В математике , точечно-свободная геометрия - это геометрия , примитивным онтологическим понятием которой является область , а не точка . Ниже изложены две аксиоматические системы , одна из которых основана на мереологии , другая - на мереотопологии и известна как теория связей .
Точечно-свободная геометрия была впервые сформулирована Альфредом Нортом Уайтхедом [ 1] не как теория геометрии или пространства-времени , а как теория «событий» и « отношений расширения » между событиями. Цели Уайтхеда были как философскими, так и научными и математическими. [2]
Уайтхед не излагал свои теории таким образом, который бы удовлетворял современным канонам формальности. Две формальные теории первого порядка, описанные в этой статье, были разработаны другими для того, чтобы прояснить и усовершенствовать теории Уайтхеда. Область дискурса для обеих теорий состоит из «регионов». Все неквантифицированные переменные в этой статье следует рассматривать как неявно универсально квантифицированные ; следовательно, все аксиомы следует рассматривать как универсальные замыкания . Ни одна аксиома не требует более трех квантифицированных переменных; следовательно, возможен перевод теорий первого порядка в алгебру отношений . Каждый набор аксиом имеет только четыре экзистенциальных квантификатора .
Фундаментальное примитивное бинарное отношение — включение , обозначаемое инфиксным оператором «≤», что соответствует бинарному отношению Parthood , которое является стандартной функцией в мереологических теориях. Интуитивное значение x ≤ y — « x является частью y ». Предполагая, что равенство, обозначаемое инфиксным оператором «=», является частью фоновой логики, бинарное отношение Proper Part , обозначаемое инфиксным оператором «<», определяется как:
Аксиомы таковы: [3]
Модель G1 –G7 представляет собой пространство включений .
Определение . [4] Для некоторого пространства включения S абстрактным классом является класс G регионов, такой что S\G полностью упорядочен по включению. Более того, не существует региона, включенного во все регионы, включенные в G .
Интуитивно, абстрактный класс определяет геометрическую сущность, размерность которой меньше, чем у пространства включения. Например, если пространство включения — это евклидова плоскость , то соответствующие абстрактные классы — это точки и линии .
Точечная бесточечная геометрия на основе включения (далее «точечная бесточечная геометрия») по сути является аксиоматизацией системы Саймонса W. [5] В свою очередь, W формализует теорию Уайтхеда [6] , аксиомы которой не сделаны явными. Точечная бесточечная геометрия — это W с исправленным этим дефектом. Саймонс не исправил этот дефект, вместо этого предложив в сноске, чтобы читатель сделал это в качестве упражнения. Примитивное отношение W — это Правильная Часть, строгий частичный порядок . Теория [7] Уайтхеда (1919) имеет единственное примитивное бинарное отношение K, определяемое как xKy ↔ y < x . Следовательно, K является обратным к Правильной Части. WP1 Саймонса утверждает, что Правильная Часть иррефлексивна и, таким образом, соответствует G1 . G3 устанавливает, что включение, в отличие от Правильной Части, антисимметрично .
Точечно-свободная геометрия тесно связана с плотным линейным порядком D , аксиомами которого являются G1-3 , G5 и аксиома тотальности [8]. Следовательно, точечно-свободная геометрия, основанная на включении, была бы надлежащим расширением D (а именно D ∪ { G4 , G6 , G7 }), если бы отношение D «≤» не было полным порядком .
Другой подход был предложен в Уайтхеде (1929), вдохновленный Де Лагуной (1922). Уайтхед взял за примитив топологическое понятие «контакта» между двумя областями, что привело к примитивному «соотношению связи» между событиями. Теория связи C является теорией первого порядка , которая выжимает первые 12 из 31 предположения Уайтхеда [9] в 6 аксиом, C1-C6 . [10] C является собственным фрагментом теорий, предложенных Кларком [11], который отметил их мереологический характер. Теории, которые, как и C , характеризуются как включением, так и топологическими примитивами, называются мереотопологиями .
C имеет одно примитивное отношение , бинарное «соединение», обозначаемое префиксной предикатной буквой C. То, что x включено в y, теперь можно определить как x ≤ y ↔ ∀z[ Czx → Czy ]. В отличие от случая с пространствами включения, теория соединения позволяет определить «некасательное» включение [12] , полный порядок, который позволяет строить абстрактные классы. Gerla и Miranda (2008) утверждают, что только таким образом мереотопология может однозначно определить точку .
Модель языка C представляет собой пространство связей .
После словесного описания каждой аксиомы следует идентификатор соответствующей аксиомы в Casati и Varzi (1999). Их система SMT ( сильная мереотопология ) состоит из C1-C3 и по существу принадлежит Clarke (1981). [13] Любая мереотопология может быть сделана безатомной, если обратиться к C4 , без риска парадокса или тривиальности. Следовательно, C расширяет безатомный вариант SMT посредством аксиом C5 и C6 , предложенных в главе 2 части 4 Process and Reality . [14]
Биачино и Герла (1991) показали, что каждая модель теории Кларка является булевой алгеброй , а модели таких алгебр не могут отличить связь от перекрытия. Сомнительно, что любой из этих фактов соответствует намерению Уайтхеда.
![{\displaystyle \exists z[x\leq z\land y\leq z].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250b3728058e16c3cbfca687ebc302f9b537b087)
![{\displaystyle x<y\rightarrow \exists z[x<z<y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27b57de77e77e5ea986c31f801e873009c1d69aa)
![{\displaystyle \exists y\exists z[y<x\land x<z].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/117f35607b79027fc3e1693be589b781bba629e9)
![{\displaystyle \forall z[z<x\rightarrow z<y]\rightarrow x\leq y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accfe20e1b38081cd46559f3a10a01842261deab)
![{\displaystyle \forall z[Czx\leftrightarrow Czy]\rightarrow x = y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7afc50271fb678664360f2db0a4076786e0b015)
![{\displaystyle \exists y[y<x].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c449e2c3ff9ee8368e115c5cf837a5fb09ac99d)
![{\displaystyle \exists z[Czx\land Czy].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56b924b7732849f30e2562cc767c3f99da7c603f)
![{\displaystyle \exists y\exists z[(y\leq x)\land (z\leq x)\land \neg Cyz].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f5683bc9feda199f272886cd2dcd45d6c98d69)