Коммутатор

Операция измерения невозможности двух объектов добираться на работу

В математике коммутатор указывает на степень, в которой определенная двоичная операция не является коммутативной . В теории групп и теории колец используются разные определения .

Теория групп

Коммутатором двух элементов g и h группы G является элемент

[ грамм , час ] знак равно грамм ^-1 час ^-1 gh .

Этот элемент равен единице группы тогда и только тогда, когда g и h коммутируют (из определения gh = hg [ g , h ] , где [ g , h ] равно единице тогда и только тогда, когда gh = hg ).

Множество всех коммутаторов группы, вообще говоря, не замкнуто относительно групповой операции, но подгруппа G , порожденная всеми коммутаторами , замкнута и называется производной группой или подгруппой коммутатора G . Коммутаторы используются для определения нильпотентных и разрешимых групп, а также наибольшей абелевой факторгруппы .

Определение коммутатора, приведенное выше, используется на протяжении всей статьи, но многие другие теоретики групп определяют коммутатор как

[ грамм , час ] знак равно ghg ^-1 час ^-1 . ^{[1] [2]}

Тождества (теория групп)

Коммутирующие тождества являются важным инструментом в теории групп . ^[3] Выражение a ^x обозначает сопряжение a с x , определяемое как x ⁻¹ ax .

1. ${\displaystyle x^{y}=x[x,y].}$
2. ${\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}$
3. ${\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}$и ${\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}$
4. ${\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}$и ${\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}$
5. ${\displaystyle \left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1}$и ${\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.}$

Тождество (5) также известно как тождество Холла-Витта , в честь Филипа Холла и Эрнста Витта . Это теоретико-групповой аналог тождества Якоби для теоретико-кольцевого коммутатора (см. следующий раздел).

Обратите внимание: приведенное выше определение сопряжения a с x используется некоторыми теоретиками групп. ^[4] Многие другие теоретики групп определяют сопряжение a с x как xax ⁻¹ . ^[5] Так часто пишут . Подобные тождества справедливы и для этих конвенций. ${\displaystyle {}^{x}a}$

Используются многие тождества, которые верны по модулю определенных подгрупп. Они могут быть особенно полезны при изучении разрешимых и нильпотентных групп . Например, в любой группе хорошо ведут себя вторые степени:

${\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}$

Если производная подгруппа центральная, то

${\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}$

Теория колец

Кольца часто не поддерживают разделение. Таким образом, коммутатор двух элементов a и b кольца (или любой ассоциативной алгебры ) определяется по-разному:

${\displaystyle [a,b]=ab-ba.}$

Коммутатор равен нулю тогда и только тогда, когда a и b коммутируют. В линейной алгебре , если два эндоморфизма пространства представлены коммутирующими матрицами в терминах одного базиса, то они так же представляются в терминах каждого базиса. Используя коммутатор в качестве скобки Ли , любую ассоциативную алгебру можно превратить в алгебру Ли .

Антикоммутатор двух элементов a и b кольца или ассоциативной алгебры определяется формулой

${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}$

Иногда используется для обозначения антикоммутатора, а затем для обозначения коммутатора. ^[6] Антикоммутатор используется реже, но может использоваться для определения алгебр Клиффорда и йордановых алгебр , а также при выводе уравнения Дирака в физике элементарных частиц . ${\displaystyle [a,b]_{+}}$ ${\displaystyle [a,b]_{-}}$

Коммутатор двух операторов, действующих в гильбертовом пространстве , является центральным понятием квантовой механики , поскольку он количественно определяет, насколько хорошо две наблюдаемые , описываемые этими операторами, могут быть измерены одновременно. Принцип неопределенности в конечном итоге является теоремой о таких коммутаторах в силу соотношения Робертсона-Шредингера . ^[7] В фазовом пространстве эквивалентные коммутаторы функций -звездочек называются скобками Мойала и полностью изоморфны упомянутым структурам коммутаторов гильбертова пространства.

Тождества (теория колец)

Коммутатор обладает следующими свойствами:

Тождества алгебры лжи

1. ${\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}$
2. ${\displaystyle [A,A]=0}$
3. ${\displaystyle [A,B]=-[B,A]}$
4. ${\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}$

Соотношение (3) называется антикоммутативностью , а (4) — тождеством Якоби .

Дополнительные личности

1. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$
2. ${\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
3. ${\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}$
4. ${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
5. ${\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}$
6. ${\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}$
7. ${\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}$
8. ${\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}$
9. ${\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}$
10. ${\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}$

Если A является фиксированным элементом кольца R , тождество (1) можно интерпретировать как правило Лейбница для отображения, заданного . Другими словами, отображение ad _A определяет дифференцирование на кольце R . Тождества (2), (3) представляют собой правила Лейбница для более чем двух факторов и справедливы для любого вывода. Тождества (4)–(6) можно интерпретировать и как правила Лейбница. Тождества (7), (8) выражают Z - билинейность . ${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}$

Из тождества (9) находим, что коммутатор целых степеней кольцевых элементов равен:

${\displaystyle [A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n}B^{m}[A,B]A^{N-n-1}B^{M-m-1}}$

Некоторые из приведенных выше тождеств можно распространить на антикоммутатор, используя приведенное выше обозначение ±. ^[8] Например:

1. ${\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}$
2. ${\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B}$
3. ${\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]}$
4. ${\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0}$
5. ${\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}}$
6. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}$

Экспоненциальные тождества

Рассмотрим кольцо или алгебру, в которой экспонента может быть осмысленно определена, например банахову алгебру или кольцо формальных степенных рядов . ${\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }$

В таком кольце лемма Адамара , примененная к вложенным коммутаторам, дает: (Последнее выражение см. в разделе «Присоединенный вывод» ниже.) Эта формула лежит в основе разложения Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа log (exp ( A ) exp ( B )). ${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$

Подобное расширение выражает групповой коммутатор выражений (аналог элементов группы Ли ) через серию вложенных коммутаторов (скобок Ли), ${\displaystyle e^{A}}$

$${\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}$$

Градуированные кольца и алгебры

При работе с градуированными алгебрами коммутатор обычно заменяют градуированным коммутатором , определяемым в однородных компонентах как

${\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}$

Присоединенный вывод

Другое обозначение оказывается полезным, особенно если иметь дело с несколькими коммутаторами в кольце R. Для элемента мы определяем присоединенное отображение следующим образом: ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}:R\to R}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}$

Это отображение является дифференцированием на кольце R :

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).}$

По тождеству Якоби это также вывод над операцией коммутации:

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].}$

Составляя такие отображения, получаем, например , и ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}$

$${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].}$$

Rалгебры Ли ${\displaystyle \mathrm {ad} }$ ${\displaystyle \mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (R)}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} }$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}$

Напротив, это не всегда кольцевой гомоморфизм: обычно . ${\displaystyle \operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}}$

Правило генерала Лейбница

Общее правило Лейбница , расширяющее повторяющиеся производные произведения, можно записать абстрактно, используя присоединенное представление:

${\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.}$

Заменив на оператор дифференцирования и на оператор умножения , получим , и применив обе части к функции g , тождество становится обычным правилом Лейбница для n -й производной . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle m_{f}:g\mapsto fg}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}}$ ${\displaystyle \partial ^{n}\!(fg)}$

Смотрите также

• Антикоммутативность
• Ассоциатор
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Каноническое коммутационное соотношение
• Центратор, он же коммутант
• Вывод (абстрактная алгебра)
• Кронштейн Мойал
• Производная Пинчерле
• скобка Пуассона
• Тройной коммутатор
• Лемма о трёх подгруппах

Примечания

1. Фрели (1976, стр. 108)
2. Херштейн (1975, стр. 65)
3. Маккей (2000, стр. 4)
4. Херштейн (1975, стр. 83)
5. Фрели (1976, стр. 128)
6. МакМахон (2008)
7. Либофф (2003, стр. 140–142)
8. Лавров (2014)

Рекомендации

• Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.), Прентис Холл , ISBN 0-13-805326-Х
• Херштейн, Индиана (1975), Темы алгебры (2-е изд.), Wiley, ISBN 0471010901
• Лавров, П. М. (2014), «Тождества типа Якоби в алгебрах и супералгебрах», Теоретическая и математическая физика , 179 (2): 550–558, arXiv : 1304.5050 , Bibcode : 2014TMP...179..550L, doi : 10.1007 /s11232-014-0161-2, S2CID  119175276
• Либофф, Ричард Л. (2003), Вводная квантовая механика (4-е изд.), Аддисон-Уэсли , ISBN 0-8053-8714-5
• Маккей, Сьюзен (2000), Конечные p-группы , Математические заметки королевы Марии, том. 18 лет, Лондонский университет , ISBN 978-0-902480-17-9, МР  1802994
• МакМахон, Д. (2008), Квантовая теория поля , МакГроу Хилл , ISBN 978-0-07-154382-8

дальнейшее чтение

• Маккензи, Р .; Сноу, Дж. (2005), «Конгруэнтные модульные многообразия: теория коммутаторов», Кудрявцев, В.Б.; Розенберг, И.Г. (ред.), Структурная теория автоматов, полугрупп и универсальной алгебры , Научная серия НАТО II, том. 207, Springer, стр. 273–329, номер документа : 10.1007/1-4020-3817-8_11, ISBN. 9781402038174

Внешние ссылки

• «Коммутатор», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]