наблюдаемый

Любая сущность, которую можно измерить

В физике наблюдаемая — это физическое свойство или физическая величина , которую можно измерить . В классической механике наблюдаемая — это вещественная «функция» на множестве всех возможных состояний системы, например положения и импульса . В квантовой механике наблюдаемая — это оператор или калибровка , в которой свойство квантового состояния может быть определено некоторой последовательностью операций . Например, эти операции могут включать в себя воздействие на систему различных электромагнитных полей и, в конечном итоге, считывание значения.

Физически значимые наблюдаемые также должны удовлетворять законам преобразования , которые связывают наблюдения, выполненные разными наблюдателями в разных системах отсчета . Эти законы преобразования являются автоморфизмами пространства состояний , то есть биективными преобразованиями , сохраняющими определенные математические свойства рассматриваемого пространства.

Квантовая механика

В квантовой механике наблюдаемые проявляются как самосопряженные операторы в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве , представляющем пространство квантовых состояний . ^[1] Наблюдаемые присваивают значения результатам конкретных измерений , соответствующие собственному значению оператора. Если эти результаты представляют собой физически допустимые состояния (т. е. те, которые принадлежат гильбертовому пространству), собственные значения действительны ; однако обратное не обязательно верно. ^{[2] [3] [4]} Как следствие, только определенные измерения могут определить значение наблюдаемой для некоторого состояния квантовой системы. В классической механике для определения значения наблюдаемой можно провести любое измерение.

Связь между состоянием квантовой системы и значением наблюдаемой требует для своего описания некоторой линейной алгебры . В математической формулировке квантовой механики с точностью до фазовой константы чистые состояния задаются ненулевыми векторами в гильбертовом пространстве V. Считается, что два вектора v и w определяют одно и то же состояние тогда и только тогда, когда для некоторого ненулевого значения . Наблюдаемые задаются самосопряженными операторами на V . Не каждый самосопряженный оператор соответствует физически значимой наблюдаемой. ^{[5] [6] [7] [8]} Кроме того, не все физические наблюдаемые связаны с нетривиальными самосопряженными операторами. Например, в квантовой теории масса появляется как параметр гамильтониана, а не как нетривиальный оператор. ^[9] ${\displaystyle \mathbf {w} =c\mathbf {v} }$ ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

В случае законов преобразований в квантовой механике требуемыми автоморфизмами являются унитарные ( или антиунитарные ) линейные преобразования гильбертова пространства V. В рамках теории относительности Галилея или специальной теории относительности математика систем отсчета особенно проста, что значительно ограничивает набор физически значимых наблюдаемых.

В квантовой механике измерение наблюдаемых демонстрирует некоторые, казалось бы, неинтуитивные свойства. В частности, если система находится в состоянии, описываемом вектором в гильбертовом пространстве , процесс измерения влияет на состояние недетерминированным, но статистически предсказуемым образом. В частности, после применения измерения описание состояния одним вектором может быть уничтожено, заменено статистическим ансамблем . Необратимый характер операций измерения в квантовой физике иногда называют проблемой измерения и математически описывается квантовыми операциями . По структуре квантовых операций это описание математически эквивалентно тому, которое предлагает интерпретация относительного состояния , когда исходная система рассматривается как подсистема более крупной системы, а состояние исходной системы задается частичным следом состояния более крупная система.

В квантовой механике динамические переменные, такие как положение, поступательный (линейный) момент , орбитальный угловой момент , вращение и полный угловой момент, связаны с самосопряженным оператором , который воздействует на состояние квантовой системы. Собственные значения оператора соответствуют возможным значениям, которые может иметь динамическая переменная. Например, предположим , что это собственный вектор ( собственный вектор ) наблюдаемой с собственным значением , который существует в гильбертовом пространстве . Затем ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle {\hat {A}}|\psi _{a}\rangle =a|\psi _{a}\rangle .}$$

Это уравнение собственного значения гласит, что если измерение наблюдаемой величины производится, когда интересующая система находится в состоянии , то наблюдаемое значение этого конкретного измерения должно с уверенностью возвращать собственное значение. Однако, если интересующая система находится в общем состоянии (и являются единичными векторами , а собственное пространство одномерно), то собственное значение возвращается с вероятностью по правилу Борна . ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |\phi \rangle \in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle |\langle \psi _{a}|\phi \rangle |^{2}}$

Совместимые и несовместимые наблюдаемые в квантовой механике

Принципиальное различие между классическими величинами и квантовомеханическими наблюдаемыми заключается в том, что некоторые пары квантовых наблюдаемых не могут быть измеримы одновременно — свойство, называемое дополнительностью . Математически это выражается некоммутативностью соответствующих им операторов, т. е. коммутатор

$${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]:={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\neq {\hat {0}}.}$$

Это неравенство выражает зависимость результатов измерений от порядка проведения измерений наблюдаемых и . Измерение изменяет квантовое состояние таким образом, что это несовместимо с последующим измерением и наоборот. ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Наблюдаемые, соответствующие коммутирующим операторам, называются совместимыми наблюдаемыми . Например, импульс вдоль оси и оси совместимы. Наблюдаемые, соответствующие некоммутирующим операторам, называются несовместимыми наблюдаемыми или дополнительными переменными . Например, положение и импульс вдоль одной оси несовместимы. ^{[10] : 155} ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Несовместимые наблюдаемые не могут иметь полный набор общих собственных функций . Обратите внимание, что может существовать несколько одновременных собственных векторов и , но их недостаточно, чтобы составить полный базис . ^{[11] [12]} ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Смотрите также

• Мера (физика)
• Наблюдаемая Вселенная
• Наблюдатель (квантовая физика)
• Таблица операторов QM
• Ненаблюдаемый

Рекомендации

1. Тешл 2014, стр. 65–66.
2. См. страницу 20 конспектов лекций 1 Роберта Литтлджона, заархивированных 29 августа 2023 г. в Wayback Machine, где содержится математическое обсуждение с использованием оператора импульса в качестве конкретного примера.
3. де ла Мадрид Модино 2001, стр. 95–97.
4. Баллентайн, Лесли (2015). Квантовая механика: современное развитие (2-е изд.). Всемирная научная. п. 49. ИСБН 978-9814578578.
5. Ишам, Кристофер (1995). Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы. Всемирная научная. стр. 87–88. ISBN 191129802X.
6. Макки, Джордж Уайтлоу (1963), Математические основы квантовой механики , Dover Books on Mathematics, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43517-6
7. Эмч, Джерард Г. (1972), Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля , Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-23900-0
8. «Не все самосопряженные операторы являются наблюдаемыми?». Обмен стеками по физике . Проверено 11 февраля 2022 г.
9. Ишам, Кристофер (1995). Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы. Всемирная научная. стр. 87–88. ISBN 191129802X.
10. Мессия, Альберт (1966). Квантовая механика . Северная Голландия, Джон Уайли и сыновья. ISBN 0486409244.
11. Гриффитс, Дэвид Дж. (2017). Введение в квантовую механику. Издательство Кембриджского университета. п. 111. ИСБН 978-1-107-17986-8.
12. Коэн-Таннуджи, Диу и Лалоэ, 2019, с. 232.

дальнейшее чтение

• Ауян, Санни Ю. (1995). Как возможна квантовая теория поля? . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0195093452.
• Коэн-Таннуджи, Клод; Диу, Бернар; Лалоэ, Франк (2019). Квантовая механика, Том 1 . Вайнхайм: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-3-527-34553-3.
• де ла Мадрид Модино, Р. (2001). Квантовая механика на языке оснащенного гильбертова пространства (кандидатская диссертация). Университет Вальядолида.
• Тешль, Г. (2014). Математические методы в квантовой механике . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое соц. ISBN 978-1-4704-1704-8.
• фон Нейман, Джон (1996). Математические основы квантовой механики . Перевод Роберта Т. Бейера (12. печат., 1. печат. в мягкой обложке. Изд.). Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Нажимать. ISBN 978-0691028934.
• Варадараджан, В.С. (2007). Геометрия квантовой теории (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9780387493862.
• Вейль, Герман (2009). «Приложение C: Квантовая физика и причинность». Философия математики и естествознания . Переработанное и дополненное английское издание на основе перевода Олафа Хельмера. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 253–265. ISBN 9780691141206.
• Моретти, Вальтер (2017). Спектральная теория и квантовая механика: математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраическую формулировку (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3319707068.
• Моретти, Вальтер (2019). Фундаментальные математические структуры квантовой теории: спектральная теория, фундаментальные проблемы, симметрии, алгебраические формулировки. Спрингер. ISBN 978-3030183462.