Ортогональные многочлены

Набор многочленов, где любые два ортогональны друг другу

В математике ортогональная полиномиальная последовательность — это семейство полиномов, такое, что любые два различных полинома в последовательности ортогональны друг другу при некотором внутреннем произведении .

Наиболее широко используемые ортогональные многочлены — это классические ортогональные многочлены , состоящие из многочленов Эрмита , многочленов Лагерра и многочленов Якоби . Многочлены Гегенбауэра образуют важнейший класс многочленов Якоби; они включают многочлены Чебышева и многочлены Лежандра как частные случаи.

Область ортогональных многочленов развилась в конце 19 века из изучения непрерывных дробей П. Л. Чебышёвым и была продолжена А. А. Марковым и Т. Дж. Стилтьесом . Они появляются в самых разных областях: численный анализ ( квадратурные правила ), теория вероятностей , теория представлений ( групп Ли , квантовых групп и связанных с ними объектов), перечислительная комбинаторика , алгебраическая комбинаторика , математическая физика (теория случайных матриц , интегрируемых систем и т. д.) и теория чисел . Некоторые из математиков, которые работали над ортогональными многочленами, включают Габор Сегё , Сергей Бернштейн , Наум Ахиезер , Артур Эрдейи , Яков Геронимус , Вольфганг Хан , Теодор Сейо Чихара , Мурад Исмаил , Валид Аль-Салам , Ричард Аски и Реуэль Лобатто .

Определение для случая 1 переменной для действительной меры

Для любой неубывающей функции α на действительных числах мы можем определить интеграл Лебега–Стилтьеса функции f . Если этот интеграл конечен для всех многочленов f , мы можем определить скалярное произведение пар многочленов f и g следующим образом: $${\displaystyle \int f(x)\,d\alpha (x)}$$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int f(x)g(x)\,d\alpha (x).}$$

Эта операция является положительным полуопределенным скалярным произведением на векторном пространстве всех многочленов и положительно определена, если функция α имеет бесконечное число точек роста. Она индуцирует понятие ортогональности обычным способом, а именно, что два многочлена ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю.

Тогда последовательность ( P _n )^∞
_{н =0}ортогональных многочленов определяется соотношениями $${\displaystyle \deg P_{n}=n~,\quad \langle P_{m},\,P_{n}\rangle =0\quad {\text{for}}\quad m\neq n~.}$$

Другими словами, последовательность получается из последовательности мономов 1, x , x2 ^, … с помощью процесса Грама–Шмидта относительно этого внутреннего произведения.

Обычно требуется, чтобы последовательность была ортонормальной , а именно, однако иногда используются и другие нормализации. $${\displaystyle \langle P_{n},P_{n}\rangle =1,}$$

Абсолютно непрерывный случай

Иногда мы имеем где — неотрицательная функция с носителем на некотором интервале [ x ₁ , x ₂ ] в действительной оси (где x ₁  = −∞ и x ₂ = ∞ допускаются). Такая W называется весовой функцией . ^[1] Тогда скалярное произведение задается как Однако существует много примеров ортогональных многочленов, где мера dα ( x ) имеет точки с ненулевой мерой, где функция α разрывна, поэтому не может быть задана весовой функцией W, как указано выше. $${\displaystyle d\alpha (x)=W(x)\,dx}$$ $${\displaystyle W:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R} }$$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\,dx.}$$

Примеры ортогональных многочленов

Наиболее часто используемые ортогональные многочлены являются ортогональными для меры с носителем в действительном интервале. Это включает в себя:

• Классические ортогональные многочлены ( многочлены Якоби , многочлены Лагерра , многочлены Эрмита и их частные случаи многочлены Гегенбауэра , многочлены Чебышёва и многочлены Лежандра ).
• Полиномы Вильсона , которые обобщают полиномы Якоби. Они включают в себя множество ортогональных полиномов как частные случаи, такие как полиномы Мейкснера–Поллачека , непрерывные полиномы Хана , непрерывные дуальные полиномы Хана и классические полиномы, описываемые схемой Аски
• Полиномы Аски–Уилсона вводят дополнительный параметр q в полиномы Уилсона.

Дискретные ортогональные многочлены ортогональны относительно некоторой дискретной меры. Иногда мера имеет конечный носитель, в этом случае семейство ортогональных многочленов конечно, а не бесконечная последовательность. Многочлены Рака являются примерами дискретных ортогональных многочленов и включают в себя как частные случаи многочлены Хана и двойственные многочлены Хана , которые в свою очередь включают в себя как частные случаи многочлены Мейкснера , многочлены Кравчука и многочлены Шарлье .

Мейкснер классифицировал все ортогональные последовательности Шеффера : есть только Эрмит, Лагерр, Шарлье, Мейкснер и Мейкснер–Поллачек. В некотором смысле Кравчук тоже должен быть в этом списке, но они являются конечной последовательностью. Эти шесть семейств соответствуют NEF-QVF и являются мартингальными полиномами для определенных процессов Леви .

Просеянные ортогональные многочлены , такие как просеянные ультрасферические многочлены , просеянные многочлены Якоби и просеянные многочлены Поллачека , имеют модифицированные рекуррентные соотношения.

Можно также рассмотреть ортогональные многочлены для некоторой кривой в комплексной плоскости. Наиболее важным случаем (помимо действительных интервалов) является случай, когда кривая является единичной окружностью, что дает ортогональные многочлены на единичной окружности , такие как многочлены Роджерса–Сегё .

Существуют некоторые семейства ортогональных многочленов, которые ортогональны на плоских областях, таких как треугольники или диски. Иногда их можно записать в терминах многочленов Якоби. Например, многочлены Цернике ортогональны на единичном круге.

Преимущество ортогональности между различными порядками полиномов Эрмита применяется к структуре обобщенного частотного мультиплексирования (GFDM). В каждой сетке частотно-временной решетки может быть передано более одного символа. ^[2]

Характеристики

Ортогональные многочлены одной переменной, определяемые неотрицательной мерой на действительной прямой, обладают следующими свойствами.

Отношение к моментам

Ортогональные многочлены P _n можно выразить через моменты

${\displaystyle m_{n}=\int x^{n}\,d\alpha (x)}$

следующее:

${\displaystyle P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,}$

где константы c _n произвольны (зависят от нормировки P _n ).

Это происходит непосредственно из применения процесса Грама-Шмидта к мономам, навязывая каждому полиному ортогональность по отношению к предыдущим. Например, ортогональность с предписывает, что должна иметь форму , которая, как можно видеть, согласуется с ранее данным выражением с определителем. ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ $${\displaystyle P_{1}(x)=c_{1}\left(x-{\frac {\langle P_{0},x\rangle P_{0}}{\langle P_{0},P_{0}\rangle }}\right)=c_{1}(x-m_{1}),}$$

Рекуррентное соотношение

Полиномы P _n удовлетворяют рекуррентному соотношению вида

${\displaystyle P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)}$

где A _n не равно 0. Обратное также верно; см. теорему Фавара .

Формула Кристоффеля–Дарбу

Нули

Если мера d α поддерживается на интервале [ a ,  b ], все нули P _n лежат в [ a ,  b ]. Более того, нули обладают следующим свойством чередования: если m  <  n , то между любыми двумя нулями  P _m находится ноль P _n . Можно дать электростатические интерпретации нулей. ^{[ необходима цитата ]}

Комбинаторная интерпретация

Начиная с 1980-х годов, благодаря работам XG Viennot, J. Labelle, Y.-N. Yeh, D. Foata и других, были найдены комбинаторные интерпретации для всех классических ортогональных многочленов. ^[3]

Другие типы ортогональных многочленов

Многомерные ортогональные многочлены

Полиномы Макдональда являются ортогональными полиномами нескольких переменных, зависящими от выбора аффинной корневой системы. Они включают в себя многие другие семейства многомерных ортогональных полиномов как частные случаи, включая полиномы Джека , полиномы Холла–Литтлвуда , полиномы Хекмана–Опдама и полиномы Коорнвиндера . Полиномы Аски–Уилсона являются частным случаем полиномов Макдональда для определенной нередуцированной корневой системы ранга 1.

Множественные ортогональные многочлены

Множественные ортогональные многочлены — это многочлены от одной переменной, которые ортогональны относительно конечного семейства мер.

Ортогональные многочлены Соболева

Это ортогональные многочлены относительно внутреннего произведения Соболева , т.е. внутреннего произведения с производными. Включение производных имеет большие последствия для многочленов, в общем случае они больше не разделяют некоторые из хороших особенностей классических ортогональных многочленов.

Ортогональные многочлены с матрицами

Ортогональные многочлены с матрицами имеют либо коэффициенты, являющиеся матрицами, либо неопределенность является матрицей.

Вот два популярных примера: либо коэффициенты являются матрицами, либо : ${\displaystyle \{a_{i}\}}$ ${\displaystyle x}$

• Вариант 1: , где — матрицы. ${\displaystyle P(x)=A_{n}x^{n}+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots +A_{1}x+A_{0}}$ ${\displaystyle \{A_{i}\}}$ ${\displaystyle p\times p}$
• Вариант 2: где — матрица , а — единичная матрица. ${\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}I_{p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\times p}$ ${\displaystyle I_{p}}$

Квантовые полиномы

Квантовые полиномы или q-полиномы являются q-аналогами ортогональных полиномов.

Смотрите также

• последовательность Аппеля
• Схема Аски гипергеометрических ортогональных многочленов
• Теорема Фавара
• Полиномиальные последовательности биномиального типа
• Биортогональные полиномы
• Обобщенный ряд Фурье
• Вторичная мера
• последовательность Шеффера
• Теория Штурма–Лиувилля
• Умбральное исчисление
• Асимптотика Планшереля–Ротаха

Ссылки

1. Демонстрация ортонормированных полиномов, полученных для различных весовых функций
2. Catak, E.; Durak-Ata, L. (2017). «Эффективная конструкция трансивера для наложенных волновых форм с ортогональными полиномами». 2017 IEEE Международная Черноморская конференция по коммуникациям и сетям (BlackSeaCom) . стр. 1–5. doi :10.1109/BlackSeaCom.2017.8277657. ISBN 978-1-5090-5049-9. S2CID  22592277.
3. Вьеннот, Ксавье (2017). «Искусство биективной комбинаторики, часть IV, Комбинаторная теория ортогональных многочленов и непрерывных дробей». Ченнаи: IMSc.

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• Чихара, Теодор Сейо (1978). Введение в ортогональные многочлены . Гордон и Брич, Нью-Йорк. ISBN 0-677-04150-0.
• Chihara, Theodore Seio (2001). "45 лет ортогональных многочленов: взгляд из-за кулис". Труды Пятого международного симпозиума по ортогональным многочленам, специальным функциям и их приложениям (Патры, 1999). Журнал вычислительной и прикладной математики . 133 (1): 13–21. Bibcode : 2001JCoAM.133...13C. doi : 10.1016/S0377-0427(00)00632-4 . ISSN  0377-0427. MR  1858267.
• Фонканнон, Дж. Дж.; Фонканнон, Дж. Дж.; Пеконен, Осмо (2008). «Обзор классических и квантовых ортогональных полиномов с одной переменной Мурада Исмаила». The Mathematical Intelligencer . 30 . Springer New York: 54–60. doi :10.1007/BF02985757. ISSN  0343-6993. S2CID  118133026.
• Исмаил, Мурад Э. Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные многочлены с одной переменной. Кембридж: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-78201-5.
• Джексон, Данхэм (2004) [1941]. Ряды Фурье и ортогональные многочлены . Нью-Йорк: Довер. ISBN 0-486-43808-2.
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Ортогональные многочлены", в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• «Ортогональные многочлены», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Сегё, Габор (1939). Ортогональные многочлены. Colloquium Publications. Том XXIII. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1023-1. МР  0372517.
• Totik, Vilmos (2005). «Ортогональные многочлены». Обзоры по теории приближений . 1 : 70–125. arXiv : math.CA/0512424 .
• К. Чан, А. Миронов, А. Морозов, А. Слепцов, arXiv :1712.03155.