Вывод (дифференциальная алгебра)

Алгебраическое обобщение производной

В математике вывод — это функция на алгебре , которая обобщает некоторые особенности оператора производной . В частности, для заданной алгебры A над кольцом или полем K вывод K — это линейное отображение D  : A → A , удовлетворяющее закону Лейбница :

${\displaystyle D(ab)=aD(b)+D(a)b.}$

В более общем случае, если M является A -бимодулем , то K -линейное отображение D  : A → M , удовлетворяющее закону Лейбница, также называется выводом. Совокупность всех K -выводов A в себя обозначается Der _K ( A ). Совокупность K -выводов A в A -модуль M обозначается Der _K ( A , M ) .

Выводы встречаются во многих различных контекстах в различных областях математики. Частная производная по переменной является R -выводом на алгебре действительнозначных дифференцируемых функций на R ⁿ . Производная Ли относительно векторного поля является R -выводом на алгебре дифференцируемых функций на дифференцируемом многообразии ; в более общем смысле это вывод на тензорной алгебре многообразия. Из этого следует, что присоединенное представление алгебры Ли является выводом на этой алгебре. Производная Пинкерле является примером вывода в абстрактной алгебре . Если алгебра A некоммутативна, то коммутатор относительно элемента алгебры A определяет линейный эндоморфизм A на себя, который является выводом над K . То есть,

${\displaystyle [FG,N]=[F,N]G+F[G,N],}$

где — коммутатор относительно . Алгебра A, снабженная выделенным дифференцированием d , образует дифференциальную алгебру и сама по себе является значимым объектом изучения в таких областях, как дифференциальная теория Галуа . ${\displaystyle [\cdot ,N]}$ ${\displaystyle N}$

Характеристики

Если A — K -алгебра, K — кольцо, а D : A → A — K -вывод, то

• Если A имеет единицу 1, то D (1) = D (1 ² ) = 2 D (1), так что D (1) = 0. Таким образом, по K -линейности, D ( k ) = 0 для всех k ∈ K .
• Если A коммутативен, то D ( x ² ) = xD ( x ) + D ( x ) x = 2 xD ( x ) и D ( x ⁿ ) = nx ^{n −1} D ( x ) по правилу Лейбница.
• В более общем случае для любых x ₁ , x ₂ , …, x _n ∈ A по индукции следует, что

  ${\displaystyle D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}}$

что имеет место, если для всех i , D ( x _i ) коммутирует с . ${\textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1}}$

• При n > 1 D ⁿ не является выводом, а удовлетворяет правилу Лейбница более высокого порядка:

${\displaystyle D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{n-k}(u)\cdot D^{k}(v).}$

Более того, если M является A -бимодулем, запишите

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)}$

для множества K - выводов из A в M.

• Der _K ( A , M ) — модуль над K .
• Der _K ( A ) — алгебра Ли со скобкой Ли, определяемой коммутатором :

${\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.}$

поскольку легко проверить, что коммутатор двух выводов снова является выводом.

• Существует A -модуль Ω _{A / K} (называемый дифференциалами Кэлера ) с K -выводом d : A → Ω _{A / K} , через который пропускается любой вывод D : A → M. То есть, для любого вывода D существует отображение A -модуля φ с

${\displaystyle D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M}$

Соответствие представляет собой изоморфизм A -модулей: ${\displaystyle D\leftrightarrow \varphi }$

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)}$

• Если k ⊂ K — подкольцо , то A наследует структуру k -алгебры, поэтому имеет место включение

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),}$

поскольку любое K- выводное выражение заведомо является k - выводным выражением.

Градуированные производные

Для градуированной алгебры A и однородного линейного отображения D степени | D | на A , D является однородным выводом , если

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}}$

для каждого однородного элемента a и каждого элемента b из A для коммутаторного множителя ε = ±1 . Градуированный вывод — это сумма однородных выводов с тем же ε .

Если ε = 1 , это определение сводится к обычному случаю. Если же ε = −1 , то

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}}$

для нечетного | D |, а D называется антивыводом .

Примерами антидериваций являются внешняя производная и внутреннее произведение, действующие на дифференциальные формы .

Градуированные дифференциации супералгебр (т. е. Z ₂ -градуированные алгебры) часто называют супердифференциациями .

Связанные понятия

Дифференцирования Хассе–Шмидта являются гомоморфизмами K -алгебр.

${\displaystyle A\to A[[t]].}$

Дальнейшее составление с картой, которая отправляет формальный степенной ряд коэффициенту, дает вывод. ${\displaystyle \sum a_{n}t^{n}}$ ${\displaystyle a_{1}}$

Смотрите также

• В дифференциальной геометрии производные являются касательными векторами
• Дифференциал Кэлера
• производная Хассе
• p -вывод
• Производные Виртингера
• Производная экспоненциального отображения

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989), Алгебра I , Элементы математики, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Эйзенбуд, Дэвид (1999), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии (3-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8.
• Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра , серия лекций по математике, WA Бенджамин, ISBN 978-0-8053-7025-6.
• Коларж, Иван; Словак, Ян; Михор, Петер В. (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии, Springer-Verlag.