Распределение на линейной алгебраической группе

Линейная функция, удовлетворяющая условию опоры

В алгебраической геометрии, если задана линейная алгебраическая группа G над полем k , распределение на ней представляет собой линейный функционал, удовлетворяющий некоторому условию опоры. Свертка распределений снова является распределением, и, таким образом, они образуют алгебру Хопфа на G , обозначаемую Dist( G ), которая содержит алгебру Ли Lie( G ) , связанную с G. Теорема Картье утверждает, что над полем нулевой характеристики Dist( G ) изоморфна универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли группы G , и поэтому конструкция не дает новой информации. В случае положительной характеристики алгебра может использоваться в качестве замены соответствия группа Ли – алгебра Ли и его варианта для алгебраических групп в нулевой характеристике; например, этот подход использован (Jantzen 1987). ${\displaystyle k[G]\to k}$

Строительство

Алгебра Ли линейной алгебраической группы

Пусть k — алгебраически замкнутое поле и G — линейная алгебраическая группа ( т. е. аффинная алгебраическая группа) над k . По определению, Lie( G ) — алгебра Ли всех дифференцирований k [ G ] , которые коммутируют с левым действием G. Как и в случае группы Ли, ее можно отождествить с касательным пространством к G в единичном элементе.

Обертывающая алгебра

Существует следующая общая конструкция алгебры Хопфа. Пусть A — алгебра Хопфа. Конечным двойственным к A является пространство линейных функционалов на A с ядрами, содержащими левые идеалы конечных коразмерностей. Конкретно его можно рассматривать как пространство матричных коэффициентов.

Присоединенная группа алгебры Ли

Распределения на алгебраической группе

Определение

Пусть X = Spec A — аффинная схема над полем k , и пусть Ix _— ядро ​​карты ограничения , поле вычетов x . По определению распределение f, поддерживаемое в точке x '', представляет собой k -линейный функционал на A такой, что для некоторого n . (Примечание: определение остается действительным, если k — произвольное кольцо.) ${\displaystyle A\to k(x)}$ ${\displaystyle f(I_{x}^{n})=0}$

Теперь, если G — алгебраическая группа над k , мы позволяем Dist( G ) быть набором всех распределений на G, поддерживаемых единичным элементом (часто называемых просто распределениями на G ). Если в нем находятся f , g , мы определяем произведение f и g , пониженное на f * g , как линейный функционал

${\displaystyle k[G]{\overset {\Delta }{\to }}k[G]\otimes k[G]{\overset {f\otimes g}{\to }}k\otimes k=k}$

где ∆ — коумножение , которое является гомоморфизмом, индуцированным умножением . Умножение оказывается ассоциативным (используйте ), и, следовательно, Dist( G ) является ассоциативной алгеброй, поскольку множество замкнуто относительно умножения по формуле: ${\displaystyle G\times G\to G}$ ${\displaystyle 1\otimes \Delta \circ \Delta =\Delta \otimes 1\circ \Delta }$

(*) ${\displaystyle \Delta (I_{1}^{n})\subset \sum _{r=0}^{n}I_{1}^{r}\otimes I_{1}^{n-r}.}$

Он также един с единицей, которая является линейным функционалом , дельта-мерой Дирака . ${\displaystyle k[G]\to k,\phi \mapsto \phi (1)}$

Алгебра Ли Lie( G ) находится внутри Dist( G ). Действительно, по определению Lie( G ) является касательным пространством к G в единичном элементе 1; т.е. двойственное пространство . Таким образом, касательный вектор представляет собой линейный функционал от I ₁ , который не имеет постоянного члена и уничтожает квадрат I ₁ , а формула (*) подразумевает, что он по-прежнему является касательным вектором. ${\displaystyle I_{1}/I_{1}^{2}}$ ${\displaystyle [f,g]=f*g-g*f}$

Пусть – алгебра Ли группы G . Тогда по свойству универсальности включение индуцирует гомоморфизм алгебры: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow \operatorname {Dist} (G)}$

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})\to \operatorname {Dist} (G).}$

Когда базовое поле k имеет нулевую характеристику, этот гомоморфизм является изоморфизмом. ^[1]

Примеры

Группа присадок

Пусть – аддитивная группа; т. е. G ( R ) = R для любой k -алгебры R . Как многообразие G — аффинная прямая; т. е. координатное кольцо — это k [ t ] и I ${\displaystyle G=\mathbb {G} _{a}}$^п
₀знак равно ( т ^п ).

Мультипликативная группа

Пусть – мультипликативная группа; т. е. G ( R ) = R ^* для любой k -алгебры R . Координатное кольцо G — это k [ t , t ⁻¹ ] (поскольку G на самом деле GL ₁ ( k ).) ${\displaystyle G=\mathbb {G} _{m}}$

Переписка

• Для любых замкнутых подгрупп H , ' K группы G , если k совершенно и H неприводима, то

${\displaystyle H\subset K\Leftrightarrow \operatorname {Dist} (H)\subset \operatorname {Dist} (K).}$

• Если V — G -модуль (то есть представление G ), то он допускает естественную структуру Dist( G )-модуля, который, в свою очередь, дает структуру модуля над . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Любое действие G на аффинном алгебраическом многообразии X индуцирует представление G на координатном кольце k [ G ]. В частности, действие G по сопряжению индуцирует действие G на k [ G ]. Можно показать, что я^№
  ₁устойчив относительно G и, следовательно, G действует на ( k [ G ]/ I^№
  ₁) ^* и откуда на его объединении Dist( G ). Результирующее действие называется присоединенным действием G .

Случай конечных алгебраических групп

Пусть G — алгебраическая группа, «конечная» как групповая схема ; например, любую конечную группу можно рассматривать как конечную алгебраическую группу. Существует эквивалентность категорий между категорией конечных алгебраических групп и категорией конечномерных кокоммутативных алгебр Хопфа, заданных отображением G в k [ G ] * ^, двойственное координатному кольцу G. Обратите внимание, что Dist( G ) является (Хопфовой) подалгеброй k [ G ] ^* .

Связь с соответствием группа Ли – алгебра Ли

Примечания

1. Янцен 1987, Часть I, § 7.10.

Рекомендации

• Янцен, Йенс Карстен (1987). Представления алгебраических групп . Чистая и прикладная математика. Том. 131. Бостон: Академик Пресс. ISBN 978-0-12-380245-3.
• Милн, iAG: Алгебраические группы: введение в теорию схем алгебраических групп над полями.
• Клаудио Процессези , Группы Ли: подход через инварианты и представления , Springer, Universitext 2006.
• Мукаи, С. (2002). Введение в инварианты и модули. Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 81. ИСБН 978-0-521-80906-1.
• Спрингер, Тонни А. (1998), Линейные алгебраические группы , Progress in Mathematics, vol. 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7, МР  1642713

дальнейшее чтение

• Линейные алгебраические группы и их алгебры Ли. Дэниел Миллер, осень 2014 г.