Правило продукта

Формула производной произведения

Геометрическая иллюстрация доказательства правила произведения

В исчислении правило произведения (или правило Лейбница ^[1] или правило произведения Лейбница ) — это формула, используемая для нахождения производных произведений двух или более функций . Для двух функций это может быть указано в нотации Лагранжа как или в нотации Лейбница как $${\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)={\frac {du}{dx}}\cdot v+u\cdot {\frac {dv}{dx}}.}$$

Правило может быть расширено или обобщено на произведения трех или более функций, на правило для производных более высокого порядка от произведения и на другие контексты.

Открытие

Открытие этого правила приписывают Готфриду Лейбницу , который продемонстрировал его с помощью «бесконечно малых» (предшественника современного дифференциала ). ^[2] (Однако Дж. М. Чайлд, переводчик статей Лейбница, ^[3] утверждает, что это принадлежит Исааку Барроу .) Вот аргумент Лейбница: ^[4] Пусть u и v будут функциями. Тогда d(uv) — это то же самое, что и разность между двумя последовательными uv ; пусть одно из них будет uv , а другое u+du умножить на v+dv ; тогда: $${\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}$$

Поскольку член du · dv является «незначительным» (по сравнению с du и dv ), Лейбниц пришел к выводу, что и это действительно дифференциальная форма правила произведения. Если мы разделим на дифференциал dx , то получим , что также можно записать в обозначениях Лагранжа как $${\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}$$ $${\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.}$$

Примеры

• Предположим, мы хотим выполнить дифференцирование. Используя правило произведения, получаем производную (поскольку производная функции равна , а производная функции синуса равна функции косинуса). ${\displaystyle f(x)=x^{2}{\text{sin}}(x).}$ ${\displaystyle f'(x)=2x\cdot {\text{sin}}(x)+x^{2}{\text{cos}}(x)}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 2x,}$
• Одним из особых случаев правила произведения является правило кратного константы , которое гласит: если c — число, а — дифференцируемая функция, то также дифференцируема, и ее производная равна Это следует из правила произведения, поскольку производная любой константы равна нулю. Это, в сочетании с правилом суммы для производных, показывает, что дифференциация линейна . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle c\cdot f(x)}$ ${\displaystyle (cf)'(x)=c\cdot f'(x).}$
• Правило интегрирования по частям выводится из правила произведения, как и (слабая версия) правила частного . (Это «слабая» версия в том смысле, что она не доказывает, что частное дифференцируемо, а только говорит, чему равна его производная, если оно дифференцируемо.)

Доказательства

Предельное определение производной

Пусть h ( x ) = f ( x ) g ( x ) и предположим, что f и g дифференцируемы в точке x . Мы хотим доказать, что h дифференцируем в точке x и что его производная h ′ ( x ) дается выражением f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . Для этого (который равен нулю и, таким образом, не меняет значения) добавляется к числителю, чтобы разрешить его факторизацию, а затем используются свойства пределов. Тот факт, что следует из того факта, что дифференцируемые функции непрерывны. ${\displaystyle f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\big [}f(x+\Delta x)-f(x){\big ]}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot {\big [}g(x+\Delta x)-g(x){\big ]}}{\Delta x}}\\[5pt]&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\[5pt]&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}g(x+\Delta x)=g(x)}$

Линейные аппроксимации

По определению, если дифференцируемы при , то мы можем записать линейные приближения : и где члены ошибки малы по отношению к h : то есть также записано . Тогда: «Члены ошибки» состоят из таких элементов, как и , которые, как легко видеть, имеют величину Деление на и взятие предела дает результат. ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle f(x+h)=f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h)}$$ $${\displaystyle g(x+h)=g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h),}$$ ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{1}(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\varepsilon _{2}(h)}{h}}=0,}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\sim o(h)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)&=(f(x)+f'(x)h+\varepsilon _{1}(h))(g(x)+g'(x)h+\varepsilon _{2}(h))-f(x)g(x)\\[.5em]&=f(x)g(x)+f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h-f(x)g(x)+{\text{error terms}}\\[.5em]&=f'(x)g(x)h+f(x)g'(x)h+o(h).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle f(x)\varepsilon _{2}(h),f'(x)g'(x)h^{2}}$ ${\displaystyle hf'(x)\varepsilon _{1}(h)}$ ${\displaystyle o(h).}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h\to 0}$

Четверть квадратов

Это доказательство использует цепное правило и функцию четверти квадрата с производной . Имеем: и дифференцируя обе части, получаем: ${\displaystyle q(x)={\tfrac {1}{4}}x^{2}}$ ${\displaystyle q'(x)={\tfrac {1}{2}}x}$ $${\displaystyle uv=q(u+v)-q(u-v),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f'&=q'(u+v)(u'+v')-q'(u-v)(u'-v')\\[4pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}(u+v)(u'+v')\right)-\left({\tfrac {1}{2}}(u-v)(u'-v')\right)\\[4pt]&={\tfrac {1}{2}}(uu'+vu'+uv'+vv')-{\tfrac {1}{2}}(uu'-vu'-uv'+vv')\\[4pt]&=vu'+uv'.\end{aligned}}}$$

Правило многомерной цепочки

Правило произведения можно рассматривать как частный случай правила цепочки для нескольких переменных, примененного к функции умножения : ${\displaystyle m(u,v)=uv}$ $${\displaystyle {d(uv) \over dx}={\frac {\partial (uv)}{\partial u}}{\frac {du}{dx}}+{\frac {\partial (uv)}{\partial v}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}.}$$

Нестандартный анализ

Пусть u и v — непрерывные функции от x , а dx , du и dv — бесконечно малые в рамках нестандартного анализа , в частности, гипердействительные числа . Используя st для обозначения стандартной части функции , которая сопоставляет конечному гипердействительному числу действительное число, бесконечно близкое к нему, это дает По сути, это было доказательством Лейбница, использующим трансцендентный закон однородности (вместо стандартной части выше). $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d(uv)}{dx}}&=\operatorname {st} \left({\frac {(u+du)(v+dv)-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(u{\frac {dv}{dx}}+(v+dv){\frac {du}{dx}}\right)\\&=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}.\end{aligned}}}$$

Гладкий бесконечно малый анализ

В контексте подхода Ловера к бесконечно малым пусть будет бесконечно малым числом, равным нулю. Тогда и , так что поскольку деление на то дает или . ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle du=u'\ dx}$ ${\displaystyle dv=v'\ dx}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d(uv)&=(u+du)(v+dv)-uv\\&=uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv-uv\\&=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv\\&=u\cdot dv+v\cdot du\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle du\,dv=u'v'(dx)^{2}=0.}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle {\frac {d(uv)}{dx}}=u{\frac {dv}{dx}}+v{\frac {du}{dx}}}$ ${\displaystyle (uv)'=u\cdot v'+v\cdot u'}$

Логарифмическое дифференцирование

Пусть . Взяв абсолютное значение каждой функции и натуральный логарифм обеих сторон уравнения, Применив свойства абсолютного значения и логарифмов, Взяв логарифмическую производную обеих сторон и затем решив для : Решение для и обратная подстановка для дает: Примечание: Взятие абсолютного значения функций необходимо для логарифмического дифференцирования функций, которые могут иметь отрицательные значения, поскольку логарифмы являются действительными только для положительных аргументов. Это работает, потому что , что оправдывает взятие абсолютного значения функций для логарифмического дифференцирования. ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$ $${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)g(x)|}$$ $${\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)|+\ln |g(x)|}$$ ${\displaystyle h'(x)}$ $${\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}}$$ ${\displaystyle h'(x)}$ ${\displaystyle f(x)g(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f(x)g(x)\left({\frac {f'(x)}{f(x)}}+{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}}$

Обобщения

Произведение более двух факторов

Правило произведения можно обобщить на произведения более двух факторов. Например, для трех факторов имеем Для набора функций имеем $${\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.}$$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}$$

Логарифмическая производная обеспечивает более простое выражение последней формы, а также прямое доказательство, которое не включает никакой рекурсии . Логарифмическая производная функции f , обозначенная здесь Logder( f ) , является производной логарифма функции . Отсюда следует, что Используя то, что логарифм произведения является суммой логарифмов множителей, правило сумм для производных дает немедленно Последнее вышеприведенное выражение производной произведения получается путем умножения обоих членов этого уравнения на произведение $${\displaystyle \operatorname {Logder} (f)={\frac {f'}{f}}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {Logder} (f_{1}\cdots f_{k})=\sum _{i=1}^{k}\operatorname {Logder} (f_{i}).}$$ ${\displaystyle f_{i}.}$

Высшие производные

Его также можно обобщить до общего правила Лейбница для n- й производной произведения двух множителей, символически разложив согласно биномиальной теореме : $${\displaystyle d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).}$$

Примененная в определенной точке x , приведенная выше формула дает: $${\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}$$

Более того, для n- й производной произвольного числа факторов имеем аналогичную формулу с полиномиальными коэффициентами : $${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{\!\!(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.}$$

Высшие частные производные

Для частных производных мы имеем ^[5] , где индекс S пробегает все 2 ⁿ подмножеств { 1, ..., n } , а | S | — мощность S. Например, когда n = 3 , $${\displaystyle {\partial ^{n} \over \partial x_{1}\,\cdots \,\partial x_{n}}(uv)=\sum _{S}{\partial ^{|S|}u \over \prod _{i\in S}\partial x_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}v \over \prod _{i\not \in S}\partial x_{i}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial ^{3} \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}(uv)\\[1ex]={}&u\cdot {\partial ^{3}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{1}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{2}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}+{\partial u \over \partial x_{3}}\cdot {\partial ^{2}v \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\\[1ex]&+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}}\cdot {\partial v \over \partial x_{3}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot {\partial v \over \partial x_{1}}+{\partial ^{3}u \over \partial x_{1}\,\partial x_{2}\,\partial x_{3}}\cdot v.\\[-3ex]&\end{aligned}}}$$

Банахово пространство

Предположим, что X , Y и Z — банаховы пространства (включая евклидово пространство ), а B  : X × Y → Z — непрерывный билинейный оператор . Тогда B дифференцируем, а его производная в точке ( x , y ) в X × Y — это линейное отображение D _{( x , y )} B  : X × Y → Z , заданное формулой $${\displaystyle (D_{\left(x,y\right)}\,B)\left(u,v\right)=B\left(u,y\right)+B\left(x,v\right)\qquad \forall (u,v)\in X\times Y.}$$

Этот результат можно распространить ^[6] на более общие топологические векторные пространства.

В векторном исчислении

Правило произведения распространяется на различные операции произведения векторных функций на : ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Для скалярного умножения : $${\displaystyle (f\cdot \mathbf {g} )'=f'\cdot \mathbf {g} +f\cdot \mathbf {g} '}$$
• Для скалярного произведения : $${\displaystyle (\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\cdot \mathbf {g} +\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} '}$$
• Для перекрестного произведения векторных функций на : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle (\mathbf {f} \times \mathbf {g} )'=\mathbf {f} '\times \mathbf {g} +\mathbf {f} \times \mathbf {g} '}$$

Существуют также аналоги для других аналогов производной: если f и g — скалярные поля, то существует правило произведения с градиентом : $${\displaystyle \nabla (f\cdot g)=\nabla f\cdot g+f\cdot \nabla g}$$

Такое правило будет выполняться для любой непрерывной билинейной операции произведения. Пусть B  : X × Y → Z — непрерывное билинейное отображение между векторными пространствами, а f и g — дифференцируемые функции в X и Y соответственно. Единственными свойствами умножения, используемыми в доказательстве с использованием предельного определения производной, является то, что умножение является непрерывным и билинейным. Таким образом, для любой непрерывной билинейной операции это также частный случай правила произведения для билинейных отображений в банаховом пространстве. $${\displaystyle H(f,g)'=H(f',g)+H(f,g').}$$

Выводы в абстрактной алгебре и дифференциальной геометрии

В абстрактной алгебре правило произведения является определяющим свойством вывода . В этой терминологии правило произведения утверждает, что оператор производной является выводом функций.

В дифференциальной геометрии касательный вектор к многообразию M в точке p может быть определен абстрактно как оператор на действительных функциях, который ведет себя как производная по направлению в точке p : то есть линейный функционал v, который является производной, Обобщая (и дуализируя) формулы векторного исчисления на n -мерное многообразие M, можно взять дифференциальные формы степеней k и l , обозначаемые , с операцией клина или внешнего произведения , а также внешней производной . Тогда получается градуированное правило Лейбница : $${\displaystyle v(fg)=v(f)\,g(p)+f(p)\,v(g).}$$ ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M),\beta \in \Omega ^{\ell }(M)}$ ${\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{k+\ell }(M)}$ ${\displaystyle d:\Omega ^{m}(M)\to \Omega ^{m+1}(M)}$ $${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}$$

Приложения

Среди приложений правила произведения есть доказательство того, что когда n — положительное целое число (это правило верно, даже если n не положительно или не является целым числом, но доказательство этого должно опираться на другие методы). Доказательство проводится с помощью математической индукции по показателю степени n . Если n  = 0, то x ⁿ является константой и nx ^{n  − 1} = 0. Правило выполняется в этом случае, поскольку производная постоянной функции равна 0. Если правило выполняется для любого конкретного показателя степени n , то для следующего значения, n  + 1, мы имеем Следовательно, если предложение верно для n , оно верно также для  n  + 1, и, следовательно, для всех натуральных n . $${\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx^{n+1}}{dx}}&{}={\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\cdot x\right)\\[1ex]&{}=x{\frac {d}{dx}}x^{n}+x^{n}{\frac {d}{dx}}x&{\text{(the product rule is used here)}}\\[1ex]&{}=x\left(nx^{n-1}\right)+x^{n}\cdot 1&{\text{(the induction hypothesis is used here)}}\\[1ex]&{}=\left(n+1\right)x^{n}.\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Дифференцирование интегралов  – Задача по математике
• Дифференцирование тригонометрических функций  – Математический процесс нахождения производной тригонометрической функции.
• Правила дифференцирования  – Правила вычисления производных функций
• Распределение (математика)  – термин математического анализа, аналогичный обобщенной функции.
• Общее правило Лейбница  – Обобщение правила произведения в исчислении
• Интеграция по частям  – Математический метод в исчислении
• Обратные функции и дифференцирование  – Исчисление тождестваPages displaying short descriptions of redirect targets
• Линейность дифференциации  – свойство исчисления
• Правило мощности  – Метод дифференцирования одночленных полиномов
• Правило частного  – Формула производной отношения функций
• Таблица производных  – Правила вычисления производных функцийPages displaying short descriptions of redirect targets
• Тождества векторного исчисления  – Математические тождества

Ссылки

1. «Правило Лейбница – Энциклопедия математики».
2. Мишель Чирилло (август 2007 г.). «Очеловечивание исчисления» . Учитель математики . 101 (1): 23–27. doi :10.5951/MT.101.1.0023.
3. Лейбниц, GW (2005) [1920], Ранние математические рукописи Лейбница (PDF) , перевод Дж. М. Чайлда, Довер, стр. 28, сноска 58, ISBN 978-0-486-44596-0
4. Лейбниц, GW (2005) [1920], Ранние математические рукописи Лейбница (PDF) , перевод Дж. М. Чайлда, Довер, стр. 143, ISBN 978-0-486-44596-0
5. Майкл Харди (январь 2006 г.). "Комбинаторика частичных производных" ( PDF) . Электронный журнал комбинаторики . 13. arXiv : math/0601149 . Bibcode :2006math......1149H.
6. Крейгль, Андреас; Михор, Питер (1997). Удобная настройка глобального анализа (PDF) . Американское математическое общество. стр. 59. ISBN 0-8218-0780-3.
7. Стюарт, Джеймс (2016), Calculus (8-е изд.), Cengage, Раздел 13.2.