В математике , в частности в алгебраической геометрии , полное алгебраическое многообразие — это алгебраическое многообразие X , такое , что для любого многообразия Y морфизм проекции
является замкнутым отображением (т.е. отображает замкнутые множества на замкнутые множества). [a] Это можно рассматривать как аналог компактности в алгебраической геометрии: топологическое пространство X компактно тогда и только тогда, когда указанное выше отображение проекции замкнуто относительно топологических произведений.
Образ полного многообразия замкнут и является полным многообразием. Замкнутое подмногообразие полного многообразия является полным.
Комплексное многообразие является полным тогда и только тогда, когда оно компактно как комплексно-аналитическое многообразие .
Наиболее распространенным примером полного многообразия является проективное многообразие , но существуют полные непроективные многообразия в размерностях 2 и выше. В то время как любая полная неособая поверхность является проективной, [1] существуют неособые полные многообразия в размерности 3 и выше, которые не являются проективными. [2] Первые примеры непроективных полных многообразий были приведены Масаёси Нагатой [2] и Хейсукэ Хиронакой . [3] Аффинное пространство положительной размерности не является полным.
Морфизм, переводящий полное многообразие в точку, является собственным морфизмом в смысле теории схем . Интуитивное обоснование «полноты», в смысле «отсутствия недостающих точек», может быть дано на основе оценочного критерия собственной правильности , который восходит к Клоду Шевалле .
