Линейная алгебраическая группа

Подгруппа группы обратимых матриц размера n×n

В математике линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых матриц (при умножении матриц ), которая определяется полиномиальными уравнениями. Примером является ортогональная группа , определяемая соотношением , где — транспонирование . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M^{T}M=I_{n}}$ ${\displaystyle M^{T}}$ ${\displaystyle M}$

Многие группы Ли можно рассматривать как линейные алгебраические группы над полем действительных или комплексных чисел. (Например, каждую компактную группу Ли можно рассматривать как линейную алгебраическую группу над R (обязательно R - анизотропную и редуктивную), как и многие некомпактные группы, такие как простая группа Ли SL( n , R ) .) Простые группы Ли были классифицированы Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном в 1880-х и 1890-х годах. В то время не было специального использования того факта, что структура группы может быть определена многочленами, то есть что это алгебраические группы. Основателями теории алгебраических групп являются Маурер , Шевалле и Колчин  (1948). В 1950-х годах Арман Борель построил большую часть теории алгебраических групп в том виде, в каком она существует сегодня.

Одним из первых применений теории было определение групп Шевалле .

Примеры

Для положительного целого числа общая линейная группа над полем , состоящая из всех обратимых матриц, является линейной алгебраической группой над . Она содержит подгруппы ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle U\subset B\subset GL(n)}$

состоящие из матриц вида, соответственно,

${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}1&*&\dots &*\\0&1&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&1\end{array}}\right)}$и . ${\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}*&*&\dots &*\\0&*&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &*\\0&\dots &0&*\end{array}}\right)}$

Группа является примером унипотентной линейной алгебраической группы, группа является примером разрешимой алгебраической группы, называемой подгруппой Бореля группы . Следствием теоремы Ли-Колчина является то, что любая связная разрешимая подгруппа группы сопряжена с . Любая унипотентная подгруппа может быть сопряжена с . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle GL(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$

Другая алгебраическая подгруппа — это специальная линейная группа матриц с определителем 1. ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$

Группа называется мультипликативной группой , обычно обозначается . Группа -точек является мультипликативной группой ненулевых элементов поля . Аддитивная группа , -точки которой изоморфны аддитивной группе , также может быть выражена как матричная группа, например, как подгруппа в  : ${\displaystyle \mathrm {GL} (1)}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }(k)}$ ${\displaystyle k^{*}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (2)}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&*\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Эти два основных примера коммутативных линейных алгебраических групп, мультипликативная и аддитивная группы, ведут себя совершенно по-разному с точки зрения их линейных представлений (как алгебраических групп). Каждое представление мультипликативной группы является прямой суммой неприводимых представлений . (Все ее неприводимые представления имеют размерность 1, вида для целого числа .) Напротив, единственным неприводимым представлением аддитивной группы является тривиальное представление. Таким образом, каждое представление (такое как двумерное представление выше) является итеративным расширением тривиальных представлений, а не прямой суммой (если только представление не является тривиальным). Структурная теория линейных алгебраических групп анализирует любую линейную алгебраическую группу в терминах этих двух основных групп и их обобщений, торов и унипотентных групп, как обсуждается ниже. ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {m} }}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathrm {a} }}$

Определения

Для алгебраически замкнутого поля k большая часть структуры алгебраического многообразия X над k закодирована в его множестве X ( k ) k - рациональных точек , что позволяет элементарно определить линейную алгебраическую группу. Во-первых, определим функцию из абстрактной группы GL ( n , k ) в k как регулярную, если ее можно записать в виде многочлена от элементов матрицы A размера n × n и от 1/det( A ), где det — определитель . Тогда линейная алгебраическая группа G над алгебраически замкнутым полем k является подгруппой G ( k ) абстрактной группы GL ( n , k ) для некоторого натурального числа n такого, что G ( k ) определяется обращением в нуль некоторого множества регулярных функций.

Для произвольного поля k алгебраические многообразия над k определяются как частный случай схем над k . На этом языке линейная алгебраическая группа G над полем k является гладкой замкнутой подгрупповой схемой GL ( n ) над k для некоторого натурального числа n . В частности, G определяется обращением в нуль некоторого множества регулярных функций на GL ( n ) над k , и эти функции должны обладать тем свойством, что для каждой коммутативной k -алгебры R , G ( R ) является подгруппой абстрактной группы GL ( n , R ). (Таким образом, алгебраическая группа G над k является не просто абстрактной группой G ( k ), а скорее всем семейством групп G ( R ) для коммутативных k -алгебр R ; это философия описания схемы ее функтором точек .)

В любом языке есть понятие гомоморфизма линейных алгебраических групп. Например, когда k алгебраически замкнуто, гомоморфизм из G ⊂ GL ( m ) в H ⊂ GL ( n ) является гомоморфизмом абстрактных групп G ( k ) → H ( k ), который определяется регулярными функциями на G . Это превращает линейные алгебраические группы над k в категорию . В частности, это определяет, что означает для двух линейных алгебраических групп быть изоморфными .

На языке схем линейная алгебраическая группа G над полем k — это, в частности, групповая схема над k , то есть схема над k вместе с k -точкой 1 ∈ G ( k ) и морфизмами

${\displaystyle m\colon G\times _{k}G\to G,\;i\colon G\to G}$

над k, которые удовлетворяют обычным аксиомам для умножения и обратных отображений в группе (ассоциативность, тождественность, обратные). Линейная алгебраическая группа также является гладкой и конечного типа над k , и она аффинна (как схема). Наоборот, каждая аффинная групповая схема G конечного типа над полем k имеет точное представление в GL ( n ) над k для некоторого n . ^[1] Примером является вложение аддитивной группы G _a в GL (2), как упоминалось выше. В результате можно думать о линейных алгебраических группах либо как о матричных группах, либо, более абстрактно, как о гладких аффинных групповых схемах над полем. (Некоторые авторы используют «линейную алгебраическую группу» для обозначения любой аффинной групповой схемы конечного типа над полем.)

Для полного понимания линейных алгебраических групп необходимо рассмотреть более общие (негладкие) групповые схемы. Например, пусть k — алгебраически замкнутое поле характеристики p > 0. Тогда гомоморфизм f : G _m → G _{m ,} определенный как x ↦ x ^{p ,} индуцирует изоморфизм абстрактных групп k * → k *, но f не является изоморфизмом алгебраических групп (потому что x ^{1/ p} не является регулярной функцией). На языке групповых схем есть более ясная причина, по которой f не является изоморфизмом: f сюръективна, но имеет нетривиальное ядро , а именно групповую схему μ _p корней p- й степени из единицы. Эта проблема не возникает в нулевой характеристике. Действительно, каждая групповая схема конечного типа над полем k нулевой характеристики является гладкой над k . ^[2] Групповая схема конечного типа над любым полем k является гладкой над k тогда и только тогда, когда она геометрически приведена , что означает, что замена базы приведена , где — алгебраическое замыкание k . ^[3] ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

Так как аффинная схема X определяется своим кольцом O ( X ) регулярных функций, аффинная групповая схема G над полем k определяется кольцом O ( G ) с его структурой алгебры Хопфа (исходящей из умножения и обратных отображений на G ). Это дает эквивалентность категорий (обратные стрелки) между аффинными групповыми схемами над k и коммутативными алгебрами Хопфа над k . Например, алгебра Хопфа, соответствующая мультипликативной группе G _m = GL (1), является кольцом многочленов Лорана k [ x , x ⁻¹ ], с коумножением, заданным как

${\displaystyle x\mapsto x\otimes x.}$

Основные понятия

Для линейной алгебраической группы G над полем k единичная компонента G ^o ( связная компонента, содержащая точку 1) является нормальной подгруппой конечного индекса . Таким образом, существует расширение группы

${\displaystyle 1\to G^{\circ }\to G\to F\to 1,}$

где F — конечная алгебраическая группа. (Для k алгебраически замкнутого F можно отождествить с абстрактной конечной группой.) По этой причине изучение алгебраических групп в основном сосредоточено на связных группах.

Различные понятия из абстрактной теории групп могут быть распространены на линейные алгебраические группы. Несложно определить, что означает для линейной алгебраической группы быть коммутативной , нильпотентной или разрешимой , по аналогии с определениями в абстрактной теории групп. Например, линейная алгебраическая группа разрешима , если она имеет композиционный ряд линейных алгебраических подгрупп, такой что фактор-группы являются коммутативными. Кроме того, нормализатор , центр и централизатор замкнутой подгруппы H линейной алгебраической группы G естественным образом рассматриваются как замкнутые схемы подгрупп G. Если они гладкие над k , то они являются линейными алгебраическими группами, как определено выше.

Можно спросить, в какой степени свойства связной линейной алгебраической группы G над полем k определяются абстрактной группой G ( k ). Полезным результатом в этом направлении является то, что если поле k совершенно (например, характеристики ноль) или если G редуктивно (как определено ниже), то G унирационально над k . Следовательно, если вдобавок k бесконечно , группа G ( k ) плотна по Зарисскому в G . ^{[4] Например, при} упомянутых предположениях G коммутативна, нильпотентна или разрешима тогда и только тогда, когда G ( k ) обладает соответствующим свойством.

Предположение о связности не может быть исключено из этих результатов. Например, пусть G — группа μ ₃ ⊂ GL (1) кубических корней из единицы над рациональными числами Q . Тогда G — линейная алгебраическая группа над Q , для которой G ( Q ) = 1 не является плотной по Зарискому в G , поскольку — группа порядка 3. ${\displaystyle G({\overline {\mathbf {Q} }})}$

Над алгебраически замкнутым полем существует более сильный результат об алгебраических группах как алгебраических многообразиях: каждая связная линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем является рациональным многообразием . ^[5]

Алгебра Ли алгебраической группы

Алгебра Ли алгебраической группы G может быть определена несколькими эквивалентными способами: как касательное пространство T ₁ ( G ) в единичном элементе 1 ∈ G ( k ), или как пространство левоинвариантных выводов . Если k алгебраически замкнуто, вывод D : O ( G ) → O ( G ) над k координатного кольца группы G является левоинвариантным, если ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle D\lambda _{x}=\lambda _{x}D}$

для каждого x из G ( k ), где λ _x : O ( G ) → O ( G ) индуцируется левым умножением на x . Для произвольного поля k левая инвариантность вывода определяется как аналогичное равенство двух линейных отображений O ( G ) → O ( G ) ⊗ O ( G ). ^[6] Скобка Ли двух выводов определяется как [ D ₁ , D ₂ ] = D ₁ D ₂ − D ₂ D ₁ .

Переход от G к , таким образом, является процессом дифференцирования . Для элемента x ∈ G ( k ) производная в точке 1 ∈ G ( k ) сопряжения G → G , g ↦ xgx −1 ^, является автоморфизмом , давая сопряженное представление : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}).}$

Над полем нулевой характеристики связная подгруппа H линейной алгебраической группы G однозначно определяется своей алгеброй Ли . ^[7] Но не каждая подалгебра Ли соответствует алгебраической подгруппе G , как это видно на примере тора G = ( G _m ) ² над C . В положительной характеристике может быть много различных связных подгрупп группы G с одной и той же алгеброй Ли (опять же, тор G = ( G _m ) ² дает примеры). По этим причинам, хотя алгебра Ли алгебраической группы важна, структурная теория алгебраических групп требует более глобальных инструментов. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Полупростые и унипотентные элементы

Для алгебраически замкнутого поля k матрица g из GL ( n , k ) называется полупростой , если она диагонализируема , и унипотентной, если матрица g − 1 нильпотентна . Эквивалентно, g унипотентна, если все собственные значения g равны 1. Жорданова каноническая форма для матриц подразумевает, что каждый элемент g из GL ( n , k ) может быть записан единственным образом в виде произведения g = g _ss g _u таким образом, что g _ss полупроста, g _u унипотентна, а g _ss и g _u коммутируют друг с другом.

Для любого поля k элемент g из GL ( n , k ) называется полупростым, если он становится диагонализируемым над алгебраическим замыканием k . Если поле k совершенно, то полупростая и унипотентная части g также лежат в GL ( n , k ). Наконец, для любой линейной алгебраической группы G ⊂ GL ( n ) над полем k определим k -точку G как полупростую или унипотентную, если она полупроста или унипотентна в GL ( n , k ). (Эти свойства на самом деле не зависят от выбора точного представления G .) Если поле k совершенно, то полупростая и унипотентная части k -точки G автоматически лежат в G . То есть ( разложение Жордана ): каждый элемент g из G ( k ) может быть записан единственным образом как произведение g = g _ss g _u в G ( k ) такое, что g _ss является полупростым, g _u является унипотентным, а g _ss и g _u коммутируют друг с другом. ^[8] Это сводит задачу описания классов сопряженности в G ( k ) к полупростому и унипотентному случаям.

Тори

Тор над алгебраически замкнутым полем k означает группу, изоморфную ( G _m ) ⁿ , произведению n копий мультипликативной группы над k , для некоторого натурального числа n . Для линейной алгебраической группы G максимальный тор в G означает тор в G , который не содержится ни в каком большем торе. Например, группа диагональных матриц в GL ( n ) над k является максимальным тором в GL ( n ), изоморфным ( G _m ) ⁿ . Основной результат теории состоит в том, что любые два максимальных тора в группе G над алгебраически замкнутым полем k сопряжены некоторым элементом из G ( k ). ^[9] Ранг G означает размерность любого максимального тора .

Для произвольного поля k тор T над k означает линейную алгебраическую группу над k , базисное изменение которой на алгебраическое замыкание k изоморфно ( G _m ) ⁿ над , для некоторого натурального числа n . Расщепляемый тор над k означает группу, изоморфную ( G _m ) ⁿ над k для некоторого n . Примером нерасщепляемого тора над действительными числами R является ${\displaystyle T_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

${\displaystyle T=\{(x,y)\in A_{\mathbf {R} }^{2}:x^{2}+y^{2}=1\},}$

с групповой структурой, заданной формулой для умножения комплексных чисел x + iy . Здесь T — тор размерности 1 над R . Он не расщепляется, поскольку его группа действительных точек T ( R ) является группой окружности , которая даже как абстрактная группа не изоморфна G _m ( R ) = R *.

Каждая точка тора над полем k является полупростой. Обратно, если G — связная линейная алгебраическая группа, такая, что каждый элемент из является полупростым, то G — тор. ^[10] ${\displaystyle G({\overline {k}})}$

Для линейной алгебраической группы G над общим полем k нельзя ожидать, что все максимальные торы в G над k будут сопряжены элементами G ( k ). Например, и мультипликативная группа G _m , и группа окружности T выше встречаются как максимальные торы в SL (2) над R . Однако всегда верно, что любые два максимальных расщепляемых тора в G над k (имея в виду расщепляемые торы в G , которые не содержатся в большем расщепляемом торе) сопряжены некоторым элементом G ( k ). ^[11] В результате имеет смысл определить k -ранг или расщепляемый ранг группы G над k как размерность любого максимального расщепляемого тора в G над k .

Для любого максимального тора T в линейной алгебраической группе G над полем k Гротендик показал, что является максимальным тором в . ^[12] Отсюда следует, что любые два максимальных тора в G над полем k имеют одинаковую размерность, хотя они не обязаны быть изоморфными. ${\displaystyle T_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Унипотентные группы

Пусть U _n — группа верхнетреугольных матриц в GL ( n ) с диагональными элементами, равными 1, над полем k . Групповая схема над полем k (например, линейная алгебраическая группа) называется унипотентной , если она изоморфна замкнутой подгрупповой схеме группы U _n для некоторого n . Легко проверить, что группа U _n нильпотентна. В результате каждая унипотентная групповая схема нильпотентна.

Линейная алгебраическая группа G над полем k унипотентна тогда и только тогда, когда каждый ее элемент унипотентен. ^[13] ${\displaystyle G({\overline {k}})}$

Группа B _n верхнетреугольных матриц в GL ( n ) является полупрямым произведением

${\displaystyle B_{n}=T_{n}\ltimes U_{n},}$

где T _n — диагональный тор ( G _m ) ⁿ . В более общем случае каждая связная разрешимая линейная алгебраическая группа является полупрямым произведением тора с унипотентной группой, T ⋉ U . ^[14]

Гладкая связная унипотентная группа над совершенным полем k (например, алгебраически замкнутым полем) имеет композиционный ряд со всеми факторгруппами, изоморфными аддитивной группе G _a . ^[15]

Подгруппы Бореля

Подгруппы Бореля важны для структурной теории линейных алгебраических групп. Для линейной алгебраической группы G над алгебраически замкнутым полем k подгруппа Бореля группы G означает максимальную гладкую связную разрешимую подгруппу. Например, одна подгруппа Бореля группы GL ( n ) — это подгруппа B верхнетреугольных матриц (все элементы ниже диагонали равны нулю).

Основной результат теории состоит в том, что любые две подгруппы Бореля связной группы G над алгебраически замкнутым полем k сопряжены некоторым элементом из G ( k ). ^[16] (Стандартное доказательство использует теорему Бореля о неподвижной точке : для связной разрешимой группы G, действующей на собственном многообразии X над алгебраически замкнутым полем k , существует k -точка в X , которая фиксируется действием G .) Сопряженность подгрупп Бореля в GL ( n ) сводится к теореме Ли–Колчина : каждая гладкая связная разрешимая подгруппа из GL ( n ) сопряжена с подгруппой верхнетреугольной подгруппы в GL ( n ).

Для произвольного поля k подгруппа Бореля B группы G определяется как подгруппа над k такая, что над алгебраическим замыканием k является подгруппой Бореля группы . Таким образом, G может иметь или не иметь подгруппу Бореля над k . ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle B_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Для замкнутой схемы подгрупп H группы G факторпространство G / H является гладкой квазипроективной схемой над k . ^[17] Гладкая подгруппа P связной группы G называется параболической, если G / P проективна над k ( или, что эквивалентно, является собственной над k ) . Важным свойством подгрупп Бореля B является то, что G / B является проективным многообразием, называемым многообразием флагов группы G. То есть подгруппы Бореля являются параболическими подгруппами. Точнее, для алгебраически замкнутых k подгруппы Бореля являются в точности минимальными параболическими подгруппами группы G ; наоборот, каждая подгруппа, содержащая подгруппу Бореля, является параболической. ^[18] Таким образом, можно перечислить все параболические подгруппы группы G (с точностью до сопряжения с помощью G ( k )), перечислив все линейные алгебраические подгруппы группы G , которые содержат фиксированную подгруппу Бореля. Например, подгруппы P ⊂ GL (3) над k , содержащие подгруппу Бореля B верхнетреугольных матриц, — это сама B , вся группа GL (3) и промежуточные подгруппы

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&*&*\end{bmatrix}}\right\}}$и ${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\*&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}.}$

Соответствующие проективные однородные многообразия GL (3)/ P являются (соответственно): флаговым многообразием всех цепочек линейных подпространств

${\displaystyle 0\subset V_{1}\subset V_{2}\subset A_{k}^{3}}$

с V _i размерности i ; точка; проективное пространство P ² прямых (одномерные линейные подпространства ) в A ³ ; и двойственное проективное пространство P ² плоскостей в A ³ .

Полупростые и редуктивные группы

Связная линейная алгебраическая группа G над алгебраически замкнутым полем называется полупростой , если каждая гладкая связная разрешимая нормальная подгруппа группы G тривиальна. В более общем смысле, связная линейная алгебраическая группа G над алгебраически замкнутым полем называется редуктивной, если каждая гладкая связная унипотентная нормальная подгруппа группы G тривиальна. ^[19] (Некоторые авторы не требуют, чтобы редуктивные группы были связными.) Полупростая группа является редуктивной. Группа G над произвольным полем k называется полупростой или редуктивной, если является полупростой или редуктивной. Например, группа SL ( n ) матриц размера n × n с определителем 1 над любым полем k является полупростой, тогда как нетривиальный тор является редуктивным, но не полупростым. Аналогично, GL ( n ) является редуктивным, но не полупростым (потому что ее центр G _m является нетривиальной гладкой связной разрешимой нормальной подгруппой). ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Каждая компактная связная группа Ли имеет комплексификацию , которая является комплексной редуктивной алгебраической группой. Фактически, эта конструкция дает взаимно-однозначное соответствие между компактными связными группами Ли и комплексными редуктивными группами с точностью до изоморфизма. ^[20]

Линейная алгебраическая группа G над полем k называется простой (или k - простой ), если она полупроста, нетривиальна и каждая гладкая связная нормальная подгруппа группы G над k тривиальна или равна G . ^[21] (Некоторые авторы называют это свойство «почти простой».) Это немного отличается от терминологии для абстрактных групп тем, что простая алгебраическая группа может иметь нетривиальный центр (хотя центр должен быть конечным). Например, для любого целого числа n не менее 2 и любого поля k группа SL ( n ) над k является простой, а ее центром является групповая схема μ _n корней из единицы n-й степени.

Каждая связная линейная алгебраическая группа G над совершенным полем k является (единственным образом) расширением редуктивной группы R с помощью гладкой связной унипотентной группы U , называемой унипотентным радикалом группы G :

${\displaystyle 1\to U\to G\to R\to 1.}$

Если k имеет нулевую характеристику, то имеет место более точное разложение Леви : каждая связная линейная алгебраическая группа G над k является полупрямым произведением редуктивной группы на унипотентную группу. ^[22] ${\displaystyle R\ltimes U}$

Классификация редуктивных групп

Редуктивные группы включают в себя наиболее важные линейные алгебраические группы на практике, такие как классические группы : GL ( n ), SL ( n ), ортогональные группы SO ( n ) и симплектические группы Sp (2 n ). С другой стороны, определение редуктивных групп довольно «отрицательно», и не ясно, можно ли ожидать, что о них можно много сказать. Примечательно, что Клод Шевалле дал полную классификацию редуктивных групп над алгебраически замкнутым полем: они определяются корневыми данными . ^[23] В частности, простые группы над алгебраически замкнутым полем k классифицируются (с точностью до фактор-групп по конечным центральным схемам подгрупп) по их диаграммам Дынкина . Поразительно, что эта классификация не зависит от характеристики k . Например, исключительные группы Ли G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ и E ₈ могут быть определены в любой характеристике (и даже как групповые схемы над Z ). Классификация конечных простых групп гласит, что большинство конечных простых групп возникают как группа k -точек простой алгебраической группы над конечным полем k или как второстепенные варианты этой конструкции.

Каждая редуктивная группа над полем является фактором по конечной центральной подгрупповой схеме произведения тора и некоторых простых групп. Например,

${\displaystyle GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.}$

Для произвольного поля k редуктивная группа G называется расщепленной , если она содержит расщепленный максимальный тор над k (то есть расщепленный тор в G , который остается максимальным над алгебраическим замыканием k ). Например, GL ( n ) является расщепленной редуктивной группой над любым полем k . Шевалле показал, что классификация расщепленных редуктивных групп одинакова над любым полем. Напротив, классификация произвольных редуктивных групп может быть сложной, в зависимости от базового поля. Например, каждая невырожденная квадратичная форма q над полем k определяет редуктивную группу SO ( q ), а каждая центральная простая алгебра A над k определяет редуктивную группу SL ₁ ( A ). В результате проблема классификации редуктивных групп над k по сути включает в себя проблему классификации всех квадратичных форм над k или всех центральных простых алгебр над k . Эти проблемы просты для алгебраически замкнутых полей и понятны для некоторых других полей, таких как числовые поля , но для произвольных полей остается много открытых вопросов.

Приложения

Теория представления

Одна из причин важности редуктивных групп исходит из теории представлений. Каждое неприводимое представление унипотентной группы тривиально. В более общем смысле, для любой линейной алгебраической группы G, записанной как расширение

${\displaystyle 1\to U\to G\to R\to 1}$

с U унипотентным и R редуктивным, каждое неприводимое представление G факторизуется через R. ^[24] Это фокусирует внимание на теории представлений редуктивных групп. (Для ясности, рассматриваемые здесь представления являются представлениями G как алгебраической группы . Таким образом, для группы G над полем k представления находятся на k -векторных пространствах, а действие G задается регулярными функциями. Важной, но другой проблемой является классификация непрерывных представлений группы G ( R ) для действительной редуктивной группы G или аналогичные проблемы над другими полями.)

Шевалле показал, что неприводимые представления расщепляемой редуктивной группы над полем k конечномерны, и они индексируются доминирующими весами . ^[25] Это то же самое, что происходит в теории представлений компактных связных групп Ли или конечномерной теории представлений комплексных полупростых алгебр Ли . Для k нулевой характеристики все эти теории по существу эквивалентны. В частности, каждое представление редуктивной группы G над полем нулевой характеристики является прямой суммой неприводимых представлений, и если G расщепляется, характеры неприводимых представлений задаются формулой характеров Вейля . Теорема Бореля–Вейля дает геометрическую конструкцию неприводимых представлений редуктивной группы G в нулевой характеристике как пространств сечений линейных расслоений над многообразием флагов G / B .

Теория представлений редуктивных групп (кроме торов) над полем положительной характеристики p изучена меньше. В этой ситуации представление не обязательно должно быть прямой суммой неприводимых представлений. И хотя неприводимые представления индексируются доминирующими весами, размерности и характеры неприводимых представлений известны только в некоторых случаях. Андерсен, Янтцен и Сергель (1994) определили эти характеры (доказав гипотезу Люстига ), когда характеристика p достаточно велика по сравнению с числом Кокстера группы. Для малых простых чисел p нет даже точной гипотезы.

Групповые действия и геометрическая теория инвариантов

Действие линейной алгебраической группы G на многообразии (или схеме) X над полем k является морфизмом

${\displaystyle G\times _{k}X\to X}$

которая удовлетворяет аксиомам группового действия . Как и в других типах теории групп, важно изучать групповые действия, поскольку группы возникают естественным образом как симметрии геометрических объектов.

Частью теории групповых действий является геометрическая теория инвариантов , которая направлена ​​на построение фактор-многообразия X / G , описывающего множество орбит линейной алгебраической группы G на X как алгебраическое многообразие. Возникают различные осложнения. Например, если X является аффинным многообразием, то можно попытаться построить X / G как Spec кольца инвариантов O ( X ) ^G . Однако Масаёси Нагата показал, что кольцо инвариантов не обязательно должно быть конечно порождено как k -алгебра (и поэтому Spec кольца является схемой, но не многообразием), отрицательный ответ на 14-ю проблему Гильберта . В положительном направлении кольцо инвариантов конечно порождено, если G редуктивно, по теореме Хабуша , доказанной в нулевой характеристике Гильбертом и Нагатой.

Геометрическая теория инвариантов включает дополнительные тонкости, когда редуктивная группа G действует на проективном многообразии X. В частности, теория определяет открытые подмножества «стабильных» и «полустабильных» точек в X , причем факторморфизм определен только на множестве полустабильных точек.

Связанные понятия

Линейные алгебраические группы допускают варианты в нескольких направлениях. Отбрасывая существование обратного отображения , получаем понятие линейного алгебраического моноида . ^[26] ${\displaystyle i\colon G\to G}$

Группы Ли

Для линейной алгебраической группы G над действительными числами R группа действительных точек G ( R ) является группой Ли , по сути, потому что действительные многочлены, которые описывают умножение на G , являются гладкими функциями . Аналогично, для линейной алгебраической группы G над C , G ( C ) является комплексной группой Ли . Большая часть теории алгебраических групп была разработана по аналогии с группами Ли.

Существует несколько причин , по которым группа Ли может не иметь структуру линейной алгебраической группы над R.

• Группа Ли с бесконечной группой компонент G/G ^o не может быть реализована как линейная алгебраическая группа.
• Алгебраическая группа G над R может быть связной как алгебраическая группа, в то время как группа Ли G ( R ) не связна, и аналогично для односвязных групп. Например, алгебраическая группа SL (2) односвязна над любым полем, тогда как группа Ли SL (2, R ) имеет фундаментальную группу, изоморфную целым числам Z . Двойное покрытие H группы SL (2, R ), известное как метаплектическая группа , является группой Ли, которую нельзя рассматривать как линейную алгебраическую группу над R . Более того, H не имеет точного конечномерного представления.
• Анатолий Мальцев показал, что каждая односвязная нильпотентная группа Ли может рассматриваться как унипотентная алгебраическая группа G над R единственным образом. ^[27] (Как многообразие, G изоморфна аффинному пространству некоторой размерности над R .) Напротив, существуют односвязные разрешимые группы Ли, которые нельзя рассматривать как действительные алгебраические группы. Например, универсальное покрытие H полупрямого произведения S ¹ ⋉ R ² имеет центр, изоморфный Z , который не является линейной алгебраической группой, и поэтому H нельзя рассматривать как линейную алгебраическую группу над R .

Абелевы многообразия

Алгебраические группы, которые не являются аффинными, ведут себя совершенно по-разному. В частности, гладкая связная групповая схема, которая является проективным многообразием над полем, называется абелевым многообразием . В отличие от линейных алгебраических групп, каждое абелево многообразие коммутативно. Тем не менее, абелевы многообразия имеют богатую теорию. Даже случай эллиптических кривых (абелевых многообразий размерности 1) является центральным в теории чисел , с приложениями, включая доказательство Великой теоремы Ферма .

Категории Таннакиана

Конечномерные представления алгебраической группы G вместе с тензорным произведением представлений образуют таннакиеву категорию Rep _G . Фактически, таннакиевские категории с «функтором слоя» над полем эквивалентны аффинным групповым схемам. (Каждая аффинная групповая схема над полем k является проалгебраической в ​​том смысле, что она является обратным пределом аффинных групповых схем конечного типа над k . ^[28] ) Например, группа Мамфорда–Тейта и мотивная группа Галуа построены с использованием этого формализма. Некоторые свойства (про)алгебраической группы G можно прочитать из ее категории представлений. Например, над полем нулевой характеристики Rep _G является полупростой категорией тогда и только тогда, когда компонент тождества G является проредуктивным. ^[29]

Смотрите также

• Группы типа Ли — это конечные простые группы, построенные из простых алгебраических групп над конечными полями.
• Теорема Лэнга
• Обобщенное многообразие флагов , разложение Брюа , пара BN , группа Вейля , подгруппа Картана , группа присоединенного типа , параболическая индукция
• Действительная форма (теория Лжи) , диаграмма Сатаке
• Адельная алгебраическая группа , гипотеза Вейля о числах Тамагавы
• классификация Ленглендса , программа Ленглендса , геометрическая программа Ленглендса
• Торсор , неабелевы когомологии , специальная группа , когомологический инвариант , существенная размерность , гипотеза Кнезера–Титса , гипотеза Серра II
• Псевдоредуктивная группа
• Дифференциальная теория Галуа
• Распределение на линейной алгебраической группе

Примечания

1. Милн (2017), Следствие 4.10.
2. Милн (2017), Следствие 8.39.
3. Милн (2017), Предложение 1.26(b).
4. Борель (1991), Теорема 18.2 и Следствие 18.4.
5. Борель (1991), Замечание 14.14.
6. Милн (2017), раздел 10.e.
7. Борель (1991), раздел 7.1.
8. Милн (2017), Теорема 9.18.
9. Борель (1991), Следствие 11.3.
10. Милн (2017), Следствие 17.25
11. Спрингер (1998), Теорема 15.2.6.
12. Борель (1991), 18.2(i).
13. Милн (2017), Следствие 14.12.
14. Борель (1991), Теорема 10.6.
15. Борель (1991), Теорема 15.4(iii).
16. Борель (1991), Теорема 11.1.
17. Милн (2017), Теоремы 7.18 и 8.43.
18. Борель (1991), Следствие 11.2.
19. Милн (2017), Определение 6.46.
20. Брёкер и Том Дик (1985), раздел III.8; Конрад (2014), раздел D.3.
21. Конрад (2014), после предложения 5.1.17.
22. Конрад (2014), Предложение 5.4.1.
23. Спрингер (1998), 9.6.2 и 10.1.1.
24. Милн (2017), Лемма 19.16.
25. Милн (2017), Теорема 22.2.
26. Реннер, Лекс (2006), Линейные алгебраические моноиды , Springer.
27. Милн (2017), Теорема 14.37.
28. Делинь и Милн (1982), Следствие II.2.7.
29. Делинь и Милн (1982), Замечание II.2.28.

Ссылки

• Андерсен, Х. Х .; Янтцен, Дж. К .; Зёргель, В. (1994), Представления квантовых групп в корне p -й степени из единицы и полупростых групп в характеристике p : независимость p, Астериск, том. 220, Société Mathématique de France , ISSN  0303-1179, MR  1272539.
• Борель, Арманд (1991) [1969], Линейные алгебраические группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, МР  1102012
• Брёкер, Теодор; Том Дик, Таммо (1985), Представления компактных групп Ли , Springer Nature , ISBN 0-387-13678-9, МР  0781344
• Конрад, Брайан (2014), «Редуктивные групповые схемы» (PDF) , Autour des schémas en groupes , vol. 1, Париж: Société Mathématique de France , стр. 93–444, ISBN. 978-2-85629-794-0, МР  3309122
• Делинь, Пьер ; Милн, Дж. С. (1982), «Категории Таннака», Циклы Ходжа, мотивы и многообразия Шимуры , Lecture Notes in Mathematics, т. 900, Springer Nature , стр. 101–228, ISBN 3-540-11174-3, МР  0654325
• Де Медтс, Том (2019), Линейные алгебраические группы (конспект курса) (PDF) , Гентский университет
• Хамфрис, Джеймс Э. (1975), Линейные алгебраические группы , Springer, ISBN 0-387-90108-6, МР  0396773
• Колчин, Э. Р. (1948), «Алгебраические матричные группы и теория Пикара–Вессио однородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений», Annals of Mathematics , Вторая серия, 49 (1): 1–42, doi :10.2307/1969111, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969111, MR  0024884
• Милн, Дж. С. (2017), Алгебраические группы: теория групповых схем конечного типа над полем, Cambridge University Press , ISBN 978-1107167483, г-н  3729270
• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Линейные алгебраические группы (2-е изд.), Нью-Йорк: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, г-н  1642713

Внешние ссылки

• «Линейная алгебраическая группа», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]