Сопряженное представление

Математический термин

В математике присоединенное представление (или присоединенное действие ) группы Ли G — это способ представления элементов группы в виде линейных преобразований алгебры Ли группы , рассматриваемой как векторное пространство . Например, если G — это группа Ли действительных обратимых матриц размера n на n , то присоединенное представление — это гомоморфизм группы, который переводит обратимую матрицу размера n на n в эндоморфизм векторного пространства всех линейных преобразований, определяемого формулой: . ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$

Для любой группы Ли это естественное представление получается путем линеаризации (т.е. взятия дифференциала ) действия G на себя с помощью сопряжения . Сопряженное представление может быть определено для линейных алгебраических групп над произвольными полями .

Определение

Пусть G — группа Ли , и пусть

${\displaystyle \Psi :G\to \operatorname {Aut} (G)}$

— отображение g ↦ Ψ _g , где Aut( G ) — группа автоморфизмов группы G , а Ψ _g : G → G задано внутренним автоморфизмом (сопряжением)

${\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}~.}$

Это Ψ является гомоморфизмом группы Ли .

_Для каждого g в G определим Ad _g как производную Ψ g в начале координат:

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G}$

где d — дифференциал, а — касательное пространство в начале координат e ( e — единичный элемент группы G ). Так как — автоморфизм группы Ли, Ad _g — автоморфизм алгебры Ли ; т. е. обратимое линейное преобразование в себя, сохраняющее скобку Ли . Более того, поскольку — гомоморфизм группы, то также является гомоморфизмом группы. ^[1] Следовательно, отображение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$ ${\displaystyle \Psi _{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}$ ${\displaystyle g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}}$

${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}}$

— это представление группы, называемое присоединенным представлением группы G.

Если G — погруженная подгруппа Ли общей линейной группы (называемая погруженно линейной группой Ли), то алгебра Ли состоит из матриц, а экспоненциальное отображение — это матричная экспонента для матриц X с малыми нормами операторов. Мы вычислим производную в точке . Для g в G и малого X в кривая имеет производную в точке t = 0, тогда получаем: ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {exp} (X)=e^{X}}$ ${\displaystyle \Psi _{g}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t\to \exp(tX)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(X)=(d\Psi _{g})_{e}(X)=(\Psi _{g}\circ \exp(tX))'(0)=(g\exp(tX)g^{-1})'(0)=gXg^{-1}}$

где справа у нас есть произведения матриц. Если — замкнутая подгруппа (то есть G — матричная группа Ли), то эта формула верна для всех g из G и всех X из . ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Короче говоря, присоединенное представление — это изотропное представление, связанное с действием сопряжения группы G вокруг единичного элемента группы G.

Производное от Ad

От представления группы Ли G всегда можно перейти к представлению ее алгебры Ли, взяв производную в единице.

Взяв производную от сопряженного отображения

${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$

в единичном элементе дает присоединенное представление алгебры Ли группы G : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad} :&\,{\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})\\&\,x\mapsto \operatorname {ad} _{x}=d(\operatorname {Ad} )_{e}(x)\end{aligned}}}$

где алгебра Ли которой может быть отождествлена ​​с алгеброй вывода . Можно показать, что ${\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Lie} (\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}$

для всех , где правая часть задается (индуцируется) скобкой Ли векторных полей . Действительно, ^[2] напомним, что, рассматривая как алгебру Ли левоинвариантных векторных полей на G , скобка на задается как: ^[3] для левоинвариантных векторных полей X , Y , ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(d\varphi _{-t}(Y)-Y)}$

где обозначает поток, порожденный X . Как оказывается, , примерно потому, что обе стороны удовлетворяют одному и тому же ОДУ, определяющему поток. То есть, где обозначает правое умножение на . С другой стороны, поскольку , по правилу цепочки , ${\displaystyle \varphi _{t}:G\to G}$ ${\displaystyle \varphi _{t}(g)=g\varphi _{t}(e)}$ ${\displaystyle \varphi _{t}=R_{\varphi _{t}(e)}}$ ${\displaystyle R_{h}}$ ${\displaystyle h\in G}$ ${\displaystyle \Psi _{g}=R_{g^{-1}}\circ L_{g}}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=d(R_{g^{-1}}\circ L_{g})(Y)=dR_{g^{-1}}(dL_{g}(Y))=dR_{g^{-1}}(Y)}$

поскольку Y левоинвариантен. Следовательно,

${\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(\operatorname {Ad} _{\varphi _{t}(e)}(Y)-Y)}$,

что и требовалось показать.

Таким образом, совпадает с тем же, что определено в § Присоединенное представление алгебры Ли ниже. Ad и ad связаны через экспоненциальное отображение : В частности, Ad _{exp( x )} = exp(ad _x ) для всех x в алгебре Ли. ^[4] Это является следствием общего результата, связывающего гомоморфизмы группы Ли и алгебры Ли через экспоненциальное отображение. ^[5] ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$

Если G — иммерсально линейная группа Ли, то приведенное выше вычисление упрощается: действительно, как было отмечено ранее, и, следовательно, с , ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=gYg^{-1}}$ ${\displaystyle g=e^{tX}}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{tX}}(Y)=e^{tX}Ye^{-tX}}$.

Взяв производную от этого в , имеем: ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=XY-YX}$.

Общий случай также может быть выведен из линейного случая: действительно, пусть будет иммерсально-линейной группой Ли, имеющей ту же алгебру Ли, что и G. Тогда производная Ad в единичном элементе для G и для G ' совпадают; следовательно, без потери общности, G можно считать G ' . ${\displaystyle G'}$

В литературе широко используется обозначение «заглавные/строчные буквы». Так, например, вектор x в алгебре порождает векторное поле X в группе G. Аналогично, сопряженное отображение ad _x y = [ x , y ] векторов в гомоморфно ^{[ необходимо разъяснение ]} производной Ли L _X Y = [ X , Y ] векторных полей на группе G, рассматриваемой как многообразие . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Далее см. производную экспоненциального отображения .

Присоединенное представление алгебры Ли

Пусть — алгебра Ли над некоторым полем. Для заданного элемента x алгебры Ли определяется сопряженное действие x на как отображение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]}$

для всех y из . Это называется присоединенным эндоморфизмом или присоединенным действием . ( также часто обозначается как .) Поскольку скобка билинейна, это определяет линейное отображение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$

${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])}$

задано x ↦ ad _x . Внутри End скобка, по определению, задается коммутатором двух операторов: ${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [T,S]=T\circ S-S\circ T}$

где обозначает композицию линейных отображений. Используя приведенное выше определение скобки, тождество Якоби ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$

принимает форму

${\displaystyle \left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)}$

где x , y и z — произвольные элементы . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Это последнее тождество говорит, что ad является гомоморфизмом алгебры Ли; т. е. линейным отображением, которое переводит скобки в скобки. Следовательно, ad является представлением алгебры Ли и называется присоединенным представлением алгебры . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Если конечномерно и для него выбран базис, то является алгеброй Ли квадратных матриц, а композиция соответствует умножению матриц . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

На более модульно-теоретическом языке эта конструкция говорит, что это модуль над самим собой. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ядро ad является центром ( это просто перефразирование определения). С другой стороны, для каждого элемента z в линейное отображение подчиняется закону Лейбница : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \delta =\operatorname {ad} _{z}}$

${\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}$

для всех x и y в алгебре (переформулировка тождества Якоби). То есть, ad _z является выводом , а образ под ad является подалгеброй Der , пространства всех выводов . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Когда — алгебра Ли группы Ли G , ad — дифференциал Ad в единичном элементе группы G. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

Существует следующая формула, аналогичная формуле Лейбница : для скаляров и элементов алгебры Ли , ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta )^{n-i}z\right].}$

Структурные константы

Явные матричные элементы присоединенного представления задаются структурными константами алгебры. То есть, пусть {ei ^} будет набором базисных векторов для алгебры, причем

${\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}$

Тогда матричные элементы для ad _{e ⁱ} задаются как

${\displaystyle {\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.}$

Так, например, присоединенное представление su(2) является определяющим представлением so(3) .

Примеры

• Если G абелева размерности n , то присоединенное представление G является тривиальным n -мерным представлением.
• Если G — матричная группа Ли (т.е. замкнутая подгруппа ), то ее алгебра Ли — это алгебра матриц размера n × n с коммутатором для скобки Ли (т.е. подалгебра ). В этом случае сопряженное отображение задается формулой Ad _g ( x ) = gxg ⁻¹ . ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$
• Если G — это SL(2, R ) (действительные матрицы 2×2 с определителем 1), то алгебра Ли группы G состоит из действительных матриц 2×2 со следом 0. Представление эквивалентно представлению, заданному действием G линейной подстановкой на пространстве бинарных (т.е. 2-переменных) квадратичных форм .

Характеристики

В следующей таблице обобщены свойства различных карт, упомянутых в определении.

Образ G при присоединенном представлении обозначается Ad( G ). Если G связен , ядро ​​присоединенного представления совпадает с ядром Ψ, которое является просто центром G . Следовательно, присоединенное представление связной группы Ли G является точным тогда и только тогда, когда G не имеет центра. В более общем случае, если G не связен, то ядро ​​присоединенного отображения является централизатором единичной компоненты G ₀ группы G . По первой теореме об изоморфизме имеем

${\displaystyle \mathrm {Ad} (G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).}$

Для данной конечномерной вещественной алгебры Ли по третьей теореме Ли существует связная группа Ли , алгебра Ли которой является образом присоединенного представления (т.е. ). Она называется присоединенной группой . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Теперь, если — алгебра Ли связной группы Ли G , то — образ присоединенного представления группы G : . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)}$

Корни полупростой группы Ли

Если G полупрост , ненулевые веса присоединенного представления образуют корневую систему . ^[6] (В общем случае, перед продолжением нужно перейти к комплексификации алгебры Ли.) Чтобы увидеть, как это работает, рассмотрим случай G = SL( n , R ). Мы можем взять группу диагональных матриц diag( t ₁ , ...,  t _n ) в качестве нашего максимального тора T . Сопряжение элементом T посылает

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}$

Таким образом, T действует тривиально на диагональной части алгебры Ли группы G и с собственными векторами t _i t _j ⁻¹ на различных недиагональных элементах. Корни G являются весами diag( t ₁ , ..., t _n ) → t _i t _j ⁻¹ . Это объясняет стандартное описание корневой системы G  = SL _n ( R ) как набора векторов вида e _i − e _j .

Пример SL(2, R)

При вычислении корневой системы для одного из простейших случаев групп Ли группа SL(2, R ) двумерных матриц с определителем 1 состоит из набора матриц вида:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}}$

где a , b , c , d действительны и ad  −  bc  = 1.

Максимальная компактная связная абелева подгруппа Ли, или максимальный тор T , задается подмножеством всех матриц вида

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&t_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\exp(\theta )&0\\0&\exp(-\theta )\\\end{bmatrix}}}$

с . Алгебра Ли максимального тора — это подалгебра Картана, состоящая из матриц ${\displaystyle t_{1}t_{2}=1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\theta &0\\0&-\theta \\\end{bmatrix}}=\theta {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}-\theta {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}=\theta (e_{1}-e_{2}).}$

Если мы сопрягаем элемент SL(2, R ) с элементом максимального тора, то получаем

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}at_{1}&bt_{1}\\c/t_{1}&d/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&bt_{1}^{2}\\ct_{1}^{-2}&d\\\end{bmatrix}}}$

Матрицы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

являются тогда «собственными векторами» операции сопряжения с собственными значениями . Функция Λ, которая дает, является мультипликативным характером или гомоморфизмом из тора группы в лежащее в основе поле R. Функция λ, дающая θ, является весом алгебры Ли с весовым пространством, заданным размахом матриц. ${\displaystyle 1,1,t_{1}^{2},t_{1}^{-2}}$ ${\displaystyle t_{1}^{2}}$

Удовлетворительно показать мультипликативность характера и линейность веса. Далее можно доказать, что дифференциал Λ может быть использован для создания веса. Также познавательно рассмотреть случай SL(3, R ).

Варианты и аналоги

Присоединенное представление также может быть определено для алгебраических групп над любым полем. ^{[ необходимо разъяснение ]}

Коприсоединённое представление — это контрагредиентное представление сопряженного представления. Александр Кириллов заметил, что орбита любого вектора в коприсоединённом представлении является симплектическим многообразием . Согласно философии в теории представлений, известной как метод орбит (см. также формулу характера Кириллова ), неприводимые представления группы Ли G должны быть каким-то образом индексированы её коприсоединёнными орбитами. Эта связь наиболее тесна в случае нильпотентных групп Ли .

Смотрите также

• Присоединенное расслоение  – расслоение алгебры Ли, связанное с любым главным расслоением посредством присоединенного представления.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания

1. Действительно, по правилу цепочки , ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{gh}=d(\Psi _{gh})_{e}=d(\Psi _{g}\circ \Psi _{h})_{e}=d(\Psi _{g})_{e}\circ d(\Psi _{h})_{e}=\operatorname {Ad} _{g}\circ \operatorname {Ad} _{h}.}$
2. Кобаяши и Номидзу 1996, стр. 41.
3. Кобаяши и Номидзу 1996, Предложение 1.9.
4. Холл 2015 Предложение 3.35
5. Холл 2015 Теорема 3.28
6. Холл 2015 Раздел 7.3

Ссылки

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Graduate Texts in Mathematics , Readings in Mathematics. Том 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• Кобаяси, Сёсичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, т. 1 (новое издание). Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.