stringtranslate.com

Домен (математический анализ)

В математическом анализе область или область представляет собой непустое связное открытое множество в топологическом пространстве , в частности любое непустое связное открытое подмножество реального координатного пространства R n или комплексного координатного пространства C n . Связное открытое подмножество координатного пространства часто используется для определения области определения функции , но в целом функции могут быть определены на множествах, которые не являются топологическими пространствами.

Основная идея связанного подмножества пространства восходит к 19 веку, но точные определения немного различаются от поколения к поколению, от автора к автору и от издания к изданию, поскольку концепции развивались, а термины переводились между немецкими, французскими и английскими произведениями. . В английском языке некоторые авторы используют термин « домен» , [1] некоторые используют термин « регион» , [2] некоторые используют оба термина как синонимы, [3] а некоторые определяют эти два термина немного по-разному; [4] некоторые избегают двусмысленности, придерживаясь такой фразы, как « непустое связное открытое подмножество» . [5]

Конвенции

Одним из общепринятых соглашений является определение домена как связного открытого множества, а региона — как объединения доменов, не имеющих ни одной, некоторых или всех своих предельных точек . [6] Закрытая область или закрытая область — это объединение области и всех ее предельных точек.

Различные степени гладкости границы области необходимы для выполнения различных свойств функций, определенных в области, таких как интегральные теоремы ( теорема Грина , теорема Стокса ), свойства пространств Соболева , а также для определения мер на границе и пространствах. следов (обобщенных функций , определенных на границе). Обычно рассматриваемыми типами областей являются области с непрерывной границей, липшицевой границей , границей C 1 и т. д.

Ограниченная область или ограниченная область — это то, что представляет собой ограниченное множество , т. е. имеет конечную меру . Внешняя область или внешняя область — это внутренняя часть дополнения к ограниченной области.

В комплексном анализе комплексная область (или просто область ) — это любое связное открытое подмножество комплексной плоскости C. Например, вся комплексная плоскость является областью, как и открытый единичный диск , открытая верхняя полуплоскость и т. д. Часто комплексная область служит областью определения голоморфной функции . При изучении нескольких комплексных переменных определение области расширяется и включает в себя любое связное открытое подмножество Cn .

В евклидовых пространствах протяженность одно-, двух- и трехмерных областей называются соответственно длиной , площадью и объемом .

Исторические заметки

Определение . Открытое множество называется связным, если его нельзя выразить в виде суммы двух открытых множеств. Открытое связное множество называется доменом.

Немецкий : Eine offene Punktmenge heißt zusammenhängend, wenn man sie nicht als Summe von zwei offenen Punktmengen darstellen kann. Eine offene zusammenhängende Punktmenge heißt ein Gebiet.

-  Константин Каратеодори , (Каратеодори, 1918, стр. 222)

По мнению Ганса Хана , [7] понятие области как открытого связного множества было введено Константином Каратеодори в его знаменитой книге (Carathéodory 1918). В этом определении Каратеодори рассматривает заведомо непустые непересекающиеся множества . Хан также отмечает, что слово « Gebiet » (« Домен ») ранее иногда использовалось как синоним открытого множества . [8] Грубая концепция старше. В XIX и начале XX века термины « домен» и « регион» часто использовались неофициально (иногда как синонимы) без явного определения. [9]

Однако термин «домен» иногда использовался для обозначения тесно связанных, но несколько разных понятий. Например, в своих влиятельных монографиях по эллиптическим уравнениям в частных производных Карло Миранда использует термин «регион» для обозначения открытого связного множества [10] [11] и оставляет термин «область» для обозначения внутренне связного множества [12] совершенное множество , каждая точка которого является точкой накопления внутренних точек, [10] вслед за своим бывшим учителем Мауро Пиконе : [13] согласно этому соглашению, если множество A является областью, то его замыкание A является областью. [10]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Например (Свешников и Тихонов 1978, §1.3, стр. 21–22).
  2. ^ Например (Черчилль 1948, §1.9, стр. 16–17); (Альфорс 1953, §2.2, стр. 58); (Рудин 1974, §10.1, стр. 213) оставляет термин область определения для области определения функции; (Carathéodory 1964, стр. 97) использует термин « регион» для обозначения связного открытого множества и термин « континуум» для связного закрытого множества.
  3. ^ Например (Таунсенд 1915, §10, стр. 20); (Кэрриер, Крук и Пирсон, 1966, §2.2, стр. 32).
  4. ^ Например (Черчилль 1960, §1.9, стр. 17), который не требует, чтобы регион был подключен или открыт.
  5. ^ Например (Dieudonné 1960, §3.19, стр. 64–67) обычно использует фразу « открытое связное множество» , но позже определяет односвязную область (§9.7, стр. 215); Тао, Теренс (2016). «246А, Примечания 2: сложная интеграция».Кроме того, (Бремерманн, 1956) назвал область открытым множеством, а область — объединенным открытым множеством.
  6. ^ Например (Fuchs & Shabat 1964, §6, стр. 22–23); (Крейциг 1972, §11.1, стр. 469); (Квок 2002, §1.4, стр. 23.)
  7. ^ См. (Hahn 1921, стр. 85, сноска 1).
  8. ^ Хан (1921, стр. 61, сноска 3), комментируя только что данное определение открытого множества («offene Menge»), точно утверждает: « Vorher war, für diese Punktmengen die Bezeichnung «Gebiet» in Gebrauch, die wir (§ 5, С. 85) anders verwenden werden. " (Вольный английский перевод:-" Раньше для таких наборов точек изредка использовался термин "Gebiet", и он будет использоваться нами в (§ 5, с. 85) с другой смысл » .
  9. ^ Например (Форсайт 1893) неформально повсюду использует термин « регион» (например, §16, стр. 21) рядом с неформальной частью выражения z -плоскости и определяет область определения точки a для функции f как наибольшую r -окрестность точки а , в которой f голоморфна (§32, с. 52). В первом издании влиятельного учебника (Whittaker 1902) термины «домен» и «регион» используются неформально и, очевидно, как взаимозаменяемые. Во втором издании (Whittaker & Watson 1915, §3.21, стр. 44) открытая область определяется как внутренняя часть простой замкнутой кривой , а закрытая область или область - как открытая область вместе с ее граничной кривой. (Goursat 1905, §262, стр. 10) определяет région [область] или aire [площадь] как связную часть плоскости. (Таунсенд 1915, §10, стр. 20) определяет область или область как связную часть комплексной плоскости, состоящую только из внутренних точек.
  10. ^ abc См. (Миранда 1955, стр. 1, 1970, стр. 2).
  11. ^ Именно в первом издании своей монографии Миранда (1955, стр. 1) использует итальянский термин « campo », означающий буквально «поле», аналогично его значению в сельском хозяйстве : во втором издании книги Зейн К. Моттелер правильно переводит этот термин как «регион».
  12. ^ Внутренне связное множество — это множество, внутренность которого связна.
  13. ^ См. (Пиконе, 1923, стр. 66).

Рекомендации