Формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа

Формула в теории Ли

В математике формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа дает значение , которое решает уравнение для возможно некоммутативных X и Y в алгебре Ли группы Ли . Существуют различные способы записи формулы, но все они в конечном итоге дают выражение для в алгебраических терминах Ли, то есть в виде формального ряда (не обязательно сходящегося) по и и их итерированных коммутаторов. Первые несколько членов этого ряда таковы: где « » обозначает члены, включающие высшие коммутаторы и . Если и являются достаточно малыми элементами алгебры Ли группы Ли , ряд сходится. Между тем, каждый элемент, достаточно близкий к единице в , может быть выражен как для малого в . Таким образом, можно сказать, что вблизи единицы групповое умножение в —записанное как —можно выразить в чисто алгебраических терминах Ли. Формулу Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа можно использовать для получения сравнительно простых доказательств глубоких результатов в соответствии группы Ли–алгебры Ли . ${\displaystyle Z}$ $${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots \,,}$$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g=e^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$

Если и являются достаточно малыми матрицами, то можно вычислить как логарифм , где экспоненты и логарифм можно вычислить как степенные ряды . Суть формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа тогда заключается в весьма неочевидном утверждении, что можно выразить как ряд в повторных коммутаторах и . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}}$ ${\displaystyle Z:=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Современные изложения формулы можно найти, среди прочего, в книгах Россмана ^[1] и Холла. ^[2]

История

Формула названа в честь Генри Фредерика Бейкера , Джона Эдварда Кэмпбелла и Феликса Хаусдорфа , которые сформулировали ее качественную форму, то есть, что для выражения решения необходимы только коммутаторы и коммутаторы коммутаторов, до бесконечности. Более раннее утверждение формы было намечено Фридрихом Шуром в 1890 году ^[3] , где дан сходящийся степенной ряд с рекурсивно определенными членами. ^[4] Эта качественная форма используется в наиболее важных приложениях, таких как относительно доступные доказательства соответствия Ли и в квантовой теории поля . После Шура она была отмечена в печати Кэмпбеллом ^[5] (1897); разработана Анри Пуанкаре ^[6] (1899) и Бейкером (1902); ^[7] и систематизирована геометрически и связана с тождеством Якоби Хаусдорфом (1906). ^[8] Первая фактическая явная формула со всеми числовыми коэффициентами принадлежит Евгению Дынкину (1947). ^[9] История формулы подробно описана в статье Ахилла и Бонфиглиоли ^[10] и в книге Бонфиглиоли и Фульчи. ^[11]

Явные формы

Для многих целей необходимо только знать, что разложение для в терминах итерированных коммутаторов и существует; точные коэффициенты часто не имеют значения. (См., например, обсуждение связи между гомоморфизмами группы Ли и алгебры Ли в разделе 5.2 книги Холла ^[2] , где точные коэффициенты не играют никакой роли в аргументации.) Удивительно прямое доказательство существования было дано Мартином Эйхлером ^[12] , см. также раздел «Результаты существования» ниже. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

В других случаях может потребоваться подробная информация о и поэтому желательно вычислять как можно более явно. Существует множество формул; мы опишем две из основных (формулу Дынкина и интегральную формулу Пуанкаре) в этом разделе. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

Формула Дынкина

Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли . Пусть — экспоненциальное отображение . Следующая общая комбинаторная формула была введена Евгением Дынкиным (1947), ^{[13] [14]} , где сумма выполняется по всем неотрицательным значениям и , и использовались следующие обозначения: с пониманием того, что [ X ] := X . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}$$ $${\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\begin{smallmatrix}r_{1}+s_{1}>0\\\vdots \\r_{n}+s_{n}>0\end{smallmatrix}}{\frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{\left(\sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j})\right)\cdot \prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}},}$$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ $${\displaystyle [X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]=[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{1}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm [Y} _{s_{1}},\,\dotsm \,[\underbrace {X,[X,\dotsm [X} _{r_{n}},[\underbrace {Y,[Y,\dotsm Y} _{s_{n}}]]\dotsm ]]}$$

Ряд не является сходящимся в общем случае; он является сходящимся (и указанная формула верна) для всех достаточно малых и . Поскольку [ A , A ] = 0 , член равен нулю, если или если и . ^[15] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle s_{n}>1}$ ${\displaystyle s_{n}=0}$ ${\displaystyle r_{n}>1}$

Первые несколько членов хорошо известны, все члены более высокого порядка включают [ X , Y ] и их коммутаторные вложения (таким образом, в алгебре Ли ):

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(X,Y)&=\log(\exp X\exp Y)\\&{}=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}\left([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]]\right)\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}\left([Y,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[X,[X,[X,[X,Y]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}\left([X,[Y,[Y,[Y,X]]]]+[Y,[X,[X,[X,Y]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}\left([Y,[X,[Y,[X,Y]]]]+[X,[Y,[X,[Y,X]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{240}}\left([X,[Y,[X,[Y,[X,Y]]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{720}}\left([X,[Y,[X,[X,[X,Y]]]]]-[X,[X,[Y,[Y,[X,Y]]]]]\right)\\&{}\quad +{\frac {1}{1440}}\left([X,[Y,[Y,[Y,[X,Y]]]]]-[X,[X,[Y,[X,[X,Y]]]]]\right)+\cdots \end{aligned}}}$

Выше перечислены все слагаемые порядка 6 или ниже (т.е. содержащие 6 или меньше X и Y ). X ↔ Y (анти-)/симметрия в чередующихся порядках разложения следует из Z ( Y , X ) = − Z (− X , − Y ) . Полное элементарное доказательство этой формулы можно найти в статье о производной экспоненциального отображения .

Интегральная формула

Существует множество других выражений для , многие из которых используются в физической литературе. ^{[16] [17]} Популярная интегральная формула ^{[18] [19]} включает производящую функцию для чисел Бернулли , использованную Пуанкаре и Хаусдорфом. ^{[nb 1]} ${\displaystyle Z}$ $${\displaystyle \log \left(e^{X}e^{Y}\right)=X+\left(\int _{0}^{1}\psi \left(e^{\operatorname {ad} _{X}}~e^{t\operatorname {ad} _{Y}}\right)dt\right)Y,}$$ $${\displaystyle \psi (x)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {x\log x}{x-1}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }{(1-x)^{n} \over n(n+1)}~,}$$

Иллюстрация группы Ли Матрицы

Для матричной группы Ли алгебра Ли является касательным пространством единицы I , а коммутатор — просто [ X , Y ] = XY − YX ; экспоненциальное отображение является стандартным экспоненциальным отображением матриц , ${\displaystyle G\subset {\mbox{GL}}(n,\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle \exp X=e^{X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {X^{n}}{n!}}.}$$

При решении уравнения Z с использованием разложений в ряд для exp и log получается более простая формула: ^{[nb 2]} Члены первого, второго, третьего и четвертого порядка имеют вид: $${\displaystyle e^{Z}=e^{X}e^{Y},}$$ $${\displaystyle Z=\sum _{n>0}{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\sum _{\stackrel {r_{i}+s_{i}>0}{1\leq i\leq n}}{\frac {X^{r_{1}}Y^{s_{1}}\cdots X^{r_{n}}Y^{s_{n}}}{r_{1}!s_{1}!\cdots r_{n}!s_{n}!}},\quad \|X\|+\|Y\|<\log 2,\|Z\|<\log 2.}$$

• $${\displaystyle z_{1}=X+Y}$$
• $${\displaystyle z_{2}={\frac {1}{2}}(XY-YX)}$$
• $${\displaystyle z_{3}={\frac {1}{12}}\left(X^{2}Y+XY^{2}-2XYX+Y^{2}X+YX^{2}-2YXY\right)}$$
• $${\displaystyle z_{4}={\frac {1}{24}}\left(X^{2}Y^{2}-2XYXY-Y^{2}X^{2}+2YXYX\right).}$$

Формулы для различных ' не являются формулой Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа. Скорее, формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа является одним из различных выражений для ' в терминах повторных коммутаторов и . Дело в том, что далеко не очевидно, что можно выразить каждое в терминах коммутаторов. (Читателю предлагается, например, проверить прямым вычислением, что выражается как линейная комбинация двух нетривиальных коммутаторов третьего порядка и , а именно и .) Общий результат, что каждое выражается как комбинация коммутаторов, был показан элегантным рекурсивным способом Эйхлером. ^[12] ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle z_{3}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [X,[X,Y]]}$ ${\displaystyle [Y,[X,Y]]}$ ${\displaystyle z_{j}}$

Следствием формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа является следующий результат о следе : То есть, поскольку каждый член с можно выразить в виде линейной комбинации коммутаторов, след каждого такого члена равен нулю. $${\displaystyle \operatorname {tr} \log \left(e^{X}e^{Y}\right)=\operatorname {tr} X+\operatorname {tr} Y.}$$ ${\displaystyle z_{j}}$ ${\displaystyle j\geq 2}$

Вопросы конвергенции

Предположим, что и — следующие матрицы в алгебре Ли (пространстве матриц со следом ноль): Тогда Тогда нетрудно показать ^[20] , что не существует матрицы в с . (Подобные примеры можно найти в статье Вэя ^[21] ) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ $${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&i\pi \\i\pi &0\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle e^{X}e^{Y}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&-1\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {sl} (2;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$

Этот простой пример иллюстрирует, что различные версии формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа, которые дают выражения для Z в терминах итерированных скобок Ли X и Y , описывают формальные степенные ряды, сходимость которых не гарантируется. Таким образом, если кто-то хочет, чтобы Z был фактическим элементом алгебры Ли, содержащей X и Y (в отличие от формального степенного ряда), он должен предположить, что X и Y малы. Таким образом, вывод о том, что операция произведения в группе Ли определяется алгеброй Ли, является лишь локальным утверждением. Действительно, результат не может быть глобальным, потому что глобально можно иметь неизоморфные группы Ли с изоморфными алгебрами Ли.

Конкретно, если работать с матричной алгеброй Ли и заданной субмультипликативной матричной нормой , то сходимость гарантируется ^{[14] [22]} , если ${\displaystyle \|\cdot \|}$ $${\displaystyle \|X\|+\|Y\|<{\frac {\ln 2}{2}}.}$$

Особые случаи

Если и коммутируют, то есть , формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа сводится к . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [X,Y]=0}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}$

Другой случай предполагает, что коммутирует с обоими и , как для нильпотентной группы Гейзенберга . Тогда формула сводится к ее первым трем членам . ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Теорема  ( ^[23] )  —  Если и коммутируют со своим коммутатором, то . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [X,[X,Y]]=[Y,[X,Y]]=0}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]}}$

Это вырожденный случай, который обычно используется в квантовой механике , как показано ниже, и иногда его называют теоремой о распутывании . ^[24] В этом случае нет ограничений малости на и . Этот результат лежит в основе «экспоненциальных коммутационных соотношений», которые входят в теорему Стоуна–фон Неймана . Простое доказательство этого тождества приведено ниже. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Другая полезная форма общей формулы подчеркивает расширение по Y и использует обозначение сопряженного отображения : что очевидно из интегральной формулы выше. (Коэффициенты вложенных коммутаторов с одним являются нормализованными числами Бернулли.) ${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}(Y)=[X,Y]}$ $${\displaystyle \log(\exp X\exp Y)=X+{\frac {\operatorname {ad} _{X}}{1-e^{-\operatorname {ad} _{X}}}}~Y+O\left(Y^{2}\right)=X+\operatorname {ad} _{X/2}(1+\coth \operatorname {ad} _{X/2})~Y+O\left(Y^{2}\right),}$$ ${\displaystyle Y}$

Теперь предположим, что коммутатор кратен , так что . Тогда все итерированные коммутаторы будут кратны , и никакие квадратичные или более высокие члены не появятся. Таким образом, указанный выше член исчезает, и мы получаем: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [X,Y]=sY}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle O\left(Y^{2}\right)}$

Теорема  ( ^[25] )  —  Если , где — комплексное число с для всех целых чисел , то имеем ${\displaystyle [X,Y]=sY}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\neq 2\pi in}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle e^{X}e^{Y}=\exp \left(X+{\frac {s}{1-e^{-s}}}Y\right).}$$

Опять же, в этом случае нет ограничений малости на и . Ограничение на гарантирует, что выражение в правой части имеет смысл. (Когда мы можем интерпретировать .) Мы также получаем простое «тождество сплетения»: которое может быть записано как сопряженное расширение: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\textstyle \lim _{s\to 0}s/(1-e^{-s})=1}$ $${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{\exp(s)Y}e^{X},}$$ $${\displaystyle e^{X}e^{Y}e^{-X}=e^{\exp(s)\,Y}.}$$

Результаты существования

Если и являются матрицами, можно вычислить, используя степенной ряд для экспоненты и логарифма, со сходимостью ряда, если и достаточно малы. Естественно собрать вместе все члены, где общая степень в и равна фиксированному числу , давая выражение . (См. раздел «Иллюстрация матричной группы Ли» выше для формул для первых нескольких .) Удивительно прямое и краткое, рекурсивное доказательство того, что каждый из них выразим в терминах повторных коммутаторов и , было дано Мартином Эйхлером . ^[12] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z:=\log \left(e^{X}e^{Y}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

В качестве альтернативы мы можем привести аргумент существования следующим образом. Формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа подразумевает, что если X и Y находятся в некоторой алгебре Ли, определенной над любым полем характеристики 0, например , или , то формально может быть записана как бесконечная сумма элементов из . [Этот бесконечный ряд может сходиться или не сходиться, поэтому он не должен определять фактический элемент Z в .] Для многих приложений достаточно простого подтверждения существования этого формального выражения, и явное выражение для этой бесконечной суммы не требуется. Например, это имеет место в лоренцевской ^[26] конструкции представления группы Ли из представления алгебры Ли. Существование можно рассматривать следующим образом. ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle Z=\log(\exp(X)\exp(Y)),}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Рассмотрим кольцо всех некоммутирующих формальных степенных рядов с действительными коэффициентами в некоммутирующих переменных X и Y. Существует кольцевой гомоморфизм из S в тензорное произведение S с S над R , называемое копроизведением , такое, что и (Определение Δ распространяется на другие элементы S, требуя R - линейности, мультипликативности и бесконечной аддитивности.) ${\displaystyle S=\mathbb {R} [[X,Y]]}$ $${\displaystyle \Delta \colon S\to S\otimes S,}$$ $${\displaystyle \Delta (X)=X\otimes 1+1\otimes X}$$ $${\displaystyle \Delta (Y)=Y\otimes 1+1\otimes Y.}$$

Затем можно проверить следующие свойства:

• Отображение exp , определяемое его стандартным рядом Тейлора , является биекцией между множеством элементов S с постоянным членом 0 и множеством элементов S с постоянным членом 1; обратным к exp является log
• ${\displaystyle r=\exp(s)}$является групповым (это означает ) , если и только если s является примитивным (это означает ). ${\displaystyle \Delta (r)=r\otimes r}$ ${\displaystyle \Delta (s)=s\otimes 1+1\otimes s}$
• Группоподобные элементы образуют группу при умножении.
• Примитивные элементы — это в точности формальные бесконечные суммы элементов алгебры Ли, порожденной X и Y , где скобка Ли задается коммутатором . ( Теорема Фридрихса ^{[16] [13]} ) ${\displaystyle [U,V]=UV-VU}$

Существование формулы Кэмпбелла–Бейкера–Хаусдорфа теперь можно рассматривать следующим образом: ^[13] Элементы X и Y являются примитивными, поэтому и являются групповыми; поэтому их произведение также является групповым; поэтому его логарифм является примитивным; и, следовательно, может быть записано как бесконечная сумма элементов алгебры Ли, порожденной X и Y . ${\displaystyle \exp(X)}$ ${\displaystyle \exp(Y)}$ ${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)}$ ${\displaystyle \log(\exp(X)\exp(Y))}$

Универсальная обертывающая алгебра свободной алгебры Ли, порожденной X и Y, изоморфна алгебре всех некоммутирующих многочленов от X и Y . Как и все универсальные обертывающие алгебры, она имеет естественную структуру алгебры Хопфа с копроизведением Δ . Кольцо S, использованное выше, является просто пополнением этой алгебры Хопфа.

формула Цассенхауза

Связанное комбинаторное разложение, которое полезно в двойственных ^[16] приложениях, заключается в том, что показатели более высокого порядка по t также являются вложенными коммутаторами, т. е. однородными полиномами Ли. ^[27] Эти показатели, C _n in exp(− tX ) exp( t ( X+Y )) = Π _n exp( t ⁿ C _n ) , следуют рекурсивно путем применения приведенного выше разложения БЧХ. $${\displaystyle e^{t(X+Y)}=e^{tX}~e^{tY}~e^{-{\frac {t^{2}}{2}}[X,Y]}~e^{{\frac {t^{3}}{6}}(2[Y,[X,Y]]+[X,[X,Y]])}~e^{{\frac {-t^{4}}{24}}([[[X,Y],X],X]+3[[[X,Y],X],Y]+3[[[X,Y],Y],Y])}\cdots }$$

Как следствие этого, следует разложение Сузуки–Троттера .

личность Кэмпбелла

Следующее тождество (Кэмпбелл 1897) приводит к частному случаю формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа. Пусть G — матричная группа Ли, а g — ее соответствующая алгебра Ли. Пусть ad _X — линейный оператор в g , определенный формулой ad _X Y = [ X , Y ] = XY − YX для некоторого фиксированного X ∈ g . ( Сопряженный эндоморфизм , встречающийся выше.) Обозначим через Ad _A для фиксированного A ∈ G линейное преобразование g , заданное формулой Ad _A Y = AYA ⁻¹ .

Стандартная комбинаторная лемма, которая используется ^[18] при создании вышеуказанных явных расширений, задается формулой ^[28]

Лемма  (Кэмпбелл 1897)  —  так, явно, $${\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{X}}=e^{\operatorname {ad} _{X}},}$$ $${\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{X}}Y=e^{X}Ye^{-X}=e^{\operatorname {ad} _{X}}Y=Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots .}$$

Это особенно полезная формула, которая обычно используется для проведения унитарных преобразований в квантовой механике . Определяя итеративный коммутатор, мы можем записать эту формулу более компактно как, $${\displaystyle [(X)^{n},Y]\equiv \underbrace {[X,\dotsb [X,[X} _{n{\text{ times }}},Y]]\dotsb ],\quad [(X)^{0},Y]\equiv Y,}$$ $${\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(X)^{n},Y]}{n!}}.}$$

Доказательство

Оценить производную по s функции f  ( s ) Y ≡ e ^sX Y e ^{− sX} , решение полученного дифференциального уравнения и оценка при s = 1 , или ^[29] $${\displaystyle {\frac {d}{ds}}f(s)Y={\frac {d}{ds}}\left(e^{sX}Ye^{-sX}\right)=Xe^{sX}Ye^{-sX}-e^{sX}Ye^{-sX}X=\operatorname {ad} _{X}(e^{sX}Ye^{-sX})}$$ $${\displaystyle f'(s)=\operatorname {ad} _{X}f(s),\qquad f(0)=1\qquad \Longrightarrow \qquad f(s)=e^{s\operatorname {ad} _{X}}.}$$

Применение идентичности

Для [ X , Y ] центральных, т.е. коммутирующих как с X, так и с Y , Следовательно, для g ( s ) ≡ e ^sX e ^sY следует, что чье решение Принимая дает один из частных случаев формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа, описанной выше: $${\displaystyle e^{sX}Ye^{-sX}=Y+s[X,Y]~.}$$ $${\displaystyle {\frac {dg}{ds}}={\Bigl (}X+e^{sX}Ye^{-sX}{\Bigr )}g(s)=(X+Y+s[X,Y])~g(s)~,}$$ $${\displaystyle g(s)=e^{s(X+Y)+{\frac {s^{2}}{2}}[X,Y]}~.}$$ ${\displaystyle s=1}$ $${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]}~.}$$

В более общем случае для нецентральных [ X , Y ] имеем что можно записать в виде следующего тождества плетения: ${\displaystyle e^{X}e^{Y}e^{-X}=e^{e^{X}Ye^{-X}}=e^{e^{{\text{ad}}_{X}}Y},}$ $${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{(Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots )}~e^{X}.}$$

Бесконечно малый случай

Особенно полезным вариантом вышеприведенной формы является бесконечно малая форма. Обычно она записывается как Эта вариация обычно используется для записи координат и реперных чисел как обратных протяжек метрики на группе Ли. $${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }$$

Например, записывая некоторые функции и базис для алгебры Ли, можно легко вычислить структурные константы алгебры Ли . ${\displaystyle X=X^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle X^{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ $${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots ,}$$ ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}$

Ряд можно записать более компактно (см. основную статью), как в случае с бесконечным рядом. Здесь M — матрица, матричные элементы которой равны . $${\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j},}$$ $${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}$$ ${\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}$

Полезность этого выражения вытекает из того факта, что матрица M является репером. Таким образом, если задано некоторое отображение из некоторого многообразия N в некоторое многообразие G , метрический тензор на многообразии N может быть записан как обратный образ метрического тензора на группе Ли G , Метрический тензор на группе Ли — это метрика Картана, форма Киллинга . Для N — (псевдо) риманова многообразия метрика является (псевдо) римановой метрикой . ${\displaystyle N\to G}$ ${\displaystyle B_{mn}}$ $${\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}{W_{j}}^{n}B_{mn}.}$$ ${\displaystyle B_{mn}}$

Применение в квантовой механике

Особый случай формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа полезен в квантовой механике и особенно в квантовой оптике , где X и Y — операторы гильбертова пространства , порождающие алгебру Ли Гейзенберга . В частности, операторы положения и импульса в квантовой механике, обычно обозначаемые и , удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению : где — оператор тождества. Из этого следует, что и коммутируют со своим коммутатором. Таким образом, если бы мы формально применили особый случай формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа (хотя и являются неограниченными операторами, а не матрицами), мы бы пришли к выводу, что Это «экспоненциальное коммутационное соотношение» действительно выполняется и составляет основу теоремы Стоуна–фон Неймана . Далее, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle [X,P]=i\hbar I}$$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle e^{iaX}e^{ibP}=e^{i\left(aX+bP-{\frac {ab\hbar }{2}}\right)}.}$$ ${\displaystyle e^{i(aX+bP)}=e^{iaX/2}e^{ibP}e^{iaX/2}.}$

Связанное приложение — операторы уничтожения и создания , â и â ^† . Их коммутатор [ â ^† , â ] = − I является центральным , то есть он коммутирует как с â , так и с â ^† . Как указано выше, расширение затем схлопывается до полутривиальной вырожденной формы: где v — просто комплексное число. $${\displaystyle e^{v{\hat {a}}^{\dagger }-v^{*}{\hat {a}}}=e^{v{\hat {a}}^{\dagger }}e^{-v^{*}{\hat {a}}}e^{-|v|^{2}/2},}$$

Этот пример иллюстрирует разложение оператора смещения , exp( vâ ^† − v ^* â ) , на экспоненты операторов уничтожения и создания и скаляры. ^[30]

Эта вырожденная формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа затем отображает произведение двух операторов смещения как другой оператор смещения (с точностью до фазового множителя), при этом результирующее смещение равно сумме двух смещений, поскольку группа Гейзенберга, которую они представляют, является нильпотентной . Вырожденная формула Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа также часто используется в квантовой теории поля . ^[31] $${\displaystyle e^{v{\hat {a}}^{\dagger }-v^{*}{\hat {a}}}e^{u{\hat {a}}^{\dagger }-u^{*}{\hat {a}}}=e^{(v+u){\hat {a}}^{\dagger }-(v^{*}+u^{*}){\hat {a}}}e^{(vu^{*}-uv^{*})/2},}$$

Смотрите также

• Матрица экспоненциальная
• Логарифм матрицы
• Формула произведения Ли (формула произведения Троттера)
• Соответствие группа Ли–алгебра Ли
• Производная экспоненциального отображения
• Расширение Магнуса
• Теорема Стоуна–фон Неймана
• Неравенство Голдена–Томпсона

Примечания

1. Вспомним числа Бернулли : B ₀ = 1, B ₁ = 1/2, B ₂ = 1/6, B ₄ = −1/30, ... $${\displaystyle \psi (e^{y})=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}~y^{n}/n!,}$$
2. Rossmann 2002 Уравнение (2) Раздел 1.3. Для матричных алгебр Ли над полями R и C критерий сходимости состоит в том, что логарифмический ряд сходится для обеих сторон e Z = e ^X e ^Y . Это гарантируется всякий раз, когда ‖ X ‖ + ‖ Y ‖ < log 2, ‖ Z ‖ < log 2 ^в норме Гильберта–Шмидта . Сходимость может происходить на большей области. См. Rossmann 2002 стр. 24.

Ссылки

1. Россманн 2002
2. Холл 2015
3. Ф. Шур (1890), «Neue Begründung der Theorie der endlichen Transformationsgruppen», Mathematische Annalen , 35 (1890), 161–197. онлайн-копия
4. см., например, Шломо Стернберг , Алгебры Ли (2004) Гарвардский университет. ( см. стр. 10. )
5. Джон Эдвард Кэмпбелл , Труды Лондонского математического общества 28 (1897) 381–390; (см. стр. 386-7 для одноименной леммы); Дж. Кэмпбелл, Труды Лондонского математического общества 29 (1898) 14–32.
6. Анри Пуанкаре , Comptes rendus de l'Académie des Sciences 128 (1899) 1065–1069; Труды Кембриджского философского общества 18 (1899) 220–255. онлайн
7. Генри Фредерик Бейкер , Труды Лондонского математического общества (1) 34 (1902) 347–360; Х. Бейкер, Труды Лондонского математического общества (1) 35 (1903) 333–374; Х. Бейкер, Труды Лондонского математического общества (серия 2) 3 (1905) 24–47.
8. Феликс Хаусдорф , «Символическая экспоненциальная форма в групповой теории», Ber Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48.
9. Россманн 2002 стр. 23
10. Ахиллес и Бонфильоли 2012
11. Бонфильоли и Фульчи 2012
12. Eichler, Martin (1968). «Новое доказательство формулы Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа». Журнал математического общества Японии . 20 (1–2): 23–25. doi : 10.2969/jmsj/02010023 .
13. Натан Якобсон , Алгебры Ли , John Wiley & Sons, 1966.
14. Дынкин, Евгений Борисович (1947). «Вычисление коэффициентов в формуле Кэмпбелла–Хаусдорфа». Доклады Академии наук СССР . 57 : 323–326.
15. AA Sagle & RE Walde, «Введение в группы Ли и алгебры Ли», Academic Press, Нью-Йорк, 1973. ISBN 0-12-614550-4 . 
16. Магнус, Вильгельм (1954). «Об экспоненциальном решении дифференциальных уравнений для линейного оператора». Сообщения по чистой и прикладной математике . 7 (4): 649–673. doi :10.1002/cpa.3160070404.
17. Suzuki, Masuo (1985). «Формулы разложения экспоненциальных операторов и экспонент Ли с некоторыми приложениями к квантовой механике и статистической физике». Журнал математической физики . 26 (4): 601–612. Bibcode : 1985JMP....26..601S. doi : 10.1063/1.526596.; Велтман, М. , 'т Хоофт, Г. и де Вит, Б. (2007), Приложение D.
18. W. Miller, Группы симметрии и их приложения , Academic Press , Нью-Йорк, 1972, стр. 159–161. ISBN 0-12-497460-0 
19. Холл 2015 Теорема 5.3
20. Холл 2015 Пример 3.41
21. Wei, James (октябрь 1963 г.). «Заметка о глобальной валидности теорем Бейкера-Хаусдорфа и Магнуса». Журнал математической физики . 4 (10): 1337–1341. Bibcode : 1963JMP.....4.1337W. doi : 10.1063/1.1703910.
22. Бьяджи, Стефано; Бонфильоли, Андреа; Матоне, Марко (2018). «О теореме Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа: проблемы несходимости и продолжения». Линейная и полилинейная алгебра . 68 (7): 1310–1328. arXiv : 1805.10089 . doi : 10.1080/03081087.2018.1540534. ISSN  0308-1087. S2CID  53585331.
23. Холл 2015 Теорема 5.1
24. Джерри, Кристофер; Найт, Питер (2005). Введение в квантовую оптику (1-е изд.). Cambridge University Press. стр. 49. ISBN 978-0-521-52735-4.
25. Холл 2015 Упражнение 5.5
26. Холл 2015 Раздел 5.7
27. Касас, Ф.; Муруа, А.; Надинич, М. (2012). «Эффективное вычисление формулы Цассенхауза». Computer Physics Communications . 183 (11): 2386–2391. arXiv : 1204.0389 . Bibcode : 2012CoPhC.183.2386C. doi : 10.1016/j.cpc.2012.06.006. S2CID  2704520.
28. Холл 2015 Предложение 3.35
29. Россманн 2002 стр. 15
30. Л. Мандель , Э. Вольф Оптическая когерентность и квантовая оптика (Кембридж, 1995).
31. Greiner & Reinhardt 1996 Подробное доказательство приведенной выше леммы см. на стр. 27–29.

Библиография

• Ахиллес, Рюдигер; Бонфильоли, Андреа (май 2012 г.). «Ранние доказательства теоремы Кэмпбелла, Бейкера, Хаусдорфа и Дынкина». Архив для History of Exact Sciences . 66 (3): 295–358. doi :10.1007/s00407-012-0095-8. S2CID  120032172.
• Ю.А.Бахтурин (2001) [1994], "Формула Кэмпбелла–Хаусдорфа", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Bonfiglioli, Andrea; Fulci, Roberta (2012). Темы некоммутативной алгебры: теорема Кэмпбелла, Бейкера, Хаусдорфа и Дынкина . Springer. ISBN 978-3-642-22597-0.
• Л. Корвин и Ф. П. Гринлиф, Представление нильпотентных групп Ли и их приложения, Часть 1: Основная теория и примеры , Cambridge University Press , Нью-Йорк, 1990, ISBN 0-521-36034-X . 
• Грейнер, В.; Рейнхардт, Дж. (1996), Квантование поля , Springer Publishing , ISBN 978-3-540-59179-5
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления. Элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли – Введение через линейные группы , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 978-0-19-859683-7
• Серр, Жан-Пьер (1965). Алгебры Ли и группы Ли . Бенджамин.
• Шмид, Вильфрид (1982). "Группы Пуанкаре и Ли" (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 6 (2): 175−186. doi : 10.1090/s0273-0979-1982-14972-2 .
• Шломо Штернберг (2004) Алгебры Ли , Orange Grove Books, ISBN 978-1616100520 бесплатно, онлайн 
• Вельтман, М. , 'т Хоофт, Г. и де Вит, Б. (2007). «Группы Ли в физике», онлайн-лекции.

Внешние ссылки

• CK Zachos , Краткие заметки о расширениях CBH doi :10.13140/2.1.3090.2409
• Страница MathWorld