Теорема Грина

Теорема исчисления, связывающая прямые и двойные интегралы

В векторном исчислении теорема Грина связывает линейный интеграл по простой замкнутой кривой C с двойным интегралом по плоской области D , ограниченной C . Это двумерный частный случай теоремы Стокса .

Теорема

Пусть C — положительно ориентированная , кусочно- гладкая , простая замкнутая кривая на плоскости , и пусть D — область, ограниченная C. Если L и M являются функциями ( x , y ) , определенными в открытой области , содержащей D , и имеют там непрерывные частные производные , то

$${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dx\,dy}$$

где путь интегрирования вдоль C идет против часовой стрелки . ^{[1] [2]}

В физике теорема Грина находит множество применений. Один из них решает двумерные интегралы потока, утверждая, что сумма жидкости, вытекающей из объема, равна общему вытоку, суммированному по окружающей области. В плоской геометрии и, в частности, при геодезии территорий , теорема Грина может использоваться для определения площади и центроида плоских фигур исключительно путем интегрирования по периметру.

Доказательство, когда D — простая область.

Если D — область простого типа, граница которой состоит из кривых _{C1 , C2} , C3, C4 , можно _{продемонстрировать} половину теоремы Грина .

Ниже приводится доказательство половины теоремы для упрощенной области D , области типа I, где _C1 и C3 — кривые, _{соединенные} вертикальными линиями (возможно, нулевой длины). Аналогичное доказательство существует и для второй половины теоремы, когда D — область типа II, где C ₂ и C ₄ — кривые, соединенные горизонтальными линиями (опять же, возможно, нулевой длины). Таким образом, объединив эти две части, теорема доказана для регионов типа III (определяемых как регионы, которые относятся как к типу I, так и к типу II). Общий случай затем можно вывести из этого частного случая путем разложения D на набор областей типа III.

Если можно показать, что

и

верны, то для области D немедленно следует теорема Грина. Мы можем легко доказать ( 1 ) для областей типа I и ( 2 ) для областей типа II. Тогда теорема Грина следует для областей типа III.

Предположим, что область D является областью типа I и, таким образом, может быть охарактеризована, как показано на рисунке справа, следующим образом:

$${\displaystyle D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$$

g1g2непрерывные[ a , b ] _{. _}1

Теперь вычислите линейный интеграл в ( 1 ). C можно переписать как объединение четырех _кривых : C1 _, C2 , C3 _, C4 _.

Для C ₁ используйте параметрические уравнения : x = x , y = g ₁ ( x ), a ≤ x ≤ b . Затем

$${\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.}$$

С C ₃ используйте параметрические уравнения: x = x , y = g ₂ ( x ), a ≤ x ≤ b . Затем

$${\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}$$

Интеграл по C ₃ отменяется, поскольку он идет в отрицательном направлении от b к a , поскольку C ориентирован положительно (против часовой стрелки). На C ₂ и C ₄ x остается постоянным, что означает

$${\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0.}$$

Поэтому,

Объединив ( 3 ) с ( 4 ), получим ( 1 ) для регионов типа I. Аналогичная трактовка дает ( 2 ) для регионов типа II. Объединив эти два значения, мы получим результат для регионов типа III.

Доказательство спрямляемых жордановых кривых

Мы собираемся доказать следующее

Теорема . Пусть  —  спрямляемая, положительно ориентированная жорданова кривая , и пусть обозначает ее внутреннюю область. Предположим, что являются непрерывными функциями со свойством, которое имеет вторую частную производную в каждой точке , имеет первую частную производную в каждой точке и что функции интегрируемы по Риману по . Затем ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{1}B,D_{2}A:R\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle \int _{\Gamma }(A\,dx+B\,dy)=\int _{R}\left(D_{1}B(x,y)-D_{2}A(x,y)\right)\,d(x,y).}$$

Нам понадобятся следующие леммы, доказательства которых можно найти в: ^[3]

Лемма 1 (лемма о разложении)  .  Предположим, что это спрямляемая, положительно ориентированная кривая Жордана на плоскости, и пусть это ее внутренняя область. Для каждого положительного вещественного числа пусть обозначается совокупность квадратов на плоскости, ограниченной прямыми , где пробегает множество целых чисел. Тогда для этой существует разложение на конечное число непересекающихся подобластей таким образом, что ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}$ ${\displaystyle x=m\delta ,y=m\delta }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\overline {R}}}$

1. Каждый из субрегионов, содержащихся , скажем , представляет собой квадрат из . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{1},R_{2},\ldots ,R_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}$
2. Каждая из оставшихся подобластей, скажем , имеет в качестве границы спрямляемую жордановую кривую, образованную конечным числом дуг и частей сторон некоторого квадрата из . ${\displaystyle R_{k+1},\ldots ,R_{s}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}$
3. Каждую из граничных областей можно заключить в квадрат с длиной ребра . ${\displaystyle R_{k+1},\ldots ,R_{s}}$ ${\displaystyle 2\delta }$
4. Если – положительно ориентированная граничная кривая , то ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma _{2}+\cdots +\Gamma _{s}.}$
5. Число приграничных регионов не превышает , где – длина . ${\displaystyle s-k}$ ${\textstyle 4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Лемма 2. Пусть  —  спрямляемая кривая на плоскости, и пусть — набор точек на плоскости, расстояние от которых (диапазон) не превышает . Внешнее содержимое Jordan этого набора удовлетворяет требованиям . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Delta _{\Gamma }(h)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\overline {c}}\,\,\Delta _{\Gamma }(h)\leq 2h\Lambda +\pi h^{2}}$

Лемма 3. Пусть  —  спрямляемая кривая и непрерывная функция. Затем ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f:{\text{range of }}\Gamma \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f},}$$

и

$${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,dx\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f},}$$

где колебание в диапазоне . ${\displaystyle \Omega _{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Теперь мы можем доказать теорему:

Доказательство теоремы. Пусть – произвольное положительное действительное число. В силу непрерывности и компактности данного , существует такое, что всякий раз, когда две точки меньше, чем друг от друга, их изображения под ними меньше, чем друг от друга. Для этого рассмотрим разложение, данное предыдущей леммой. У нас есть ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\overline {R}}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle 0<\delta <1}$ ${\displaystyle {\overline {R}}}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad +\sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy.}$$

Помещать . ${\displaystyle \varphi :=D_{1}B-D_{2}A}$

Для каждого кривая представляет собой положительно ориентированный квадрат, для которого справедлива формула Грина. Следовательно ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{R_{i}}\varphi =\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\,\varphi .}$$

Каждая точка приграничной области находится на расстоянии не более чем от . Таким образом, если — объединение всех приграничных областей, то ; следовательно , по лемме 2. Заметим, что ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\subset \Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )}$ ${\displaystyle c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}}$

$${\displaystyle \int _{R}\varphi \,\,-\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\varphi =\int _{K}\varphi .}$$

$${\displaystyle \left\vert \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert \leq M\delta (1+\pi {\sqrt {2}}\,\delta ){\text{ for some }}M>0.}$$

С таким же успехом мы можем выбрать так, чтобы правая часть последнего неравенства была равна ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle <\varepsilon .}$

Замечание в начале этого доказательства означает, что колебания и на каждой приграничной области не более . У нас есть ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

$${\displaystyle \left\vert \sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\varepsilon \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}.}$$

По лемме 1(iii),

$${\displaystyle \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}\leq \Lambda +(4\delta )\,4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)\leq 17\Lambda +16.}$$

Объединив их, мы наконец получим

$${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert <C\varepsilon ,}$$

${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Валидность при различных гипотезах

Гипотезы последней теоремы — не единственные, при которых справедлива формула Грина. Другой распространенный набор условий следующий:

Функции по-прежнему считаются непрерывными. Однако теперь мы требуем, чтобы они были дифференцируемы по Фреше в каждой точке . Отсюда следует существование всех производных по направлению, в частности , где, как обычно, – канонический упорядоченный базис . Кроме того, мы требуем, чтобы функция была интегрируема по Риману по . ${\displaystyle A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2}$ ${\displaystyle (e_{1},e_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D_{1}B-D_{2}A}$ ${\displaystyle R}$

Как следствие этого, мы получаем интегральную теорему Коши для спрямляемых жордановых кривых:

Теорема (Коши)  —  Если — спрямляемая жорданова кривая в и если — непрерывное отображение, голоморфное во внутренней области , то ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:{\text{closure of inner region of }}\Gamma \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

$${\displaystyle \int _{\Gamma }f=0,}$$

интеграл является комплексным контурным интегралом.

Доказательство

Мы рассматриваем комплексную плоскость как . Теперь определим , что эти функции явно непрерывны. Хорошо известно, что и дифференцируемы по Фреше и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана: . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle u,v:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}}$

Теперь, анализируя суммы, используемые для определения рассматриваемого комплексного контурного интеграла, легко понять, что

$${\displaystyle \int _{\Gamma }f=\int _{\Gamma }u\,dx-v\,dy\quad +i\int _{\Gamma }v\,dx+u\,dy,}$$

интегралы на правой части являются обычными линейными интегралами. Эти замечания позволяют нам применить теорему Грина к каждому из этих линейных интегралов, завершая доказательство.

Многосвязные регионы

Теорема. Пусть – положительно ориентированные спрямляемые жордановые кривые, удовлетворяющие условию ${\displaystyle \Gamma _{0},\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}\subset R_{0},&&{\text{if }}1\leq i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{if }}1\leq i,j\leq n{\text{ and }}i\neq j,\end{aligned}}}$$

${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$

$${\displaystyle D=R_{0}\setminus ({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}}_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}_{n}).}$$

Пусть и — непрерывные функции, ограничение которых на дифференцируемо по Фреше. Если функция ${\displaystyle p:{\overline {D}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:{\overline {D}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle (x,y)\longmapsto {\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)}$$

${\displaystyle D}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}}$$

Связь с теоремой Стокса

Теорема Грина является частным случаем теоремы Кельвина-Стокса , примененной к области на -плоскости. ${\displaystyle xy}$

Мы можем дополнить двумерное поле трехмерным полем с компонентом z , который всегда равен 0. Запишите F для векторной функции . Начнём с левой части теоремы Грина: ${\displaystyle \mathbf {F} =(L,M,0)}$

$${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}$$

Теорема Кельвина–Стокса:

$${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}$$

Поверхность — это просто область на плоскости , где единичная нормаль определена (по соглашению) как имеющая положительную компоненту z, чтобы соответствовать определениям «положительной ориентации» для обеих теорем. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Выражение внутри интеграла принимает вид

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).}$$

Таким образом, мы получаем правую часть теоремы Грина.

$${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}$$

Теорема Грина также является прямым результатом общей теоремы Стокса с использованием дифференциальных форм и внешних производных :

$${\displaystyle \oint _{C}L\,dx+M\,dy=\oint _{\partial D}\!\omega =\int _{D}d\omega =\int _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dy\wedge \,dx+{\frac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge \,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.}$$

Связь с теоремой о дивергенции

Рассматривая только двумерные векторные поля, теорема Грина эквивалентна двумерной версии теоремы о дивергенции :

${\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,}$

где – дивергенция двумерного векторного поля , – направленный наружу единичный вектор нормали на границе. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим единичную нормаль в правой части уравнения. Поскольку в теореме Грина это вектор, направленный по касательной вдоль кривой, а кривая C представляет собой положительно ориентированную (т. е. против часовой стрелки) кривую вдоль границы, внешней нормалью будет вектор, указывающий на 90° вправо от нее; один из вариантов был бы . Длина этого вектора равна So ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)}$ ${\displaystyle (dy,-dx)}$ ${\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$ ${\displaystyle (dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.}$

Начнём с левой части теоремы Грина:

$${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(M,-L)\cdot (dy,-dx)=\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds.}$$

${\displaystyle \mathbf {F} =(M,-L)}$

$${\displaystyle \oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (M,-L)\right)\,dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}$$

Расчет площади

Теорему Грина можно использовать для вычисления площади по линейному интегралу. ^[4] Площадь плоской области определяется выражением ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle A=\iint _{D}dA.}$$

Выберите и такое , чтобы площадь была равна ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1}$

$${\displaystyle A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy).}$$

Возможные формулы площади включения ^[4] ${\displaystyle D}$

$${\displaystyle A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy).}$$

История

Он назван в честь Джорджа Грина , который заявил аналогичный результат в статье 1828 года под названием « Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма» . В 1846 году Огюстен-Луи Коши опубликовал статью, в которой в предпоследнем предложении была сформулирована теорема Грина. Фактически это первая печатная версия теоремы Грина в той форме, которая присутствует в современных учебниках. Бернхард Риман дал первое доказательство теоремы Грина в своей докторской диссертации по теории функций комплексной переменной. ^{[5] [6]}

Смотрите также

• Математический портал

• Планиметр  – инструмент для измерения площади.
• Метод зарядов изображения - метод, используемый в электростатике, который использует теорему единственности (полученную из теоремы Грина).
• Формула шнурков - частный случай теоремы Грина для простых многоугольников.

Рекомендации

1. Райли, К.Ф.; Хобсон, член парламента; Бенс, SJ (2010). Математические методы в физике и технике . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.
2. Шпигель, MR; Липшуц, С.; Спеллман, Д. (2009). Векторный анализ . Очерки Шаума (2-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
3. Апостол, Том (1960). Математический анализ (1-е изд.). Ридинг, Массачусетс, США: Addison-Wesley Publishing Company, INC.
4. Стюарт, Джеймс (1999). Исчисление (6-е изд.). Томсон, Брукс/Коул. ISBN 9780534359492.
5. Джордж Грин, Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма (Ноттингем, Англия: Т. Уилхаус, 1828). На самом деле Грин не вывел форму «теоремы Грина», которая появляется в этой статье; скорее, он вывел форму «теоремы о дивергенции», которая появляется на страницах 10–12 его « Эссе» .
   В 1846 году форма «теоремы Грина», представленная в этой статье, была впервые опубликована без доказательства в статье Огюстена Коши : А. Коши (1846) «Sur les intégrales qui s'étendent à tous les point d'une courbe Fermée» (Об интегралах, распространяющихся по всем точкам замкнутой кривой), Comptes rendus , 23 : 251–255. (Уравнение появляется внизу страницы 254, где ( S ) обозначает линейный интеграл функции k вдоль кривой s , охватывающей область S. )
   Окончательное доказательство теоремы было представлено в 1851 году Бернхардом Риманом в его первой книге. диссертация: Бернхард Риман (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Основы общей теории функций переменной комплексной величины), (Геттинген, (Германия): Адальберт Ренте, 1867); см. страницы 8–9.
6. Кац, Виктор (2009). «22.3.3: Комплексные функции и линейные интегралы». История математики: Введение . Аддисон-Уэсли. стр. 801–5. ISBN 978-0-321-38700-4.

дальнейшее чтение

• Марсден, Джеррольд Э.; Тромба, Энтони Дж. (2003). «Интегральные теоремы векторного анализа». Векторное исчисление (Пятое изд.). Нью-Йорк: Фриман. стр. 518–608. ISBN 0-7167-4992-0.

Внешние ссылки

• Теорема Грина в MathWorld