теория Фредгольма

В математике теория Фредгольма — это теория интегральных уравнений . В самом узком смысле теория Фредгольма занимается решением интегрального уравнения Фредгольма . В более широком смысле абстрактная структура теории Фредгольма задается в терминах спектральной теории операторов Фредгольма и ядер Фредгольма в гильбертовом пространстве . Теория названа в честь Эрика Ивара Фредгольма .

Обзор

В следующих разделах дается беглый набросок места теории Фредгольма в более широком контексте теории операторов и функционального анализа . Представленный здесь набросок является общим, тогда как сложность формализации этого наброска, конечно, заключается в деталях.

Уравнение Фредгольма первого рода

Большая часть теории Фредгольма касается следующего интегрального уравнения для f, когда g и K заданы:

${\displaystyle g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy.}$

Это уравнение естественным образом возникает во многих задачах физики и математики как обратное дифференциальному уравнению . То есть, требуется решить дифференциальное уравнение

${\displaystyle Lg(x)=f(x)}$

где функция f задана, а g неизвестна. Здесь L обозначает линейный дифференциальный оператор .

Например, можно взять L как эллиптический оператор , такой как

${\displaystyle L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\,}$

в этом случае решаемое уравнение становится уравнением Пуассона .

Общим методом решения таких уравнений является использование функций Грина , а именно, вместо прямого подхода сначала находится функция, такая что для заданной пары x, y , ${\displaystyle K=K(x,y)}$

${\displaystyle LK(x,y)=\delta (x-y),}$

где δ ( x ) — дельта-функция Дирака .

Искомое решение приведенного выше дифференциального уравнения затем записывается в виде интеграла в форме интегрального уравнения Фредгольма ,

${\displaystyle g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy.}$

Функция K ( x,y ) известна также как функция Грина или ядро ​​интеграла . Иногда ее называют ядром интеграла, откуда и возникает термин ядерный оператор .

В общей теории x и y могут быть точками на любом многообразии ; вещественной числовой прямой или m -мерном евклидовом пространстве в простейших случаях. Общая теория также часто требует, чтобы функции принадлежали некоторому заданному функциональному пространству : часто изучается пространство квадратично интегрируемых функций , и часто появляются пространства Соболева .

Фактическое используемое функциональное пространство часто определяется решениями задачи на собственные значения дифференциального оператора, то есть решениями

${\displaystyle L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)}$

где ω _n — собственные значения, а ψ _n ( x ) — собственные векторы. Множество собственных векторов охватывает банахово пространство , и, когда есть естественное скалярное произведение , то собственные векторы охватывают гильбертово пространство , в этой точке применяется теорема Рисса о представлении . Примерами таких пространств являются ортогональные многочлены , которые встречаются как решения класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка .

Учитывая гильбертово пространство, как указано выше, ядро ​​можно записать в виде

${\displaystyle K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n}}}.}$

В этой форме объект K ( x,y ) часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма . То, что это то же самое ядро, что и прежде, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно, что имеется

${\displaystyle \delta (x-y)=\sum _{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y).}$

Поскольку ω _n обычно увеличиваются, результирующие собственные значения оператора K ( x,y ) стремятся к нулю.

Неоднородные уравнения

Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма

${\displaystyle f(x)=-\omega \varphi (x)+\int K(x,y)\varphi (y)\,dy}$

формально можно записать как

${\displaystyle f=(K-\omega )\varphi }$

которая имеет формальное решение

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{K-\omega }}f.}$

Решение такого вида называется резольвентным формализмом , где резольвента определяется как оператор

${\displaystyle R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}.}$

Учитывая набор собственных векторов и собственных значений K , резольвенте можно придать конкретную форму:

${\displaystyle R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n}-\omega }}}$

с решением, которое является

${\displaystyle \varphi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy.}$

Необходимым и достаточным условием существования такого решения является одна из теорем Фредгольма . Резольвента обычно разлагается по степеням , в этом случае она известна как ряд Лиувилля-Неймана . В этом случае интегральное уравнение записывается как ${\displaystyle \lambda =1/\omega }$

${\displaystyle g(x)=\varphi (x)-\lambda \int K(x,y)\varphi (y)\,dy}$

а резольвента записывается в альтернативной форме как

${\displaystyle R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}.}$

определитель Фредгольма

Определитель Фредгольма обычно определяется как

${\displaystyle \det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatorname {Tr} \,K^{n}\right]}$

где

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,K=\int K(x,x)\,dx}$

и

${\displaystyle \operatorname {Tr} \,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy}$

и т. д. Соответствующая дзета-функция —

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK)}}.}$

Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты .

Дзета-функция играет важную роль в изучении динамических систем . Обратите внимание, что это тот же самый общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана ; однако в этом случае соответствующее ядро ​​неизвестно. Существование такого ядра известно как гипотеза Гильберта–Полиа .

Основные результаты

Классическими результатами теории являются теоремы Фредгольма , одной из которых является альтернатива Фредгольма .

Одним из важных результатов общей теории является то, что ядро ​​является компактным оператором , когда пространство функций равностепенно непрерывно .

Связанный с этим знаменитый результат — теорема Атьи–Зингера об индексе , касающаяся индекса (dim ker – dim coker) эллиптических операторов на компактных многообразиях .

История

Статья Фредгольма 1903 года в Acta Mathematica считается одной из главных вех в создании теории операторов . Давид Гильберт разработал абстракцию гильбертова пространства в связи с исследованиями интегральных уравнений, на которые его вдохновила (помимо прочего) работа Фредгольма.

Смотрите также

• Функции Грина
• Спектральная теория
• альтернатива Фредхольма

Ссылки

• Фредхольм, Э.И. (1903). «Sur une classe d'equations fonctionnelles» (PDF) . Акта Математика . 27 : 365–390. дои : 10.1007/bf02421317 .
• Edmunds, DE; Evans, WD (1987). Спектральная теория и дифференциальные операторы . Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
• Б.В. Хведелидзе, Г.Л. Литвинов (2001) [1994], "Ядро Фредгольма", Энциклопедия математики , Издательство EMS Press
• Драйвер, Брюс К. «Компактные и фредгольмовы операторы и спектральная теорема» (PDF) . Инструменты анализа с приложениями . стр. 579–600.
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.). Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN 0-8053-7002-1.
• МакОуэн, Роберт С. (1980). «Теория Фредгольма уравнений с частными производными на полных римановых многообразиях». Pacific J. Math . 87 (1): 169–185. doi : 10.2140/pjm.1980.87.169 . Zbl  0457.35084.