Правильный морфизм

В алгебраической геометрии собственный морфизм между схемами является аналогом собственного отображения между комплексными аналитическими пространствами .

Некоторые авторы называют собственное многообразие над полем k полным многообразием . Например, каждое проективное многообразие над полем k является собственным над k . Схема X конечного типа над комплексными числами (например, многообразие) является собственным над C тогда и только тогда, когда пространство X ( C ) комплексных точек с классической (евклидовой) топологией компактно и хаусдорфово .

Замкнутое погружение является собственным. Морфизм конечен тогда и только тогда, когда он является собственным и квазиконечным .

Определение

Морфизм f : X → Y схем называется универсально замкнутым , если для любой схемы Z с морфизмом Z → Y проекция из послойного произведения

${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$

является замкнутым отображением основных топологических пространств . Морфизм схем называется собственным, если он является разделяемым , конечного типа и универсально замкнутым ([EGA] II, 5.4.1 [1]). Говорят также, что X является собственным над Y . В частности, многообразие X над полем k называется собственным над k, если морфизм X → Spec( k ) является собственным.

Примеры

Для любого натурального числа n проективное пространство P ⁿ над коммутативным кольцом R является собственным над R . Проективные морфизмы являются собственными, но не все собственные морфизмы проективны. Например, существует гладкое собственное комплексное многообразие размерности 3, которое не является проективным над C . [ ^1] Аффинные многообразия положительной размерности над полем k никогда не являются собственными над k . В более общем случае собственный аффинный морфизм схем должен быть конечным. ^[2] Например, нетрудно видеть, что аффинная прямая A ¹ над полем k не является собственной над k , поскольку морфизм A ¹ → Spec( k ) не является универсально замкнутым. Действительно, обратный морфизм

${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}\times _{k}\mathbb {A} ^{1}\to \mathbb {A} ^{1}}$

(заданное как ( x , y ) ↦ y ) не замкнуто, поскольку образом замкнутого подмножества xy = 1 в A ¹ × A ¹ = A ² является A ¹ − 0, которое не замкнуто в A ¹ .

Свойства и характеристики собственных морфизмов

Далее пусть f : X → Y будет морфизмом схем.

• Композиция двух собственных морфизмов является собственной.
• Любая замена базы собственного морфизма f : X → Y является собственным. То есть, если g : Z → Y — любой морфизм схем, то полученный морфизм X × _Y Z → Z является собственным.
• Правильность — локальное свойство на базе (в топологии Зарисского). То есть, если Y покрывается некоторыми открытыми подсхемами Y _i и ограничение f на все f ⁻¹ (Y _i ) является правильным, то и f является правильным .
• Более строго, правильность локальна на базе в топологии fpqc . Например, если X — схема над полем k , а E — расширение поля k , то X является правильным над k тогда и только тогда, когда изменение базы X _E является правильным над E. ^[3 ]
• Закрытые погружения являются правильными.
• В более общем случае конечные морфизмы являются правильными. Это следствие теоремы о восхождении .
• По Делиню , морфизм схем конечен тогда и только тогда, когда он собственный и квазиконечный. ^[4] Это было показано Гротендиком , если морфизм f : X → Y локально имеет конечное представление , что следует из других предположений, если Y является нётеровым . ^[5]
• Для X, собственного над схемой S , и Y , разделенного над S , образ любого морфизма X → Y над S является замкнутым подмножеством Y . ^[6] Это аналогично теореме топологии о том, что образ непрерывного отображения из компактного пространства в хаусдорфово пространство является замкнутым подмножеством.
• Теорема Штейна о факторизации утверждает, что любой собственный морфизм локально нётеровой схемы может быть факторизован как X → Z → Y , где X → Z является собственным, сюръективным и имеет геометрически связанные слои, а Z → Y конечен. ^[7]
• Лемма Чжоу гласит, что собственные морфизмы тесно связаны с проективными морфизмами . Одна из версий такова: если X является собственным над квазикомпактной схемой Y и X имеет только конечное число неприводимых компонент (что автоматически для нётеровской Y ), то существует проективный сюръективный морфизм g : W → X такой, что W проективен над Y . Более того, можно сделать так, чтобы g был изоморфизмом над плотным открытым подмножеством U из X , и чтобы g ⁻¹ ( U ) было плотно в W . Можно также сделать так, чтобы W было целым, если X является целым. ^[8]
• Теорема компактификации Нагаты , обобщенная Делинем, гласит, что разделенный морфизм конечного типа между квазикомпактными и квазиразделенными схемами факторизуется как открытое погружение, за которым следует собственный морфизм. ^[9]
• Собственные морфизмы между локально нётеровыми схемами сохраняют когерентные пучки в том смысле, что высшие прямые образы R ⁱ f _∗ ( F ) (в частности, прямой образ f _∗ ( F )) когерентного пучка F являются когерентными (EGA III, 3.2.1). (Аналогично, для собственного отображения между комплексными аналитическими пространствами Грауэрт и Реммерт показали, что высшие прямые образы сохраняют когерентные аналитические пучки.) Как очень частный случай: кольцо регулярных функций на собственной схеме X над полем k имеет конечную размерность как k -векторное пространство. Напротив, кольцо регулярных функций на аффинной прямой над k является кольцом полиномов k [ x ], которое не имеет конечной размерности как k -векторное пространство.
• Существует также немного более сильное утверждение этого: (EGA III, 3.2.4) пусть будет морфизмом конечного типа, S локально нётеров и -модулем . Если носитель F является собственным над S , то для каждого высший прямой образ когерентен. ${\displaystyle f\colon X\to S}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}F}$
• Для схемы X конечного типа над комплексными числами множество X ( C ) комплексных точек является комплексным аналитическим пространством , использующим классическую (евклидову) топологию. Для X и Y , разделенных и конечного типа над C , морфизм f : X → Y над C является собственным тогда и только тогда, когда непрерывное отображение f : X ( C ) → Y ( C ) является собственным в том смысле, что обратный образ каждого компактного множества является компактным. ^[10]
• Если f : X → Y и g : Y → Z таковы, что gf является собственным, а g — разделенным, то f является собственным. Это можно легко доказать, например, с помощью следующего критерия.

Ценностный критерий правильности

Ценностный критерий правильности

Существует очень интуитивный критерий правильности, который восходит к Шевалле . Его обычно называют оценочным критерием правильности . Пусть f : X → Y — морфизм конечного типа нётеровых схем . Тогда f является правильным тогда и только тогда, когда для всех дискретно-оценочных колец R с полем дробей K и для любой K -значной точки x ∈ X ( K ), которая отображается в точку f ( x ), которая определена над R , существует единственный подъем x в . (EGA II, 7.3.8). В более общем случае квазиразделенный морфизм f : X → Y конечного типа (примечание: конечный тип включает квазикомпактность) «любых» схем X , Y является собственным тогда и только тогда, когда для всех колец оценки R с полем дробей K и для любой K -значной точки x ∈ X ( K ), которая отображается в точку f ( x ), определенную над R , существует единственный подъем x в . (Теги проекта Stacks 01KF и 01KY). Отмечая, что Spec K является общей точкой Spec R , а дискретные кольца оценки являются в точности регулярными локальными одномерными кольцами, можно перефразировать критерий: если задана регулярная кривая на Y (соответствующая морфизму s : Spec R → Y ) и задан подъем общей точки этой кривой в X , f является собственным тогда и только тогда, когда существует ровно один способ завершить кривую. ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$ ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$

Аналогично, f разделяется тогда и только тогда, когда в каждой такой диаграмме имеется не более одного подъема . ${\displaystyle {\overline {x}}\in X(R)}$

Например, учитывая критерий оценки, становится легко проверить, что проективное пространство P ⁿ является собственным над полем (или даже над Z ). Достаточно просто заметить, что для кольца дискретной оценки R с полем дробей K каждая K -точка [ x ₀ ,..., x _n ] проективного пространства происходит из R -точки, масштабируя координаты так, чтобы все лежали в R и по крайней мере одна была единицей в R .

Геометрическая интерпретация с дисками

Одним из мотивирующих примеров для оценочного критерия правильности является интерпретация как бесконечно малого диска, или комплексно-аналитически, как диска . Это исходит из того факта, что каждый степенной ряд ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])}$ ${\displaystyle \Delta =\{x\in \mathbb {C} :|x|<1\}}$

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}}$

сходится в некотором круге радиуса вокруг начала координат. Затем, используя изменение координат, это можно выразить как степенной ряд на единичном круге. Затем, если мы инвертируем , это будет кольцо , которое является степенным рядом, который может иметь полюс в начале координат. Это представлено топологически как открытый круг с удаленным началом координат. Для морфизма схем над это задается коммутативной диаграммой ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [[t]][t^{-1}]=\mathbb {C} ((t))}$ ${\displaystyle \Delta ^{*}=\{x\in \mathbb {C} :0<|x|<1\}}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\Delta ^{*}&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\\Delta &\to &Y\end{matrix}}}$

Тогда оценочным критерием правильности будет заполнение точки на изображении . ${\displaystyle 0\in \Delta }$ ${\displaystyle \Delta ^{*}}$

Пример

Поучительно рассмотреть контрпример, чтобы увидеть, почему оценочный критерий правильности должен выполняться на пространствах, аналогичных замкнутым компактным многообразиям. Если мы возьмем и , то морфизм пропускается через аффинную карту , сводя диаграмму к ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}-\{x\}}$ ${\displaystyle Y={\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))\to X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}(\mathbb {C} ((t)))&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])&\to &{\text{Spec}}(\mathbb {C} )\end{matrix}}}$

где центр диаграммы находится вокруг . Это дает коммутативную диаграмму коммутативных алгебр ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])=\mathbb {A} ^{1}-\{0\}}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {C} ((t))&\leftarrow &\mathbb {C} [t,t^{-1}]\\\uparrow &&\uparrow \\\mathbb {C} [[t]]&\leftarrow &\mathbb {C} \end{matrix}}}$

Тогда, поднятие диаграммы схем, , означало бы, что существует морфизм, отправляющий из коммутативной диаграммы алгебр. Этого, конечно, не может быть. Поэтому не является собственным над . ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {C} [[t]])\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [[t]]}$ ${\displaystyle t\mapsto t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Геометрическая интерпретация с кривыми

Есть еще один похожий пример оценочного критерия правильности, который улавливает часть интуиции того, почему эта теорема должна быть верна. Рассмотрим кривую и дополнение точки . Тогда оценочный критерий правильности будет выглядеть как диаграмма ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C-\{p\}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}C-\{p\}&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\C&\rightarrow &Y\end{matrix}}}$

с поднятием . Геометрически это означает, что каждая кривая в схеме может быть дополнена до компактной кривой. Эта часть интуиции согласуется с тем, что схемно-теоретическая интерпретация морфизма топологических пространств с компактными волокнами, что последовательность в одном из волокон должна сходиться. Поскольку эта геометрическая ситуация является проблемой локально, диаграмма заменяется рассмотрением локального кольца , которое является DVR, и его дробного поля . Затем, проблема поднятия дает коммутативную диаграмму ${\displaystyle C\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))&\rightarrow &X\\\downarrow &&\downarrow \\{\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}})&\rightarrow &Y\end{matrix}}}$

где схема представляет собой локальный круг с удаленной замкнутой точкой . ${\displaystyle {\text{Spec}}({\text{Frac}}({\mathcal {O}}_{C,{\mathfrak {p}}}))}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Правильный морфизм формальных схем

Пусть будет морфизмом между локально нётеровыми формальными схемами . Мы говорим, что f является собственным или собственным над , если (i) f является адическим морфизмом (т.е. отображает идеал определения в идеал определения) и (ii) индуцированное отображение является собственным, где и K является идеалом определения .(EGA III, 3.4.1) Определение не зависит от выбора K . ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle f_{0}\colon X_{0}\to S_{0}}$ ${\displaystyle X_{0}=({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}/I),S_{0}=({\mathfrak {S}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {S}}/K),I=f^{*}(K){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

Например, если g : Y → Z — собственный морфизм локально нётеровых схем, Z ₀ — замкнутое подмножество Z , а Y ₀ — замкнутое подмножество Y такое, что g ( Y ₀ ) ⊂ Z ₀ , то морфизм формальных пополнений является собственным морфизмом формальных схем. ${\displaystyle {\widehat {g}}\colon Y_{/Y_{0}}\to Z_{/Z_{0}}}$

Гротендик доказал теорему о когерентности в этой постановке. А именно, пусть будет собственным морфизмом локально нётеровых формальных схем. Если F — когерентный пучок на , то высшие прямые образы когерентны. ^[11] ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}F}$

Смотрите также

• Правильная теорема об изменении основания
• Факторизация Штейна

Ссылки

1. Хартшорн (1977), Приложение B, Пример 3.4.1.
2. Лю (2002), Лемма 3.3.17.
3. Проект Stacks, тег 02YJ.
4. Гротендик, EGA IV, Часть 4, Следствие 18.12.4; Проект стеков, тег 02LQ.
5. Гротендик, EGA IV, Часть 3, Теорема 8.11.1.
6. Проект Stacks, Тег 01W0.
7. Проект Stacks, тег 03GX.
8. Гротендик, EGA II, Corollaire 5.6.2.
9. Конрад (2007), Теорема 4.1.
10. SGA 1, XII Предложение 3.2.
11. Гротендик, EGA III, Часть 1, Теорема 3.4.2.

• SGA1 Revêtements étales et groupe Fondamental, 1960–1961 (Этальные покрытия и фундаментальная группа), Конспекты лекций по математике 224, 1971 г.
• Конрад, Брайан (2007), «Заметки Делиня о компактификациях Нагаты» (PDF) , Журнал математического общества Рамануджана , 22 : 205–257, MR  2356346
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Глобальное элементарное исследование некоторых классов морфизмов». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 8 : 5–222. дои : 10.1007/bf02699291. МР  0217084., раздел 5.3. (определение правильности), раздел 7.3. (оценочный критерий правильности)
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологический этюд faisceaux coherents, Première party». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 11 :5–167. дои : 10.1007/bf02684274. МР  0217085.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, Тройная партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 28 :5–255. дои : 10.1007/bf02684343. МР  0217086., раздел 15.7. (обобщения оценочных критериев на не обязательно нётеровские схемы)
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, Quatrième partie». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 32 : 5–361. дои : 10.1007/bf02732123. МР  0238860.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Лю, Цин (2002), Алгебраическая геометрия и арифметические кривые , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN 9780191547805, г-н  1917232

Внешние ссылки

• В.И. Данилов (2001) [1994], "Собственный морфизм", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Авторы проекта «Стеки», проект «Стеки»