Полиномиальная последовательность
График функции полинома Якоби с и и в комплексной плоскости от до с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D П н ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\альфа,\бета)}} н = 10 {\displaystyle n=10} α = 2 {\displaystyle \альфа =2} β = 2 {\displaystyle \бета =2} − 2 − 2 я {\displaystyle -2-2i} 2 + 2 я {\displaystyle 2+2i} В математике многочлены Якоби (иногда называемые гипергеометрическими многочленами )
представляют собой класс классических ортогональных многочленов . Они ортогональны относительно веса на интервале . Многочлены Гегенбауэра , а также многочлены Лежандра , Цернике и Чебышева являются частными случаями многочленов Якоби. [1] П н ( α , β ) ( х ) {\displaystyle P_{n}^{(\альфа,\бета)}(x)} ( 1 − х ) α ( 1 + х ) β {\displaystyle (1-x)^{\альфа}(1+x)^{\бета}} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]}
Многочлены Якоби были введены Карлом Густавом Якоби .
Определения
Через гипергеометрическую функцию Полиномы Якоби определяются через гипергеометрическую функцию следующим образом: [2]
П н ( α , β ) ( з ) = ( α + 1 ) н н ! 2 Ф 1 ( − н , 1 + α + β + н ; α + 1 ; 1 2 ( 1 − з ) ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),} где — символ Похгаммера (для убывающего факториала). В этом случае ряд для гипергеометрической функции конечен, поэтому получается следующее эквивалентное выражение: ( α + 1 ) н {\displaystyle (\альфа +1)_{n}}
П н ( α , β ) ( з ) = Г ( α + н + 1 ) н ! Г ( α + β + н + 1 ) ∑ м = 0 н ( н м ) Г ( α + β + н + м + 1 ) Г ( α + м + 1 ) ( з − 1 2 ) м . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.}
Формула Родригеса Эквивалентное определение дается формулой Родригеса : [1] [3]
П н ( α , β ) ( з ) = ( − 1 ) н 2 н н ! ( 1 − з ) − α ( 1 + з ) − β г н г з н { ( 1 − з ) α ( 1 + з ) β ( 1 − з 2 ) н } . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}.} Если , то он сводится к полиномам Лежандра : α = β = 0 {\displaystyle \альфа =\бета =0}
П н ( з ) = 1 2 н н ! г н г з н ( з 2 − 1 ) н . {\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2 }-1)^{n}\;.}
Альтернативное выражение для реального аргумента Для вещественного числа полином Якоби можно альтернативно записать как х {\displaystyle x}
П н ( α , β ) ( х ) = ∑ с = 0 н ( н + α н − с ) ( н + β с ) ( х − 1 2 ) с ( х + 1 2 ) н − с {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose ns}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{ns}} и для целого числа н {\displaystyle n}
( з н ) = { Г ( з + 1 ) Г ( н + 1 ) Г ( з − н + 1 ) н ≥ 0 0 н < 0 {\displaystyle {z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}} где - гамма-функция . Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)}
В частном случае, когда четыре величины , , ,
являются неотрицательными целыми числами, многочлен Якоби можно записать как n {\displaystyle n} n + α {\displaystyle n+\alpha } n + β {\displaystyle n+\beta } n + α + β {\displaystyle n+\alpha +\beta }
Сумма распространяется на все целые значения, для которых аргументы факториалов неотрицательны. s {\displaystyle s}
Особые случаи P 0 ( α , β ) ( z ) = 1 , {\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,} P 1 ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) + ( α + β + 2 ) z − 1 2 , {\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2){\frac {z-1}{2}},} P 2 ( α , β ) ( z ) = ( α + 1 ) ( α + 2 ) 2 + ( α + 2 ) ( α + β + 3 ) z − 1 2 + ( α + β + 3 ) ( α + β + 4 ) 2 ( z − 1 2 ) 2 . {\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}+(\alpha +2)(\alpha +\beta +3){\frac {z-1}{2}}+{\frac {(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)}{2}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{2}.}
Основные свойства
Ортогональность Полиномы Якоби удовлетворяют условию ортогональности
∫ − 1 1 ( 1 − x ) α ( 1 + x ) β P m ( α , β ) ( x ) P n ( α , β ) ( x ) d x = 2 α + β + 1 2 n + α + β + 1 Γ ( n + α + 1 ) Γ ( n + β + 1 ) Γ ( n + α + β + 1 ) n ! δ n m , α , β > − 1. {\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},\qquad \alpha ,\ \beta >-1.} По определению, они не имеют единичной нормы относительно веса. Это можно исправить, разделив на квадратный корень правой части уравнения выше, когда . n = m {\displaystyle n=m}
Хотя это и не дает ортонормированного базиса, альтернативная нормализация иногда предпочтительнее из-за ее простоты:
P n ( α , β ) ( 1 ) = ( n + α n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}
Симметричное отношение Полиномы имеют соотношение симметрии
P n ( α , β ) ( − z ) = ( − 1 ) n P n ( β , α ) ( z ) ; {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);} таким образом, другое конечное значение равно
P n ( α , β ) ( − 1 ) = ( − 1 ) n ( n + β n ) . {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}
Производные Производная явного выражения приводит к k {\displaystyle k}
d k d z k P n ( α , β ) ( z ) = Γ ( α + β + n + 1 + k ) 2 k Γ ( α + β + n + 1 ) P n − k ( α + k , β + k ) ( z ) . {\displaystyle {\frac {d^{k}}{dz^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}
Дифференциальное уравнение Полином Якоби является решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка [1] P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}
( 1 − x 2 ) y ″ + ( β − α − ( α + β + 2 ) x ) y ′ + n ( n + α + β + 1 ) y = 0. {\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.}
Рекуррентные соотношения Рекуррентное соотношение для полиномов Якоби фиксированного , имеет вид: [1] α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta }
2 n ( n + α + β ) ( 2 n + α + β − 2 ) P n ( α , β ) ( z ) = ( 2 n + α + β − 1 ) { ( 2 n + α + β ) ( 2 n + α + β − 2 ) z + α 2 − β 2 } P n − 1 ( α , β ) ( z ) − 2 ( n + α − 1 ) ( n + β − 1 ) ( 2 n + α + β ) P n − 2 ( α , β ) ( z ) , {\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z),\end{aligned}}} для . Написание для краткости , и , это становится в терминах n = 2 , 3 , … {\displaystyle n=2,3,\ldots } a := n + α {\displaystyle a:=n+\alpha } b := n + β {\displaystyle b:=n+\beta } c := a + b = 2 n + α + β {\displaystyle c:=a+b=2n+\alpha +\beta } a , b , c {\displaystyle a,b,c}
2 n ( c − n ) ( c − 2 ) P n ( α , β ) ( z ) = ( c − 1 ) { c ( c − 2 ) z + ( a − b ) ( c − 2 n ) } P n − 1 ( α , β ) ( z ) − 2 ( a − 1 ) ( b − 1 ) c P n − 2 ( α , β ) ( z ) . {\displaystyle 2n(c-n)(c-2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(c-1){\Big \{}c(c-2)z+(a-b)(c-2n){\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(a-1)(b-1)c\;P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z).} Поскольку многочлены Якоби могут быть описаны в терминах гипергеометрической функции, рекуррентные соотношения гипергеометрической функции дают эквивалентные рекуррентные соотношения многочленов Якоби. В частности, граничные соотношения Гаусса соответствуют тождествам
( z − 1 ) d d z P n ( α , β ) ( z ) = 1 2 ( z − 1 ) ( 1 + α + β + n ) P n − 1 ( α + 1 , β + 1 ) = n P n ( α , β ) − ( α + n ) P n − 1 ( α , β + 1 ) = ( 1 + α + β + n ) ( P n ( α , β + 1 ) − P n ( α , β ) ) = ( α + n ) P n ( α − 1 , β + 1 ) − α P n ( α , β ) = 2 ( n + 1 ) P n + 1 ( α , β − 1 ) − ( z ( 1 + α + β + n ) + α + 1 + n − β ) P n ( α , β ) 1 + z = ( 2 β + n + n z ) P n ( α , β ) − 2 ( β + n ) P n ( α , β − 1 ) 1 + z = 1 − z 1 + z ( β P n ( α , β ) − ( β + n ) P n ( α + 1 , β − 1 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(z-1){\frac {d}{dz}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {1}{2}}(z-1)(1+\alpha +\beta +n)P_{n-1}^{(\alpha +1,\beta +1)}\\&=nP_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\alpha +n)P_{n-1}^{(\alpha ,\beta +1)}\\&=(1+\alpha +\beta +n)\left(P_{n}^{(\alpha ,\beta +1)}-P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\right)\\&=(\alpha +n)P_{n}^{(\alpha -1,\beta +1)}-\alpha P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\\&={\frac {2(n+1)P_{n+1}^{(\alpha ,\beta -1)}-\left(z(1+\alpha +\beta +n)+\alpha +1+n-\beta \right)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{1+z}}\\&={\frac {(2\beta +n+nz)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-2(\beta +n)P_{n}^{(\alpha ,\beta -1)}}{1+z}}\\&={\frac {1-z}{1+z}}\left(\beta P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\beta +n)P_{n}^{(\alpha +1,\beta -1)}\right)\,.\end{aligned}}}
Производящая функция Производящая функция полиномов Якоби определяется выражением
∑ n = 0 ∞ P n ( α , β ) ( z ) t n = 2 α + β R − 1 ( 1 − t + R ) − α ( 1 + t + R ) − β , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)t^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-t+R)^{-\alpha }(1+t+R)^{-\beta },} где
R = R ( z , t ) = ( 1 − 2 z t + t 2 ) 1 2 , {\displaystyle R=R(z,t)=\left(1-2zt+t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}~,} и ветвь квадратного корня выбирается так, что . [1] R ( z , 0 ) = 1 {\displaystyle R(z,0)=1}
Асимптотика полиномов Якоби Для внутри асимптотика при больших дается формулой Дарбу [1] x {\displaystyle x} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} P n ( α , β ) {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}} n {\displaystyle n}
P n ( α , β ) ( cos θ ) = n − 1 2 k ( θ ) cos ( N θ + γ ) + O ( n − 3 2 ) , {\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=n^{-{\frac {1}{2}}}k(\theta )\cos(N\theta +\gamma )+O\left(n^{-{\frac {3}{2}}}\right),} где
k ( θ ) = π − 1 2 sin − α − 1 2 θ 2 cos − β − 1 2 θ 2 , N = n + 1 2 ( α + β + 1 ) , γ = − π 2 ( α + 1 2 ) , 0 < θ < π {\displaystyle {\begin{aligned}k(\theta )&=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin ^{-\alpha -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}}\cos ^{-\beta -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}},\\N&=n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),\\\gamma &=-{\tfrac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\tfrac {1}{2}}\right),\\0<\theta &<\pi \end{aligned}}} и " " член равномерен на интервале для каждого . O {\displaystyle O} [ ε , π − ε ] {\displaystyle [\varepsilon ,\pi -\varepsilon ]} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0}
Асимптотика полиномов Якоби вблизи точек дается формулой Мелера–Гейне ± 1 {\displaystyle \pm 1}
lim n → ∞ n − α P n ( α , β ) ( cos ( z n ) ) = ( z 2 ) − α J α ( z ) lim n → ∞ n − β P n ( α , β ) ( cos ( π − z n ) ) = ( z 2 ) − β J β ( z ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left({\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left(\pi -{\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)\end{aligned}}} где пределы равномерны для в ограниченной области . z {\displaystyle z}
Асимптотика снаружи менее очевидна. [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]}
Приложения
d-матрица Вигнера Выражение ( 1 ) позволяет выразить d-матрицу Вигнера (для ) через полиномы Якоби: [4] d m ′ , m j ( ϕ ) {\displaystyle d_{m',m}^{j}(\phi )} 0 ≤ ϕ ≤ 4 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }
d m ′ m j ( ϕ ) = ( − 1 ) m − m ′ − | m − m ′ | 2 [ ( j + M ) ! ( j − M ) ! ( j + N ) ! ( j − N ) ! ] 1 2 ( sin ϕ 2 ) | m − m ′ | ( cos ϕ 2 ) | m + m ′ | P j − m ( | m − m ′ | , | m + m ′ | ) ( cos ϕ ) , {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {m-m'-|m-m'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(j-M)!}{(j+N)!(j-N)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m-m'|}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{j-m}^{(|m-m'|,|m+m'|)}(\cos \phi ),}
где . M = max ( | m | , | m ′ | ) , N = min ( | m | , | m ′ | ) {\displaystyle M=\max(|m|,|m'|),N=\min(|m|,|m'|)}
Смотрите также
Примечания ^ abcdef Szegő, Gábor (1939). "IV. Многочлены Якоби". Ортогональные многочлены. Colloquium Publications. Vol. XXIII. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1023-1 ^ Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия "Прикладная математика". Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 561. ISBN 978-0-486-61272-0 ^ П.К. Суетин (2001) [1994], "Многочлены Якоби", Энциклопедия математики , EMS Press ^ Биденхарн, Л. К.; Лоук, Дж. Д. (1981). Угловой момент в квантовой физике . Чтение: Эддисон-Уэсли.
Дальнейшее чтение Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции , Энциклопедия математики и ее приложений, т. 71, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-62321-6 ISBN 978-0-521-78988-2 Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), «Ортогональные многочлены», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions 978-0-521-19225-5
Внешние ссылки
_with_n=10_and_a=2_and_b=2_in_the_complex_plane_from_-2-2i_to_2+2i_with_colors_created_with_Mathematica_13.1_function_ComplexPlot3D.svg/1280px-thumbnail.svg.png)
![{\displaystyle [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e3b7f14a6f70e614728c583409a0b9a8b9de01)
![{\displaystyle [\varepsilon,\pi -\varepsilon]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2aec0a4485c35292703c489dbe3b0374cac6edc)
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {mm'-|mm'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(jM)!}{(j+N)!(jN)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|mm'|}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{jm}^{(|mm'|,|m+m'|)}(\cos \phi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0cacbe3835ed68a78b6056b3e33bbc611e93b8b)
