p-вывод

В математике , а точнее в дифференциальной алгебре , p -вывод (где p — простое число ) на кольце R — это отображение из R в R , которое удовлетворяет определенным условиям, изложенным непосредственно ниже. Понятие p -вывода связано с понятием вывода в дифференциальной алгебре.

Определение

Пусть p — простое число. P -вывод или производная Буиума на кольце — это отображение , которое удовлетворяет следующему « правилу произведения »: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \delta :R\to R}$

${\displaystyle \delta _{p}(ab)=\delta _{p}(a)b^{p}+a^{p}\delta _{p}(b)+p\delta _{p}(a)\delta _{p}(b)}$

и «правило суммы»:

${\displaystyle \delta _{p}(a+b)=\delta _{p}(a)+\delta _{p}(b)+{\frac {a^{p}+b^{p}-(a+b)^{p}}{p}},}$

а также

${\displaystyle \delta _{p}(1)=0.}$

Обратите внимание, что в «правиле сумм» мы на самом деле не делим на p , поскольку все соответствующие биномиальные коэффициенты в числителе делятся на p , поэтому это определение применимо в случае, когда имеет p - кручение . ${\displaystyle R}$

Отношение к эндоморфизмам Фробениуса

Карта является лифтом эндоморфизма Фробениуса , представленного . Примером такого лифта может служить карта Артина . ${\displaystyle \sigma :R\to R}$ ${\displaystyle \sigma (x)=x^{p}{\pmod {pR}}}$

Если - кольцо с p -выводом, то отображение определяет эндоморфизм кольца , который является поднятием эндоморфизма Фробениуса. Когда кольцо R не имеет p -кручения , соответствие является биекцией . ${\displaystyle (R,\delta )}$ ${\displaystyle \sigma (x):=x^{p}+p\delta (x)}$

Примеры

• Для единственного p -вывода есть отображение ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$

${\displaystyle \delta (x)={\frac {x-x^{p}}{p}}.}$

Частное хорошо определено благодаря малой теореме Ферма .

• Если R — любое кольцо без p -кручения и является поднятием эндоморфизма Фробениуса, то ${\displaystyle \sigma :R\to R}$

${\displaystyle \delta (x)={\frac {\sigma (x)-x^{p}}{p}}}$

определяет p -вывод.

Смотрите также

• Вектор Витта
• Арифметическая производная
• Вывод
• частное Ферма

Ссылки

• Буйум, Алекс (1989), Арифметические дифференциальные уравнения , Математические обзоры и монографии, Springer-Verlag, ISBN 0-8218-3862-8.

Внешние ссылки

• Проект Евклид