими коммутаторами в кольце R , другая нотация оказывается полезной. Для элемента мы определяем сопряженное отображение следующим образом: ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}:R\to R}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}$

Это отображение является выводом на кольце R :

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).}$

По тождеству Якоби это также является выводом относительно операции коммутации:

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].}$

Составляя такие отображения, получаем, например , и Мы можем рассматривать себя как отображение, , где — кольцо отображений из R в себя с композицией в качестве операции умножения. Тогда — гомоморфизм алгебры Ли , сохраняющий коммутатор: ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}$ $${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].}$$ ${\displaystyle \mathrm {ad} }$ ${\displaystyle \mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} }$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}$

Напротив, это не всегда кольцевой гомоморфизм: обычно . ${\displaystyle \operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}}$

Общее правило Лейбница

Общее правило Лейбница , раскрывающее повторные производные произведения, можно записать абстрактно, используя сопряженное представление:

${\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.}$

Заменяя на оператор дифференцирования и на оператор умножения , получаем , и применяя обе части к функции g , тождество становится обычным правилом Лейбница для n -й производной . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle m_{f}:g\mapsto fg}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}}$ ${\displaystyle \partial ^{n}\!(fg)}$

Смотрите также

• Антикоммутативность
• Ассоциатор
• Формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа
• Каноническое коммутационное соотношение
• Централизатор он же коммутант
• Вывод (абстрактная алгебра)
• Кронштейн Moyal
• производная Пинчерле
• скобка Пуассона
• Тройной коммутатор
• Лемма о трех подгруппах

Примечания

1. Фрейли (1976, стр. 108)
2. Херштейн (1975, стр. 65)
3. Маккей (2000, стр. 4)
4. Херштейн (1975, стр. 83)
5. Фрейли (1976, стр. 128)
6. Макмахон (2008)
7. Либофф (2003, стр. 140–142)
8. Лавров (2014)

Ссылки

• Фрейли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.), Prentice Hall , ISBN 0-13-805326-X
• Херштейн, IN (1975), Топики по алгебре (2-е изд.), Wiley, ISBN 0471010901
• Лавров, П.М. (2014), «Тождества типа Якоби в алгебрах и супералгебрах», Теоретическая и математическая физика , 179 (2): 550–558, arXiv : 1304.5050 , Bibcode : 2014TMP...179..550L, doi : 10.1007/s11232-014-0161-2, S2CID  119175276
• Либофф, Ричард Л. (2003), Введение в квантовую механику (4-е изд.), Addison-Wesley , ISBN 0-8053-8714-5
• Маккей, Сьюзен (2000), Конечные p-группы , Queen Mary Maths Notes, т. 18, Лондонский университет , ISBN 978-0-902480-17-9, г-н  1802994
• Макмахон, Д. (2008), Квантовая теория поля , McGraw Hill , ISBN 978-0-07-154382-8

Дальнейшее чтение

• Маккензи, Р.; Сноу, Дж. (2005), «Конгруэнтные модулярные многообразия: теория коммутаторов», в Кудрявцев, В.Б.; Розенберг, И.Г. (ред.), Структурная теория автоматов, полугрупп и универсальная алгебра , NATO Science Series II, т. 207, Springer, стр. 273–329, doi :10.1007/1-4020-3817-8_11, ISBN 9781402038174

Внешние ссылки

• «Коммутатор», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]