Универсальная обертывающая алгебра

Понятие в математике

В математике универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли — это унитальная ассоциативная алгебра, представления которой в точности соответствуют представлениям этой алгебры Ли.

Универсальные обертывающие алгебры используются в теории представлений групп Ли и алгебр Ли. Например, модули Верма могут быть построены как факторы универсальной обертывающей алгебры. ^[1] Кроме того, обертывающая алгебра дает точное определение для операторов Казимира . Поскольку операторы Казимира коммутируют со всеми элементами алгебры Ли, их можно использовать для классификации представлений. Точное определение также позволяет импортировать операторы Казимира в другие области математики, в частности, в те, которые имеют дифференциальную алгебру . Они также играют центральную роль в некоторых недавних разработках в математике. В частности, их дуал дает коммутативный пример объектов, изучаемых в некоммутативной геометрии , квантовых групп . Этот дуал, как можно показать с помощью теоремы Гельфанда–Наймарка , содержит алгебру C* соответствующей группы Ли. Эта связь обобщается до идеи двойственности Таннаки–Крейна между компактными топологическими группами и их представлениями.

С аналитической точки зрения универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли группы Ли может быть отождествлена ​​с алгеброй левоинвариантных дифференциальных операторов на группе.

Неформальное строительство

Идея универсальной обертывающей алгебры заключается в том, чтобы вложить алгебру Ли в ассоциативную алгебру с тождеством таким образом, чтобы абстрактная скобочная операция в соответствовала коммутатору в , а алгебра порождалась элементами . Может быть много способов сделать такое вложение, но существует единственный «наибольший» из таких , называемый универсальной обертывающей алгеброй . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle xy-yx}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Генераторы и отношения

Пусть будет алгеброй Ли, для простоты предполагаемой конечномерной, с базисом . Пусть будут структурными константами для этого базиса, так что ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots X_{n}}$ ${\displaystyle c_{ijk}}$

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=\sum _{k=1}^{n}c_{ijk}X_{k}.}$

Тогда универсальная обертывающая алгебра — это ассоциативная алгебра (с тождеством), порожденная элементами, подчиненными соотношениям ${\displaystyle x_{1},\ldots x_{n}}$

${\displaystyle x_{i}x_{j}-x_{j}x_{i}=\sum _{k=1}^{n}c_{ijk}x_{k}}$

и никаких других соотношений . Ниже мы уточним эту конструкцию «генераторов и соотношений», построив универсальную обертывающую алгебру как фактор тензорной алгебры по . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Рассмотрим, например, алгебру Ли sl(2,C) , образованную матрицами

$${\displaystyle E={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad F={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,}$$

которые удовлетворяют коммутационным соотношениям , и . Универсальная обертывающая алгебра sl(2,C) тогда является алгеброй, порожденной тремя элементами, подчиненными соотношениям ${\displaystyle [H,E]=2E}$ ${\displaystyle [H,F]=-2F}$ ${\displaystyle [E,F]=H}$ ${\displaystyle e,f,h}$

${\displaystyle he-eh=2e,\quad hf-fh=-2f,\quad ef-fe=h,}$

и никаких других соотношений. Подчеркнем, что универсальная обертывающая алгебра не совпадает с (или не содержится в) алгеброй матриц. Например, матрица удовлетворяет , что легко проверить. Но в универсальной обертывающей алгебре элемент не удовлетворяет , потому что мы не накладываем это соотношение при построении обертывающей алгебры. Действительно, из теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта (обсуждаемой в § ниже) следует, что все элементы линейно независимы в универсальной обертывающей алгебре. ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{2}=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{2}=0}$ ${\displaystyle 1,e,e^{2},e^{3},\ldots }$

Нахождение основы

В общем случае элементы универсальной обертывающей алгебры являются линейными комбинациями произведений генераторов во всех возможных порядках. Используя определяющие соотношения универсальной обертывающей алгебры, мы всегда можем переупорядочить эти произведения в определенном порядке, скажем, со всеми множителями сначала, затем множителями и т. д. Например, всякий раз, когда у нас есть член, который содержит (в «неправильном» порядке), мы можем использовать соотношения, чтобы переписать это как плюс линейная комбинация ' s. Повторное выполнение такого рода действий в конечном итоге преобразует любой элемент в линейную комбинацию членов в порядке возрастания. Таким образом, элементы вида ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$ ${\displaystyle x_{j}}$

${\displaystyle x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}$

причем ' являются неотрицательными целыми числами, охватывают обертывающую алгебру. (Мы допускаем , то есть допускаем члены, в которых не встречаются множители .) Теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта , обсуждаемая ниже, утверждает, что эти элементы линейно независимы и, таким образом, образуют основу для универсальной обертывающей алгебры. В частности, универсальная обертывающая алгебра всегда бесконечномерна. ${\displaystyle k_{j}}$ ${\displaystyle k_{j}=0}$ ${\displaystyle x_{j}}$

Теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта подразумевает, в частности, что сами элементы линейно независимы. Поэтому обычно — хотя это и может сбивать с толку — отождествляют ' с генераторами исходной алгебры Ли. То есть мы отождествляем исходную алгебру Ли как подпространство ее универсальной обертывающей алгебры, натянутое на генераторы. Хотя может быть алгеброй матриц, универсальная обертывающая алгебра не состоит из (конечномерных) матриц. В частности, не существует конечномерной алгебры, содержащей универсальную обертывающую ; универсальная обертывающая алгебра всегда бесконечномерна. Таким образом, в случае sl(2,C), если мы отождествляем нашу алгебру Ли как подпространство ее универсальной обертывающей алгебры, мы должны интерпретировать , и не как матрицы, а скорее как символы без дополнительных свойств (кроме коммутационных соотношений). ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

Формальности

Формальная конструкция универсальной обертывающей алгебры берет вышеприведенные идеи и оборачивает их в обозначения и терминологию, которые делают ее более удобной для работы. Самое важное отличие состоит в том, что свободная ассоциативная алгебра, используемая выше, сужается до тензорной алгебры , так что произведение символов понимается как тензорное произведение . Коммутационные соотношения налагаются путем построения факторпространства тензорной алгебры, факторизованной по наименьшему двустороннему идеалу, содержащему элементы вида . Универсальная обертывающая алгебра является «наибольшей» унитальной ассоциативной алгеброй, порожденной элементами со скобкой Ли, совместимой с исходной алгеброй Ли. ${\displaystyle x_{i}x_{j}-x_{j}x_{i}-\Sigma c_{ijk}x_{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Формальное определение

Напомним, что каждая алгебра Ли является, в частности, векторным пространством . Таким образом, можно свободно построить из нее тензорную алгебру . Тензорная алгебра является свободной алгеброй : она просто содержит все возможные тензорные произведения всех возможных векторов в , без каких-либо ограничений на эти произведения. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

То есть, человек строит пространство

${\displaystyle T({\mathfrak {g}})=K\,\oplus \,{\mathfrak {g}}\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,\cdots }$

где — тензорное произведение, а — прямая сумма векторных пространств. Здесь K — поле, над которым определена алгебра Ли. Отсюда и до конца статьи тензорное произведение всегда указывается явно. Многие авторы опускают его, поскольку с практикой его местоположение обычно можно вывести из контекста. Здесь принят очень явный подход, чтобы свести к минимуму любую возможную путаницу относительно значений выражений. ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \oplus }$

Первый шаг в построении — «поднять» скобку Ли из алгебры Ли (где она определена) в тензорную алгебру (где она не определена), чтобы можно было когерентно работать со скобкой Ли двух тензоров. Поднятие выполняется следующим образом. Во-первых, напомним, что операция скобки в алгебре Ли — это отображение , которое является билинейным , кососимметричным и удовлетворяет тождеству Якоби . Мы хотим определить скобку Ли [-,-], которая является отображением , которое также является билинейным, кососимметричным и подчиняется тождеству Якоби. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})\otimes T({\mathfrak {g}})\to T({\mathfrak {g}})}$

Подъем может быть выполнен послойно. Начните с определения кронштейна на как ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a=[a,b]}$

Это последовательное, связное определение, поскольку обе стороны билинейны и обе стороны кососимметричны (тождество Якоби вскоре последует). Вышеприведенное определяет скобку на ; теперь ее нужно поднять до для произвольного Это делается рекурсивно, путем определения ${\displaystyle T^{2}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T^{n}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle n.}$

${\displaystyle [a\otimes b,c]=a\otimes [b,c]+[a,c]\otimes b}$

и также

${\displaystyle [a,b\otimes c]=[a,b]\otimes c+b\otimes [a,c]}$

Легко проверить, что приведенное выше определение является билинейным и кососимметричным; можно также показать, что оно подчиняется тождеству Якоби. Конечный результат состоит в том, что у нас есть скобка Ли, которая последовательно определена на всех из одного из, что говорит о том, что она была «поднята» на все из в общепринятом смысле «поднятия» из базового пространства (здесь алгебры Ли) в покрывающее пространство (здесь тензорной алгебры). ${\displaystyle T({\mathfrak {g}});}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$

Результатом этого подъема является явно алгебра Пуассона . Это унитальная ассоциативная алгебра со скобкой Ли, совместимая со скобкой алгебры Ли; она совместима по построению. Однако это не наименьшая такая алгебра; она содержит гораздо больше элементов, чем необходимо. Можно получить что-то меньшее, проецируя обратно вниз. Универсальная обертывающая алгебра определяется как факторпространство ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/\sim }$

где отношение эквивалентности задается выражением ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a=[a,b]}$

То есть скобка Ли определяет отношение эквивалентности, используемое для выполнения факторизации. Результатом по-прежнему является единичная ассоциативная алгебра, и можно по-прежнему взять скобку Ли любых двух членов. Вычисление результата является простым, если помнить, что каждый элемент можно понимать как смежный класс : просто берется скобка, как обычно, и ищется смежный класс, содержащий результат. Это наименьшая такая алгебра; нельзя найти ничего меньшего, что по-прежнему подчинялось бы аксиомам ассоциативной алгебры. ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Универсальная обертывающая алгебра — это то, что остается от тензорной алгебры после модификации структуры алгебры Пуассона . (Это нетривиальное утверждение; тензорная алгебра имеет довольно сложную структуру: это, помимо прочего, алгебра Хопфа ; алгебра Пуассона также довольно сложна, со многими своеобразными свойствами. Она совместима с тензорной алгеброй, и поэтому модификация может быть выполнена. Структура алгебры Хопфа сохраняется; это приводит к ее многочисленным новым применениям, например, в теории струн . Однако для целей формального определения все это не имеет особого значения.)

Построение может быть выполнено немного иным (но в конечном счете эквивалентным) способом. Забудьте на мгновение о приведенном выше подъеме и вместо этого рассмотрите двусторонний идеал I, сгенерированный элементами формы

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b]}$

Этот генератор является элементом

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\subset T({\mathfrak {g}})}$

Общий член идеального Я буду иметь форму

${\displaystyle c\otimes d\otimes \cdots \otimes (a\otimes b-b\otimes a-[a,b])\otimes f\otimes g\cdots }$

для некоторых Все элементы I получаются как линейные комбинации элементов этой формы. Очевидно, является подпространством. Это идеал, в том смысле, что если и то и Установление того, что это идеал, важно, потому что идеалы — это именно те вещи, с которыми можно факторизовать; идеалы лежат в ядре факторизующего отображения. То есть, имеется короткая точная последовательность ${\displaystyle a,b,c,d,f,g\in {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle I\subset T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle j\in I}$ ${\displaystyle x\in T({\mathfrak {g}}),}$ ${\displaystyle j\otimes x\in I}$ ${\displaystyle x\otimes j\in I.}$

${\displaystyle 0\to I\to T({\mathfrak {g}})\to T({\mathfrak {g}})/I\to 0}$

где каждая стрелка — это линейная карта, а ядро ​​этой карты задается образом предыдущей карты. Универсальная обертывающая алгебра может быть тогда определена как ^[2]

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I}$

Супералгебры и другие обобщения

Вышеуказанная конструкция фокусируется на алгебрах Ли и на скобке Ли, а также на ее перекосе и антисимметрии. В некоторой степени эти свойства являются побочными для конструкции. Рассмотрим вместо этого некоторую (произвольную) алгебру (не алгебру Ли) над векторным пространством, то есть векторное пространство, наделенное умножением , которое принимает элементы Если умножение является билинейным, то может быть выполнено то же самое построение и определения. Начинается с подъема до так, чтобы поднятое подчинялось всем тем же свойствам, что и основание — симметрии или антисимметрии или чему-либо еще. Подъем выполняется точно так же , как и раньше, начиная с ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m:V\times V\to V}$ ${\displaystyle a\times b\mapsto m(a,b).}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m:V\otimes V&\to V\\a\otimes b&\mapsto m(a,b)\end{aligned}}}$

Это согласовано именно потому, что тензорное произведение является билинейным, а умножение является билинейным. Остальная часть подъема выполняется так, чтобы сохранить умножение как гомоморфизм . По определению , записывается

${\displaystyle m(a\otimes b,c)=a\otimes m(b,c)+m(a,c)\otimes b}$

и также, что

${\displaystyle m(a,b\otimes c)=m(a,b)\otimes c+b\otimes m(a,c)}$

Это расширение последовательно с помощью апелляции к лемме о свободных объектах : поскольку тензорная алгебра является свободной алгеброй , любой гомоморфизм на ее порождающем множестве может быть расширен на всю алгебру. Все остальное происходит так, как описано выше: по завершении получается унитальная ассоциативная алгебра; можно взять фактор одним из двух способов, описанных выше.

Выше приведено именно то, как строится универсальная обёртывающая алгебра для супералгебр Ли . Нужно только внимательно следить за знаком при перестановке элементов. В этом случае (анти)коммутатор супералгебры поднимается до (анти)коммутирующей скобки Пуассона.

Другая возможность — использовать что-то иное, чем тензорная алгебра, в качестве покрывающей алгебры. Одна из таких возможностей — использовать внешнюю алгебру ; то есть заменить каждое вхождение тензорного произведения внешним произведением . Если базовая алгебра — алгебра Ли, то результатом будет алгебра Герстенхабера ; это внешняя алгебра соответствующей группы Ли. Как и прежде, она имеет градуировку , естественным образом вытекающую из градуировки внешней алгебры. (Алгебру Герстенхабера не следует путать с супералгеброй Пуассона ; обе вызывают антикоммутацию, но по-разному.)

Эта конструкция также была обобщена для алгебр Мальцева ^[3] , алгебр Бола ^[4] и левых альтернативных алгебр . ^{[ требуется ссылка ]}

Универсальная собственность

Универсальная обертывающая алгебра, или, скорее, универсальная обертывающая алгебра вместе с каноническим отображением , обладает универсальным свойством . ^[5] Предположим, что у нас есть любое отображение алгебры Ли ${\displaystyle h\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle \varphi :{\mathfrak {g}}\to A}$

к унитальной ассоциативной алгебре A (со скобкой Ли в A, заданной коммутатором). Более конкретно, это означает, что мы предполагаем

${\displaystyle \varphi ([X,Y])=\varphi (X)\varphi (Y)-\varphi (Y)\varphi (X)}$

для всех . Тогда существует единственный унитальный гомоморфизм алгебры ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\widehat {\varphi }}\colon U({\mathfrak {g}})\to A}$

такой что

${\displaystyle \varphi ={\widehat {\varphi }}\circ h}$

где — каноническое отображение. (Отображение получается путем вложения в его тензорную алгебру и последующего составления с фактор-отображением в универсальную обертывающую алгебру. Это отображение является вложением по теореме Пуанкаре–Биркгофа–Витта.) ${\displaystyle h:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Другими словами, если — линейное отображение в унитальную алгебру, удовлетворяющее , то продолжается до гомоморфизма алгебры . Поскольку порождается элементами , отображение должно однозначно определяться требованием, чтобы ${\displaystyle \varphi \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi ([X,Y])=\varphi (X)\varphi (Y)-\varphi (Y)\varphi (X)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}:U({\mathfrak {g}})\to A}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}}$

${\displaystyle {\widehat {\varphi }}(X_{i_{1}}\cdots X_{i_{N}})=\varphi (X_{i_{1}})\cdots \varphi (X_{i_{N}}),\quad X_{i_{j}}\in {\mathfrak {g}}}$.

Дело в том, что поскольку в универсальной обертывающей алгебре нет других соотношений, кроме тех, которые вытекают из коммутационных соотношений , отображение является хорошо определенным, независимо от того, как записывается заданный элемент в виде линейной комбинации произведений элементов алгебры Ли. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}}$ ${\displaystyle x\in U({\mathfrak {g}})}$

Универсальное свойство обертывающей алгебры немедленно подразумевает, что каждое представление действия на векторном пространстве однозначно продолжается до представления . (Возьмем .) Это наблюдение важно, поскольку оно позволяет (как обсуждается ниже) элементам Казимира действовать на . Эти операторы (из центра ) действуют как скаляры и предоставляют важную информацию о представлениях. Квадратичный элемент Казимира имеет особое значение в этом отношении. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle A=\mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Другие алгебры

Хотя каноническая конструкция, приведенная выше, может быть применена к другим алгебрам, результат, в общем случае, не обладает универсальным свойством. Так, например, когда конструкция применяется к йордановым алгебрам , результирующая обертывающая алгебра содержит специальные йордановы алгебры , но не исключительные: то есть она не обертывает алгебры Альберта . Аналогично, теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта, приведенная ниже, строит базис для обертывающей алгебры; она просто не будет универсальной. Аналогичные замечания справедливы для супералгебр Ли .

Теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта

Теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта дает точное описание . Это можно сделать одним из двух способов: либо ссылаясь на явный векторный базис на алгебре Ли, либо в безкоординатной манере. ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Использование базовых элементов

Один из способов — предположить, что алгебре Ли можно задать полностью упорядоченный базис, то есть, что это свободное векторное пространство полностью упорядоченного множества. Напомним, что свободное векторное пространство определяется как пространство всех функций с конечным носителем из множества X в поле K (конечность означает, что только конечное число значений ненулевые); ему можно задать базис, такой что — индикаторная функция для . Пусть — инъекция в тензорную алгебру; это используется, чтобы также задать тензорной алгебре базис. Это делается путем поднятия: если задана некоторая произвольная последовательность , то определяется расширение как ${\displaystyle e_{a}:X\to K}$ ${\displaystyle e_{a}(b)=\delta _{ab}}$ ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle h:{\mathfrak {g}}\to T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h(e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c})=h(e_{a})\otimes h(e_{b})\otimes \cdots \otimes h(e_{c})}$

Теорема Пуанкаре–Биркгофа–Витта утверждает, что можно получить базис для из вышесказанного, навязывая полный порядок X алгебре. То есть, имеет базис ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c}}$

где , упорядочение является порядком полного порядка на множестве X . ^[6] Доказательство теоремы включает в себя замечание того, что если начать с неупорядоченных базисных элементов, их всегда можно поменять местами, используя коммутатор (вместе со структурными константами ). Сложная часть доказательства заключается в установлении того, что конечный результат является уникальным и не зависит от порядка, в котором были выполнены обмены. ${\displaystyle a\leq b\leq \cdots \leq c}$

Этот базис должен быть легко распознан как базис симметричной алгебры . То есть, базовые векторные пространства и симметричной алгебры изоморфны, и именно теорема PBW показывает, что это так. Однако см. раздел об алгебре символов ниже для более точного изложения природы изоморфизма. ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Возможно, будет полезно разделить процесс на два шага. На первом шаге строится свободная алгебра Ли : это то, что получается, если выполнить модификацию по всем коммутаторам, не указывая значения коммутаторов. На втором шаге применяются конкретные коммутационные соотношения из Первый шаг универсален и не зависит от конкретных Он также может быть точно определен: базисные элементы задаются словами Холла , частным случаем которых являются слова Линдона ; они явно построены так, чтобы вести себя соответствующим образом как коммутаторы. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

Координатно-свободный

Можно также сформулировать теорему в координатно-свободной манере, избегая использования полных порядков и базисных элементов. Это удобно, когда есть трудности с определением базисных векторов, как это может быть для бесконечномерных алгебр Ли. Это также дает более естественную форму, которую легче распространить на другие виды алгебр. Это достигается путем построения фильтрации, пределом которой является универсальная обволакивающая алгебра ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

Во-первых, необходимо обозначение для возрастающей последовательности подпространств тензорной алгебры. Пусть

${\displaystyle T_{m}{\mathfrak {g}}=K\oplus {\mathfrak {g}}\oplus T^{2}{\mathfrak {g}}\oplus \cdots \oplus T^{m}{\mathfrak {g}}}$

где

${\displaystyle T^{m}{\mathfrak {g}}=T^{\otimes m}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}\otimes \cdots \otimes {\mathfrak {g}}}$

представляет собой m -кратное тензорное произведение формы фильтрации : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle T_{m}{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K\subset {\mathfrak {g}}\subset T_{2}{\mathfrak {g}}\subset \cdots \subset T_{m}{\mathfrak {g}}\subset \cdots }$

Точнее, это фильтрованная алгебра , поскольку фильтрация сохраняет алгебраические свойства подпространств. Обратите внимание, что пределом этой фильтрации является тензорная алгебра ${\displaystyle T({\mathfrak {g}}).}$

Выше уже было установлено, что факторизация по идеалу является естественным преобразованием , которое переводит из в Это также естественным образом работает на подпространствах, и поэтому получается фильтрация, пределом которой является универсальная обертывающая алгебра ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

Далее, определите пространство

${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}=U_{m}{\mathfrak {g}}/U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$

Это пространство по модулю всех подпространств строго меньшей степени фильтрации. Обратите внимание, что это совсем не то же самое, что ведущий член фильтрации, как можно было бы наивно предположить. Оно не строится посредством механизма вычитания множеств, связанного с фильтрацией. ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{n}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U^{m}{\mathfrak {g}}}$

Факторизация по имеет эффект установки всех коммутаторов Ли, определенных в , в ноль. Это можно увидеть, наблюдая, что коммутатор пары элементов, произведения которых лежат в , на самом деле дает элемент в . Возможно, это не сразу очевидно: чтобы получить этот результат, нужно многократно применять коммутационные соотношения и крутить рукоятку. Суть теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта в том, что это всегда возможно сделать, и что результат уникален. ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$

Поскольку коммутаторы элементов, чьи произведения определены в , лежат в , частное, которое определяет, имеет эффект установки всех коммутаторов в ноль. PBW утверждает, что коммутатор элементов в обязательно равен нулю. Остаются элементы, которые не могут быть выражены как коммутаторы. ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$

Таким образом, мы немедленно приходим к симметричной алгебре . Это алгебра, в которой все коммутаторы обращаются в нуль. Ее можно определить как фильтрацию симметричных тензорных произведений . Ее пределом является симметричная алгебра . Она строится путем обращения к тому же понятию естественности, что и раньше. Начинается с той же тензорной алгебры, и просто используется другой идеал, идеал, который заставляет все элементы коммутировать: ${\displaystyle S_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle S({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/(a\otimes b-b\otimes a)}$

Таким образом, теорему Пуанкаре–Биркгофа–Витта можно рассматривать как утверждение, что она изоморфна симметричной алгебре как векторному пространству , так и коммутативной алгебре. ${\displaystyle G({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$

Они также образуют фильтрованную алгебру; ее пределом является Это связанная градуированная алгебра фильтрации. ${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G({\mathfrak {g}}).}$

Конструкция выше, благодаря использованию факторизации, подразумевает, что предел изоморфен В более общих условиях, при ослабленных условиях, обнаруживается, что является проекцией, и затем получаются теоремы типа PBW для связанной градуированной алгебры фильтрованной алгебры . Чтобы подчеркнуть это, иногда используется обозначение, служащее для напоминания о том, что это фильтрованная алгебра. ${\displaystyle G({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle G({\mathfrak {g}}),}$

Другие алгебры

Теорема, примененная к йордановым алгебрам , дает внешнюю алгебру , а не симметричную алгебру. По сути, конструкция обнуляет антикоммутаторы. Полученная алгебра является обволакивающей алгеброй , но не универсальной. Как упоминалось выше, она не может обволакивать исключительные йордановы алгебры.

Левоинвариантные дифференциальные операторы

Предположим, что есть действительная группа Ли с алгеброй Ли . Следуя современному подходу, мы можем идентифицироваться с пространством левоинвариантных векторных полей (т. е. левоинвариантных дифференциальных операторов первого порядка). В частности, если мы изначально думаем о как о касательном пространстве к в единице, то каждый вектор в имеет уникальное левоинвариантное расширение. Затем мы отождествляем вектор в касательном пространстве с соответствующим левоинвариантным векторным полем. Теперь коммутатор (как дифференциальные операторы) двух левоинвариантных векторных полей снова является векторным полем и снова левоинвариантным. Затем мы можем определить операцию скобок на как коммутатор на соответствующих левоинвариантных векторных полях. ^[7] Это определение согласуется с любым другим стандартным определением структуры скобок на алгебре Ли группы Ли. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Затем мы можем рассмотреть левоинвариантные дифференциальные операторы произвольного порядка. Каждый такой оператор может быть выражен (неединственно) как линейная комбинация произведений левоинвариантных векторных полей. Совокупность всех левоинвариантных дифференциальных операторов на образует алгебру, обозначаемую . Можно показать, что изоморфна универсальной обертывающей алгебре . ^[8] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

В случае, который возникает как алгебра Ли действительной группы Ли, можно использовать левоинвариантные дифференциальные операторы, чтобы дать аналитическое доказательство теоремы Пуанкаре–Биркгофа–Витта . В частности, алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов порождается элементами (левоинвариантными векторными полями), которые удовлетворяют коммутационным соотношениям . Таким образом, по универсальному свойству обертывающей алгебры, является частным . Таким образом, если базисные элементы ПБВ линейно независимы в — что можно установить аналитически — они, безусловно, должны быть линейно независимы в . (И в этой точке изоморфизм с очевиден.) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Алгебра символов

Базовому векторному пространству можно придать новую структуру алгебры так, что и изоморфны как ассоциативные алгебры . Это приводит к концепции алгебры символов : пространства симметричных многочленов , снабженного произведением , которое помещает алгебраическую структуру алгебры Ли на то, что в противном случае является стандартной ассоциативной алгеброй. То есть то, что теорема PBW скрывает (коммутационные соотношения), алгебра символов восстанавливает в центре внимания. ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \star ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \star }$

Алгебра получается путем взятия элементов из и замены каждого генератора неопределенной коммутирующей переменной для получения пространства симметричных многочленов над полем . Действительно, соответствие тривиально: достаточно просто заменить символ на . Полученный многочлен называется символом соответствующего элемента из . Обратное отображение имеет вид ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle K[t_{i}]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle w:\star ({\mathfrak {g}})\to U({\mathfrak {g}})}$

который заменяет каждый символ на . Алгебраическая структура получается, требуя, чтобы произведение действовало как изоморфизм, то есть так, чтобы ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle w(p\star q)=w(p)\otimes w(q)}$

для полиномов ${\displaystyle p,q\in \star ({\mathfrak {g}}).}$

Основная проблема с этой конструкцией заключается в том, что не является тривиально, по сути, членом , как написано, и что сначала нужно выполнить утомительную перестановку базисных элементов (применяя структурные константы по мере необходимости), чтобы получить элемент в правильно упорядоченном базисе. Можно дать явное выражение для этого произведения: это формула Березина . ^[9] По сути, это следует из формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа для произведения двух элементов группы Ли. ${\displaystyle w(p)\otimes w(q)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Выражение в замкнутой форме имеет вид ^[10]

${\displaystyle p(t)\star q(t)=\left.\exp \left(t_{i}m^{i}\left({\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial v}}\right)\right)p(u)q(v)\right\vert _{u=v=t}}$

где

${\displaystyle m(A,B)=\log \left(e^{A}e^{B}\right)-A-B}$

и находится только в выбранной основе. ${\displaystyle m^{i}}$ ${\displaystyle m}$

Универсальной обертывающей алгеброй алгебры Гейзенберга является алгебра Вейля (по модулю соотношения, что центр является единицей); здесь произведение называется произведением Мойала . ${\displaystyle \star }$

Теория представления

Универсальная обертывающая алгебра сохраняет теорию представлений: представления однозначно соответствуют модулям над . В более абстрактных терминах абелева категория всех представлений изоморфна абелевой категории всех левых модулей над . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Теория представлений полупростых алгебр Ли основана на наблюдении, что существует изоморфизм, известный как произведение Кронекера :

${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{1}\oplus {\mathfrak {g}}_{2})\cong U({\mathfrak {g}}_{1})\otimes U({\mathfrak {g}}_{2})}$

для алгебр Ли . Изоморфизм следует из поднятия вложения ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{2}}$

${\displaystyle i({\mathfrak {g}}_{1}\oplus {\mathfrak {g}}_{2})=i_{1}({\mathfrak {g}}_{1})\otimes 1\oplus 1\otimes i_{2}({\mathfrak {g}}_{2})}$

где

${\displaystyle i:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

это просто каноническое вложение (с нижними индексами, соответственно, для алгебр один и два). Легко проверить, что это вложение поднимается, учитывая предписание выше. Однако см. обсуждение структуры биалгебры в статье о тензорных алгебрах для обзора некоторых тонких моментов этого: в частности, тасовочное произведение, используемое там, соответствует коэффициентам Вигнера-Рака, т. е. 6j и 9j-символам и т. д.

Также важно, что универсальная обертывающая алгебра свободной алгебры Ли изоморфна свободной ассоциативной алгебре .

Построение представлений обычно осуществляется путем построения модулей Верма с наибольшими весами .

В типичном контексте, где действует посредством бесконечно малых преобразований , элементы действуют как дифференциальные операторы всех порядков. (См., например, реализацию универсальной обертывающей алгебры как левоинвариантных дифференциальных операторов на ассоциированной группе, как обсуждалось выше.) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Операторы Казимира

Центр можно отождествить с централизатором в Любой элемент из должен коммутировать со всеми из и, в частности, с каноническим вложением в Из-за этого центр непосредственно полезен для классификации представлений . Для конечномерной полупростой алгебры Ли операторы Казимира образуют выделенный базис из центра . Они могут быть построены следующим образом. ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$

Центр соответствует линейным комбинациям всех элементов , которые коммутируют со всеми элементами , то есть, для которых То есть, они находятся в ядре Таким образом, необходим метод для вычисления этого ядра. То, что у нас есть, — это действие сопряженного представления на нам оно нужно на Самый простой путь — заметить, что является выводом , и что пространство выводов может быть поднято до и, таким образом, до Это подразумевает, что обе они являются дифференциальными алгебрами . ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle z=v\otimes w\otimes \cdots \otimes u\in U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}};}$ ${\displaystyle [z,x]={\mbox{ad}}_{x}(z)=0.}$ ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}};}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

По определению, является выводом, если он подчиняется закону Лейбница : ${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \delta ([v,w])=[\delta (v),w]+[v,\delta (w)]}$

(Когда — пространство левоинвариантных векторных полей на группе , скобка Ли — это скобка векторных полей.) Поднятие выполняется путем определения ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta (v\otimes w\otimes \cdots \otimes u)=&\,\delta (v)\otimes w\otimes \cdots \otimes u\\&+v\otimes \delta (w)\otimes \cdots \otimes u\\&+\cdots +v\otimes w\otimes \cdots \otimes \delta (u).\end{aligned}}}$

Так как является выводом для любого из вышеприведенных определений, действующих на и ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{x}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{x}}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

Из теоремы ПБВ ясно, что все центральные элементы являются линейными комбинациями симметричных однородных многочленов в базисных элементах алгебры Ли. Инварианты Казимира являются неприводимыми однородными многочленами заданной фиксированной степени. То есть, при заданном базисе оператор Казимира порядка имеет вид ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ab\cdots c}e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c}}$

где есть члены в тензорном произведении, и является полностью симметричным тензором порядка , принадлежащим присоединенному представлению. То есть, может (должен) рассматриваться как элемент Напомним, что присоединенное представление задается непосредственно структурными константами , и поэтому может быть задана явная индексированная форма приведенных выше уравнений в терминах базиса алгебры Ли; это изначально теорема Израиля Гельфанда . То есть, из следует, что ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \kappa ^{ab\cdots c}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \kappa ^{ab\cdots c}}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}\right)^{\otimes m}.}$ ${\displaystyle [x,C_{(m)}]=0}$

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0}$

где структурные константы

${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}e_{k}}$

Например, квадратичный оператор Казимира имеет вид

${\displaystyle C_{(2)}=\kappa ^{ij}e_{i}\otimes e_{j}}$

где — обратная матрица формы Киллинга . Принадлежность оператора Казимира центру следует из того, что форма Киллинга инвариантна относительно сопряженного действия. ${\displaystyle \kappa ^{ij}}$ ${\displaystyle \kappa _{ij}.}$ ${\displaystyle C_{(2)}}$ ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$

Центр универсальной обертывающей алгебры простой алгебры Ли подробно задается изоморфизмом Хариш-Чандры .

Классифицировать

Число алгебраически независимых операторов Казимира конечномерной полупростой алгебры Ли равно рангу этой алгебры, т.е. равно рангу базиса Картана–Вейля . Это можно увидеть следующим образом. Для d -мерного векторного пространства V напомним , что определитель — это полностью антисимметричный тензор на . Для данной матрицы M можно записать характеристический многочлен M как ${\displaystyle V^{\otimes d}}$

${\displaystyle \det(tI-M)=\sum _{n=0}^{d}p_{n}t^{n}}$

Для d -мерной алгебры Ли, то есть алгебры, сопряженное представление которой d -мерно, линейный оператор

${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$

подразумевает, что это d -мерный эндоморфизм, и поэтому имеем характеристическое уравнение ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$

${\displaystyle \det(tI-\operatorname {ad} _{x})=\sum _{n=0}^{d}p_{n}(x)t^{n}}$

для элементов Ненулевые корни этого характеристического многочлена (являющиеся корнями для всех x ) образуют корневую систему алгебры. В общем случае таких корней всего r ; это ранг алгебры. Это означает, что наибольшее значение n, для которого не обращается в нуль, равно r . ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle p_{n}(x)}$

Это однородные многочлены степени d  −  n . Это можно увидеть несколькими способами: При наличии константы ad является линейным, так что Подставляя и вычитая вышесказанное, получаем, что ${\displaystyle p_{n}(x)}$ ${\displaystyle k\in K}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{kx}=k\,\operatorname {ad} _{x}.}$

${\displaystyle p_{n}(kx)=k^{d-n}p_{n}(x).}$

По линейности, если разложить по базису,

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{d}x_{i}e_{i}}$

тогда многочлен имеет вид

${\displaystyle p_{n}(x)=x_{a}x_{b}\cdots x_{c}\kappa ^{ab\cdots c}}$

то есть, a — тензор ранга . Из линейности и коммутативности сложения, т.е. того , что , следует, что этот тензор должен быть полностью симметричным. Этот тензор — в точности инвариант Казимира порядка m . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle m=d-n}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x+y}=\operatorname {ad} _{y+x},}$

Центр соответствовал тем элементам, для которых для всех x ; согласно вышесказанному, они явно соответствуют корням характеристического уравнения. Можно сделать вывод, что корни образуют пространство ранга r и что инварианты Казимира охватывают это пространство. То есть инварианты Казимира порождают центр ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle z\in Z({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(z)=0}$ ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}})).}$

Пример: Группа вращения SO(3)

Группа вращения SO(3) имеет ранг один, и, таким образом, имеет один оператор Казимира. Она трехмерна, и, таким образом, оператор Казимира должен иметь порядок (3 − 1) = 2, т.е. быть квадратичным. Конечно, это алгебра Ли В качестве элементарного упражнения можно вычислить это напрямую. Изменяя обозначение на с принадлежностью к присоединенному rep, общий элемент алгебры есть и прямое вычисление дает ${\displaystyle A_{1}.}$ ${\displaystyle e_{i}=L_{i},}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle xL_{1}+yL_{2}+zL_{3}}$

${\displaystyle \det \left(xL_{1}+yL_{2}+zL_{3}-tI\right)=-t^{3}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})t}$

Квадратичный член можно прочитать как , и поэтому оператор квадратичного углового момента для группы вращения — это оператор Казимира. То есть, ${\displaystyle \kappa ^{ij}=\delta ^{ij}}$

${\displaystyle C_{(2)}=L^{2}=e_{1}\otimes e_{1}+e_{2}\otimes e_{2}+e_{3}\otimes e_{3}}$

и явное вычисление показывает, что

${\displaystyle [L^{2},e_{k}]=0}$

после использования структурных констант

${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=\varepsilon _{ij}^{\;\;k}e_{k}}$

Пример: псевдодифференциальные операторы

Ключевым наблюдением при построении выше было то, что это была дифференциальная алгебра, в силу того факта, что любой вывод на алгебре Ли может быть поднят до . Таким образом, мы приходим к кольцу псевдодифференциальных операторов , из которого можно построить инварианты Казимира. ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Если алгебра Ли действует на пространстве линейных операторов, например, в теории Фредгольма , то можно построить инварианты Казимира на соответствующем пространстве операторов. Квадратичный оператор Казимира соответствует эллиптическому оператору . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Если алгебра Ли действует на дифференцируемом многообразии, то каждый оператор Казимира соответствует дифференциалу более высокого порядка на кокасательном многообразии, причем дифференциал второго порядка является наиболее распространенным и важным.

Если действие алгебры изометрично , как это было бы в случае римановых или псевдоримановых многообразий, наделенных метрикой и группами симметрии SO(N) и SO (P, Q) , соответственно, то можно свернуть верхние и нижние индексы (с метрическим тензором), чтобы получить более интересные структуры. Для квадратичного инварианта Казимира это лапласиан . Квартальные операторы Казимира позволяют возвести в квадрат тензор энергии-импульса , что приводит к действию Янга-Миллса . Теорема Коулмана–Мандулы ограничивает форму, которую они могут принимать, когда рассматриваются обычные алгебры Ли. Однако супералгебры Ли способны обойти предпосылки теоремы Коулмана–Мандулы и могут использоваться для смешивания пространственных и внутренних симметрий.

Примеры в частных случаях

Если , то он имеет базис матриц ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{2}}$

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\text{ }}E={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\text{ }}F={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

которые удовлетворяют следующим тождествам в стандартных скобках:

${\displaystyle [H,E]=-2E}$, , и ${\displaystyle [H,F]=2F}$ ${\displaystyle [E,F]=-H}$

это показывает нам, что универсальная обёртывающая алгебра имеет представление

${\displaystyle U({\mathfrak {sl}}_{2})={\frac {\mathbb {C} \langle x,y,z\rangle }{(xy-yx+2y,xz-zx-2z,yz-zy+x)}}}$

как некоммутативное кольцо.

Если абелева (то есть скобка всегда равна 0 ), то коммутативна; и если выбран базис векторного пространства , то может быть отождествлена ​​с алгеброй многочленов над K , с одной переменной на базисный элемент. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Если — алгебра Ли, соответствующая группе Ли G , то ее можно отождествить с алгеброй левоинвариантных дифференциальных операторов (всех порядков) на G ; причем лежащие внутри нее левоинвариантные векторные поля — дифференциальные операторы первого порядка. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Чтобы связать два приведенных выше случая: если — векторное пространство V как абелева алгебра Ли, то левоинвариантные дифференциальные операторы — это операторы с постоянными коэффициентами, которые на самом деле являются полиномиальной алгеброй по частным производным первого порядка. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Центр состоит из лево- и правоинвариантных дифференциальных операторов; в случае некоммутативности G он часто не порождается операторами первого порядка (см., например, оператор Казимира полупростой алгебры Ли). ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$

Другая характеристика в теории групп Ли — это алгебра свертки распределений , поддерживаемая только единичным элементом e группы G. ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Алгебра дифференциальных операторов от n переменных с полиномиальными коэффициентами может быть получена, начиная с алгебры Ли группы Гейзенберга . См. алгебру Вейля для этого; нужно взять фактор, так что центральные элементы алгебры Ли будут действовать как заданные скаляры.

Универсальная обертывающая алгебра конечномерной алгебры Ли является фильтрованной квадратичной алгеброй .

Алгебры Хопфа и квантовые группы

Построение групповой алгебры для данной группы во многом аналогично построению универсальной обертывающей алгебры для данной алгебры Ли. Обе конструкции универсальны и переводят теорию представлений в теорию модулей. Более того, как групповые алгебры, так и универсальные обертывающие алгебры несут естественные коумножения , которые превращают их в алгебры Хопфа . Это уточняется в статье о тензорной алгебре : тензорная алгебра имеет структуру алгебры Хопфа, и поскольку скобка Ли согласуется с этой структурой Хопфа (подчиняется условиям согласованности для нее), она наследуется универсальной обертывающей алгеброй.

Если задана группа Ли G , можно построить векторное пространство C( G ) непрерывных комплекснозначных функций на G и превратить его в C*-алгебру . Эта алгебра имеет естественную структуру алгебры Хопфа: если заданы две функции , то умножение определяется как ${\displaystyle \varphi ,\psi \in C(G)}$

${\displaystyle (\nabla (\varphi ,\psi ))(x)=\varphi (x)\psi (x)}$

и умножение как

${\displaystyle (\Delta (\varphi ))(x\otimes y)=\varphi (xy),}$

единица как

${\displaystyle \varepsilon (\varphi )=\varphi (e)}$

и антипод как

${\displaystyle (S(\varphi ))(x)=\varphi (x^{-1}).}$

Теперь теорема Гельфанда–Наймарка по сути утверждает, что каждая коммутативная алгебра Хопфа изоморфна алгебре Хопфа непрерывных функций на некоторой компактной топологической группе G — теория компактных топологических групп и теория коммутативных алгебр Хопфа — это одно и то же. Для групп Ли это означает, что C( G ) изоморфно двойственно ; точнее, оно изоморфно подпространству двойственного пространства ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U^{*}({\mathfrak {g}}).}$

Эти идеи затем можно распространить на некоммутативный случай. Начинаем с определения квазитреугольных алгебр Хопфа , а затем выполняем то, что называется квантовой деформацией , чтобы получить квантовую универсальную обертывающую алгебру , или квантовую группу , для краткости.

Смотрите также

• Теорема Милнора–Мура
• Гомоморфизм Хариша-Чандры

Ссылки

1. Холл 2015 Раздел 9.5
2. Холл 2015 Раздел 9.3
3. Перес-Искьердо, JM; Шестаков, ИП (2004). «Конверт для алгебр Мальцева». Журнал алгебры . 272 : 379–393. дои : 10.1016/s0021-8693(03)00389-2. hdl : 10338.dmlcz/140108 .
4. Перес-Искьердо, Х. М. (2005). «Оболочка для алгебр Бола». Журнал алгебры . 284 (2): 480–493. doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.09.038 .
5. Холл 2015 Теорема 9.7
6. Холл 2015 Теорема 9.10
7. Например, Хельгасон, 2001, Глава II, Раздел 1.
8. Helgason 2001 Глава II, Предложение 1.9
9. Березин, ФА (1967). "Некоторые замечания об ассоциированной оболочке алгебры Ли". Funct. Anal. Appl . 1 (2): 91. doi :10.1007/bf01076082. S2CID  122356554.
10. Ксавье Бекарт, «Универсальные обертывающие алгебры и некоторые приложения в физике» (2005) Лекция, Летняя школа Модава по математической физике .

• Диксмье, Жак (1996) [1974], Обертывающие алгебры, Graduate Studies in Mathematics , т. 11, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0560-2, МР  0498740
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Graduate Studies in Mathematics, т. 34, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , doi : 10.1090/gsm/034, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR  1834454, S2CID  120016227
• Муссон, Ян М. (2012), Супералгебры Ли и обертывающие алгебры, Graduate Studies in Mathematics, т. 131, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-6867-6, ЗБЛ  1255.17001
• Шломо Штернберг (2004), Алгебры Ли , Гарвардский университет.
• Универсальная обертывающая алгебра в n Lab