полиномы Лагерра

Последовательность решений дифференциальных уравнений

Комплексный цветовой график полинома Лагерра L n(x), где n равно -1, деленной на 9, а x равно z в степени 4 от -2-2i до 2+2i

В математике полиномы Лагерра , названные в честь Эдмона Лагерра (1834–1886), являются нетривиальными решениями дифференциального уравнения Лагерра: которое является линейным дифференциальным уравнением второго порядка . Это уравнение имеет несингулярные решения только в том случае, если n — неотрицательное целое число. $${\displaystyle xy''+(1-x)y'+ny=0,\ y=y(x)}$$

Иногда название полиномы Лагерра используется для решений, где n все еще является неотрицательным целым числом. Тогда их также называют обобщенными полиномами Лагерра , как это будет сделано здесь (альтернативно ассоциированными полиномами Лагерра или, реже, полиномами Сонина , в честь их изобретателя ^[1] Николая Яковлевича Сонина ). $${\displaystyle xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0~.}$$

В более общем смысле функция Лагерра является решением, когда n не обязательно является неотрицательным целым числом.

Полиномы Лагерра также используются в квадратурах Гаусса–Лагерра для численного вычисления интегралов вида $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}$$

Эти многочлены, обычно обозначаемые L ₀ ,  L ₁ , ..., представляют собой полиномиальную последовательность , которая может быть определена формулой Родригеса ,

$${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}$$сводя к замкнутой форме следующего раздела.

Они являются ортогональными многочленами относительно скалярного произведения. $${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}$$

Ладейные полиномы в комбинаторике более или менее совпадают с полиномами Лагерра, с точностью до элементарных замен переменных. Подробнее см. полиномы Трикоми–Карлица .

Полиномы Лагерра возникают в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шредингера для одноэлектронного атома. Они также описывают статические функции Вигнера осцилляторных систем в квантовой механике в фазовом пространстве . Они далее входят в квантовую механику потенциала Морзе и трехмерного изотропного гармонического осциллятора .

Физики иногда используют определение для полиномов Лагерра, которое в n раз больше определения, используемого здесь. (Точно так же некоторые физики могут использовать несколько иные определения так называемых ассоциированных полиномов Лагерра.)

Первые несколько многочленов

Вот первые несколько полиномов Лагерра:

Первые шесть полиномов Лагерра.

Рекурсивное определение, замкнутая форма и производящая функция

Можно также определить полиномы Лагерра рекурсивно, определив первые два полинома как и затем используя следующее рекуррентное соотношение для любого k ≥ 1 : Кроме того, $${\displaystyle L_{0}(x)=1}$$ $${\displaystyle L_{1}(x)=1-x}$$ $${\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)}{k+1}}.}$$ $${\displaystyle xL'_{n}(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x).}$$

При решении некоторых краевых задач могут оказаться полезными характеристические значения: $${\displaystyle L_{k}(0)=1,L_{k}'(0)=-k.}$$

Закрытая форма - это $${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.}$$

Производящая функция для них также имеет следующий вид. Операторная форма имеет вид $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}(x)={\frac {1}{1-t}}e^{-tx/(1-t)}.}$$ $${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {1}{n!}}e^{x}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})}$$

Многочлены с отрицательным индексом можно выразить через многочлены с положительным индексом: $${\displaystyle L_{-n}(x)=e^{x}L_{n-1}(-x).}$$

Обобщенные полиномы Лагерра

Для произвольного действительного α полиномиальные решения дифференциального уравнения ^[2] называются обобщенными полиномами Лагерра или присоединенными полиномами Лагерра . $${\displaystyle x\,y''+\left(\alpha +1-x\right)y'+n\,y=0}$$

Можно также определить обобщенные полиномы Лагерра рекурсивно, определив первые два полинома как $${\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1}$$ $${\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=1+\alpha -x}$$

и затем используя следующее рекуррентное соотношение для любого k ≥ 1 : $${\displaystyle L_{k+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2k+1+\alpha -x)L_{k}^{(\alpha )}(x)-(k+\alpha )L_{k-1}^{(\alpha )}(x)}{k+1}}.}$$

Простые полиномы Лагерра являются частным случаем α = 0 обобщенных полиномов Лагерра: $${\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}$$

Формула Родригеса для них: $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)={\frac {x^{-\alpha }}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n+\alpha }.}$$

Производящая функция для них есть $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-tx/(1-t)}.}$$

Первые несколько обобщенных полиномов Лагерра, L _n ^{( k )} ( x )

Явные примеры и свойства обобщенных полиномов Лагерра

• Функции Лагерра определяются конфлюэнтными гипергеометрическими функциями и преобразованием Куммера как ^[3] где - обобщенный биномиальный коэффициент . Когда n - целое число, функция сводится к полиному степени n . Она имеет альтернативное выражение ^[4] в терминах функции Куммера второго рода . $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x).}$$ ${\textstyle {n+\alpha \choose n}}$ $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)}$$
• Замкнутая форма для этих обобщенных полиномов Лагерра степени n [ ^5] выводится путем применения теоремы Лейбница для дифференцирования произведения к формуле Родригеса. $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}}$$
• Полиномы Лагерра имеют дифференциальное операторное представление, очень похожее на близкородственные полиномы Эрмита. А именно, пусть и рассмотрим дифференциальный оператор . Тогда . ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle M=xD^{2}+(\alpha +1)D}$ ${\displaystyle \exp(-tM)x^{n}=(-1)^{n}t^{n}n!L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{t}}\right)}$
• Первые несколько обобщенных полиномов Лагерра:

• Коэффициент при старшем члене равен ( −1) ⁿ / n ! ;
• Постоянный член , который является значением при 0, равен $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!\,\Gamma (\alpha +1)}};}$$
• Если α неотрицательно, то L _n ^{( α )} имеет n действительных , строго положительных корней (обратите внимание, что это цепь Штурма ), которые все находятся в интервале ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle \left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}}$ ${\displaystyle \left(0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}\,\right].}$
• Асимптотическое поведение полиномов при больших n , но фиксированных α и x > 0 , определяется формулой ^{[6] [7]} и суммируется формулой, где — функция Бесселя . $${\displaystyle {\begin{aligned}&L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\sin \left(2{\sqrt {nx}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)\right)+O\left(n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {3}{4}}}\right),\\[6pt]&L_{n}^{(\alpha )}(-x)={\frac {(n+1)^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-x/2}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}e^{2{\sqrt {x(n+1)}}}\cdot \left(1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\right)\right),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{n}}\right)}{n^{\alpha }}}\approx e^{x/2n}\cdot {\frac {J_{\alpha }\left(2{\sqrt {x}}\right)}{{\sqrt {x}}^{\alpha }}},}$$ ${\displaystyle J_{\alpha }}$

Как контурный интеграл

Учитывая указанную выше производящую функцию, полиномы можно выразить через контурный интеграл , где контур охватывает начало координат один раз в направлении против часовой стрелки, не охватывая при этом существенную особенность в точке 1. $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)^{\alpha +1}\,t^{n+1}}}\;dt,}$$

Рекуррентные соотношения

Формула сложения для полиномов Лагерра: ^[8] $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y).}$$

Полиномы Лагерра удовлетворяют рекуррентным соотношениям в частности и или более того $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{n-i}^{(\alpha +i)}(y){\frac {(y-x)^{i}}{i!}},}$$ $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)}$$ $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x),}$$ $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x);}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)-\sum _{j=0}^{\Delta -1}{n+\alpha \choose n-j}(-1)^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(\alpha +\Delta )}(x)\\[6pt]&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(n+\alpha +\Delta -i)}(x)\end{aligned}}}$$

Их можно использовать для выведения четырех правил трех точек. $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}(-1)^{j}L_{n-j}^{(\alpha +k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),\\[10pt]&{\text{or }}\\{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose k-i}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]xL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n-x)L_{n}^{(\alpha )}(x);\end{aligned}}}$$

В совокупности они дают эти дополнительные, полезные рекуррентные соотношения $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}}}$$

Так как — монический многочлен степени по , то имеет место разложение на простейшие дроби Второе равенство следует из следующего тождества, справедливого для целых i и n и непосредственно вытекающего из выражения в терминах многочленов Шарлье : Для третьего равенства применим четвертое и пятое тождества этого раздела. ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n!\,L_{n}^{(\alpha )}(x)}{(\alpha +1)_{n}}}&=1-\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{\frac {j}{\alpha +j}}{n \choose j}L_{n}^{(-j)}(x)\\&=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}\,\,{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}}\\&=1-x\sum _{i=1}^{n}{\frac {L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$ $${\displaystyle {\frac {(-x)^{i}}{i!}}L_{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L_{i}^{(n-i)}(x).}$$

Производные обобщенных полиномов Лагерра

Дифференцирование представления степенного ряда обобщенного полинома Лагерра k раз приводит к $${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\begin{cases}(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)&{\text{if }}k\leq n,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Это указывает на особый случай ( α = 0 ) формулы выше: для целого числа α = k обобщенный многочлен может быть записан как сдвиг на k, что иногда вызывает путаницу с обычной скобочной записью производной. $${\displaystyle L_{n}^{(k)}(x)=(-1)^{k}{\frac {d^{k}L_{n+k}(x)}{dx^{k}}},}$$

Более того, справедливо следующее уравнение: которое обобщается с формулой Коши до $${\displaystyle {\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose k}x^{\alpha -k}L_{n}^{(\alpha -k)}(x),}$$ $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha ')}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int _{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{\alpha '-\alpha -1}}{x^{\alpha '}}}L_{n}^{(\alpha )}(t)\,dt.}$$

Производная по второй переменной α имеет вид ^[9] Обобщенные полиномы Лагерра подчиняются дифференциальному уравнению , которое можно сравнить с уравнением, которому подчиняется k -я производная обычного полинома Лагерра, $${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{n-i}}.}$$ $${\displaystyle xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0,}$$

$${\displaystyle xL_{n}^{[k]\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_{n}^{[k]\prime }(x)+(n-k)L_{n}^{[k]}(x)=0,}$$где только для этого уравнения. ${\displaystyle L_{n}^{[k]}(x)\equiv {\frac {d^{k}L_{n}(x)}{dx^{k}}}}$

В форме Штурма–Лиувилля дифференциальное уравнение имеет вид

$${\displaystyle -\left(x^{\alpha +1}e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x)^{\prime }\right)'=n\cdot x^{\alpha }e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x),}$$

что показывает, что L^(α)
_нявляется собственным вектором для собственного значения n .

Ортогональность

Обобщенные полиномы Лагерра ортогональны на [0, ∞) относительно меры с весовой функцией x ^α e ^{− x} : ^[10]

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m},}$$

что следует из

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha '-1}e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \choose n}\Gamma (\alpha ').}$$

Если обозначает гамма-распределение, то соотношение ортогональности можно записать как ${\displaystyle \Gamma (x,\alpha +1,1)}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)\Gamma (x,\alpha +1,1)dx={n+\alpha \choose n}\delta _{n,m},}$$

Соответствующий симметричный полином ядра имеет представление ( формула Кристоффеля–Дарбу ) ^{[ необходима ссылка ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&:={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {x-y}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{n-i}^{(\alpha +i)}(x)L_{n-i}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}}$$

рекурсивно

$${\displaystyle K_{n}^{(\alpha )}(x,y)={\frac {y}{\alpha +1}}K_{n-1}^{(\alpha +1)}(x,y)+{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha +1)}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +n \choose n}}.}$$

Более того, ^{[ необходимо разъяснение. Ограничить, когда n стремится к бесконечности? ]}

$${\displaystyle y^{\alpha }e^{-y}K_{n}^{(\alpha )}(\cdot ,y)\to \delta (y-\cdot ).}$$

Неравенства Турана можно вывести здесь, что $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)^{2}-L_{n-1}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\alpha +n-1 \choose n-k}{n{n \choose k}}}L_{k}^{(\alpha -1)}(x)^{2}>0.}$$

Следующий интеграл необходим для квантово-механического рассмотрения атома водорода :

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).}$$

Расширения серии

Пусть функция имеет (формальное) разложение в ряд $${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}^{(\alpha )}L_{i}^{(\alpha )}(x).}$$

Затем $${\displaystyle f_{i}^{(\alpha )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{i+\alpha \choose i}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.}$$

Ряд сходится в ассоциированном гильбертовом пространстве L ² [0, ∞) тогда и только тогда, когда

$${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}:=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{i=0}^{\infty }{i+\alpha \choose i}|f_{i}^{(\alpha )}|^{2}<\infty .}$$

Дополнительные примеры расширений

Одночлены представлены как , а двучлены имеют параметризацию $${\displaystyle {\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}L_{i}^{(\alpha )}(x),}$$ $${\displaystyle {n+x \choose n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\alpha ^{i}}{i!}}L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha ).}$$

Это приводит непосредственно к для экспоненциальной функции. Неполная гамма-функция имеет представление $${\displaystyle e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}L_{i}^{(\alpha )}(x)\qquad {\text{convergent iff }}\Re (\gamma )>-{\tfrac {1}{2}}}$$ $${\displaystyle \Gamma (\alpha ,x)=x^{\alpha }e^{-x}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{1+i}}\qquad \left(\Re (\alpha )>-1,x>0\right).}$$

В квантовой механике

В квантовой механике уравнение Шредингера для водородоподобного атома точно решается путем разделения переменных в сферических координатах. Радиальная часть волновой функции представляет собой (обобщенный) полином Лагерра. ^[11]

Вибронные переходы в приближении Франка-Кондона также можно описать с помощью полиномов Лагерра. ^[12]

Теоремы умножения

Эрдейи приводит следующие две теоремы умножения ^[13]

$${\displaystyle {\begin{aligned}&t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}^{\infty }{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{k-n}L_{k}^{(\alpha )}(z),\\[6pt]&e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).\end{aligned}}}$$

Связь с полиномами Эрмита

Обобщенные полиномы Лагерра связаны с полиномами Эрмита : где H _n ( x ) — полиномы Эрмита, основанные на весовой функции exp(− x ² ) , так называемая «версия физика». $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}}$$

В связи с этим при рассмотрении квантового гармонического осциллятора возникают обобщенные полиномы Лагерра .

Связь с гипергеометрическими функциями

Полиномы Лагерра можно определить в терминах гипергеометрических функций , в частности, конфлюэнтных гипергеометрических функций , как где — символ Похгаммера (который в данном случае представляет собой растущий факториал). $${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)}$$ ${\displaystyle (a)_{n}}$

Формула Харди–Хилла

Обобщенные полиномы Лагерра удовлетворяют формуле Харди–Хилле ^{[14] [15]} , где ряд слева сходится для и . Используя тождество (см. обобщенную гипергеометрическую функцию ), это также можно записать как Эта формула является обобщением ядра Мелера для полиномов Эрмита , которое можно восстановить из него, используя соотношения между полиномами Лагерра и Эрмита, приведенные выше. $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!\,\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(n+\alpha +1\right)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-(x+y)t/(1-t)}\,_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\frac {xyt}{(1-t)^{2}}}\right),}$$ ${\displaystyle \alpha >-1}$ ${\displaystyle |t|<1}$ $${\displaystyle \,_{0}F_{1}(;\alpha +1;z)=\,\Gamma (\alpha +1)z^{-\alpha /2}I_{\alpha }\left(2{\sqrt {z}}\right),}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{\Gamma (1+\alpha +n)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(xyt)^{\alpha /2}(1-t)}}e^{-(x+y)t/(1-t)}I_{\alpha }\left({\frac {2{\sqrt {xyt}}}{1-t}}\right).}$$

Конвенция по физике

Обобщенные полиномы Лагерра используются для описания квантовой волновой функции для орбиталей атома водорода . ^{[16] [17] [18]} Соглашение, используемое в этой статье, выражает обобщенные полиномы Лагерра как ^[19]

$${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x),}$$

где — конфлюэнтная гипергеометрическая функция . В физической литературе ^[18] обобщенные полиномы Лагерра определяются как ${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b;x)}$

$${\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\left[\Gamma (\alpha +n+1)\right]^{2}}{\Gamma (\alpha +1)n!}}\,_{1}F_{1}(-n;\alpha +1;x).}$$

Физическая версия связана со стандартной версией следующим образом:

$${\displaystyle {\bar {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(n+\alpha )!L_{n}^{(\alpha )}(x).}$$

В физической литературе существует еще одно, хотя и менее часто используемое, соглашение ^{[20] [21] [22]}

$${\displaystyle {\tilde {L}}_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{\alpha }{\bar {L}}_{n-\alpha }^{(\alpha )}.}$$

Конвенция по теневому исчислению

Обобщенные полиномы Лагерра связаны с исчислением Теней, поскольку являются последовательностями Шеффера для при умножении на . В соглашении об исчислении Теней ^[23] полиномы Лагерра по умолчанию определяются как , где — беззнаковые числа Лаха . — последовательность полиномов биномиального типа , т. е. они удовлетворяют ${\displaystyle D/(D-I)}$ ${\displaystyle n!}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(x)=n!L_{n}^{(-1)}(x)=\sum _{k=0}^{n}L(n,k)(-x)^{k}}$$ ${\textstyle L(n,k)={\binom {n-1}{k-1}}{\frac {n!}{k!}}}$ ${\textstyle ({\mathcal {L}}_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathcal {L}}_{k}(x){\mathcal {L}}_{n-k}(y)}$$

Смотрите также

• Ортогональные многочлены
• Формула Родригеса
• полиномы Анджелеску
• Полиномы Бесселя
• полиномы Денисюка
• Поперечная мода — важное применение полиномов Лагерра для описания интенсивности поля внутри волновода или профиля лазерного луча.

Примечания

1. Н. Сонин (1880). «Исследования цилиндрических функций и развитие функций продолжаются последовательно». Математика. Энн. 16 (1): 1–80. дои : 10.1007/BF01459227. S2CID  121602983.
2. A&S стр. 781
3. A&S стр. 509
4. A&S стр. 510
5. A&S стр. 775
6. Сегё, стр. 198.
7. D. Borwein, JM Borwein, RE Crandall, "Эффективная асимптотика Лагерра", SIAM J. Numer. Anal. , т. 46 (2008), № 6, стр. 3285–3312 ​​doi :10.1137/07068031X
8. Уравнение A&S (22.12.6), стр. 785
9. Koepf, Wolfram (1997). «Тождества для семейств ортогональных многочленов и специальные функции». Интегральные преобразования и специальные функции . 5 (1–2): 69–102. CiteSeerX 10.1.1.298.7657 . doi :10.1080/10652469708819127. 
10. «Связанный полином Лагерра» .
11. Ратнер, Шатц, Марк А., Джордж К. (2001). Квантовая механика в химии . 0-13-895491-7: Prentice Hall. С. 90–91.{{cite book}}: CS1 maint: location (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link)
12. Jong, Mathijs de; Seijo, Luis; Meijerink, Andries; Rabouw, Freddy T. (2015-06-24). «Разрешение неоднозначности в соотношении между сдвигом Стокса и параметром Хуанга–Риса». Physical Chemistry Chemical Physics . 17 (26): 16959–16969. Bibcode :2015PCCP...1716959D. doi :10.1039/C5CP02093J. hdl : 1874/321453 . ISSN  1463-9084. PMID  26062123. S2CID  34490576.
13. C. Truesdell, «О теоремах сложения и умножения для специальных функций», Труды Национальной академии наук, Математика , (1950) стр. 752–757.
14. Сегё, стр. 102.
15. WA Al-Salam (1964), «Операционные представления для полиномов Лагерра и других», Duke Math J. 31 (1): 127–142.
16. Гриффитс, Дэвид Дж. (2005). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Аппер Сэддл Ривер, Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall. ISBN 0131118927.
17. Сакурай, Дж. Дж. (2011). Современная квантовая механика (2-е изд.). Бостон: Addison-Wesley. ISBN 978-0805382914.
18. Merzbacher, Eugen (1998). Квантовая механика (3-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. ISBN 0471887021.
19. Абрамовиц, Милтон (1965). Справочник математических функций с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.
20. Шифф, Леонард И. (1968). Квантовая механика (3-е изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill. ISBN 0070856435.
21. Мессия, Альберт (2014). Квантовая механика . Dover Publications. ISBN 9780486784557.
22. Боас, Мэри Л. (2006). Математические методы в физических науках (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. ISBN 9780471198260.
23. Рота, Джан-Карло; Каханер, Д; Одлыжко, А (1 июня 1973 г.). «Об основах комбинаторной теории. VIII. Конечно-операторное исчисление». Журнал математического анализа и приложений . 42 (3): 684–760. doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . ISSN  0022-247X.

Ссылки

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия Applied Mathematics. Том 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. стр. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• G. Szegő, Ортогональные многочлены , 4-е издание, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. , т. 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1975.
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), «Ортогональные многочлены», в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (ред.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.
• Б. Спейн, М. Г. Смит, Функции математической физики , Van Nostrand Reinhold Company, Лондон, 1970. Глава 10 посвящена полиномам Лагерра.
• «Многочлены Лагерра», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Эрик В. Вайсштейн , «Полином Лагерра», из MathWorld — веб-ресурс Wolfram.
• Джордж Арфкен и Ганс Вебер (2000). Математические методы для физиков . Academic Press. ISBN 978-0-12-059825-0.

Внешние ссылки

• Тимоти Джонс. «Полиномы Лежандра и Лагерра и элементарная квантово-механическая модель атома водорода».
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Лагерра». Математический мир .