Квантовый гармонический осциллятор

Важная, хорошо понятная квантовомеханическая модель.

Некоторые траектории гармонического осциллятора согласно законам классической механики Ньютона (A–B) и уравнению Шредингера квантовой механики (C–H). В A–B частица (представленная в виде шара, прикрепленного к пружине ) колеблется вперед и назад. В C–H показаны некоторые решения уравнения Шредингера, где горизонтальная ось — это положение, а вертикальная ось — действительная часть (синий) или мнимая часть (красный) волновой функции . C, D, E, F, но не G, H, являются собственными энергетическими состояниями . H — когерентное состояние — квантовое состояние, аппроксимирующее классическую траекторию.

Квантовый гармонический осциллятор является квантовомеханическим аналогом классического гармонического осциллятора . Поскольку произвольный гладкий потенциал обычно можно аппроксимировать как гармонический потенциал вблизи точки устойчивого равновесия , он является одной из наиболее важных модельных систем в квантовой механике. Более того, это одна из немногих квантово-механических систем, для которой известно точное аналитическое решение . ^{[1] [2] [3]}

Одномерный гармонический осциллятор

Гамильтониан и собственные состояния энергии

Представления волновой функции для первых восьми связанных собственных состояний, n = от 0 до 7. Горизонтальная ось показывает положение x .

Соответствующие плотности вероятности.

Гамильтониан частицы :

$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}k{\hat {x}}^{2}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}\,,}$$

mkугловая частотаоператор положенияxоператор импульсазаконе Гука ${\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \,\partial /\partial x}$

Независимое от времени уравнение Шредингера :

$${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi \right\rangle =E\left|\psi \right\rangle ~,}$$

Eуровень энергиисобственное значение| ψ ⟩ обозначает собственное состояние

Затем решите дифференциальное уравнение, представляющее эту проблему собственных значений в координатном базисе, для волновой функции ⟨ x | ψ ⟩ знак равно ψ ( Икс ) , используя спектральный метод . Оказывается, существует семейство решений. В этом базисе они составляют функции Эрмита ,

$${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}\,n!}}}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad n=0,1,2,\ldots .}$$

Функции H _n представляют собой полиномы Эрмита физиков ,

$${\displaystyle H_{n}(z)=(-1)^{n}~e^{z^{2}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(e^{-z^{2}}\right).}$$

Соответствующие энергетические уровни

$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega {\bigl (}n+{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}=(2n+1){\hbar \over 2}\omega ~.}$$

${\textstyle \langle {\hat {x}}\rangle =0}$ ${\textstyle \langle {\hat {p}}\rangle =0}$

${\displaystyle \langle {\hat {x}}^{2}\rangle =(2n+1){\frac {\hbar }{2m\omega }}=\sigma _{x}^{2}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}^{2}\rangle =(2n+1){\frac {m\hbar \omega }{2}}=\sigma _{p}^{2}}$

Наблюдается увеличение дисперсии как положения, так и импульса для более высоких энергетических уровней. Самый низкий энергетический уровень имеет значение, которое является его минимальным значением из-за соотношения неопределенностей и также соответствует волновой функции Гаусса. ${\textstyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}}$

Этот энергетический спектр примечателен по трем причинам. Во-первых, энергии квантуются, а это означает, что возможны только дискретные значения энергии (целое число плюс половина, кратное ħω ); это общая особенность квантово-механических систем, когда частица удерживается. Во-вторых, эти дискретные уровни энергии расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, в отличие от модели атома Бора или частицы в ящике . В-третьих, наименьшая достижимая энергия (энергия состояния n = 0 , называемого основным состоянием ) не равна минимуму потенциальной ямы, а находится на ħω /2 выше нее; это называется энергией нулевой точки . Из-за энергии нулевой точки положение и импульс осциллятора в основном состоянии не фиксированы (как в классическом осцилляторе), а имеют небольшой диапазон отклонений в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга .

Плотность вероятности основного состояния сосредоточена в начале координат, что означает, что частица проводит большую часть своего времени на дне потенциальной ямы, как и следовало ожидать для состояния с небольшой энергией. По мере увеличения энергии плотность вероятности достигает максимума в классических «точках поворота», когда энергия состояния совпадает с потенциальной энергией. (См. обсуждение высоковозбужденных состояний ниже.) Это согласуется с классическим гармоническим осциллятором, в котором частица проводит большую часть своего времени (и, следовательно, с большей вероятностью ее можно обнаружить) вблизи точек поворота, где она перемещает самый медленный. Таким образом, принцип соответствия соблюдается. Более того, специальные недисперсионные волновые пакеты с минимальной неопределенностью, называемые когерентными состояниями , колеблются очень похоже на классические объекты, как показано на рисунке; они не являются собственными состояниями гамильтониана.

Метод лестничного оператора

Плотности вероятности | ψ _п ( Икс )| ² для связанных собственных состояний, начиная с основного состояния ( n = 0) внизу и увеличивая энергию кверху. Горизонтальная ось показывает положение x , а более яркие цвета обозначают более высокие плотности вероятности.

Метод « лестничного оператора », разработанный Полем Дираком , позволяет извлекать собственные значения энергии без непосредственного решения дифференциального уравнения. Его можно обобщить на более сложные задачи, особенно на квантовую теорию поля . Следуя этому подходу, определим операторы a и сопряженный к нему a ^† ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}$$

генераторамит.е. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m{\frac {dx}{dt}}}$

Эти операторы приводят к полезному представлению и , ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a^{\dagger }+a)\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}(a^{\dagger }-a)~.\end{aligned}}}$$

Оператор a не является эрмитовым , поскольку он сам и сопряженный к нему a ^† не равны. Собственные состояния энергии | n ⟩ , когда над ними работают эти лестничные операторы, дайте

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\a|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}$$

Тогда очевидно, что a ^† , по сути, добавляет один квант энергии к осциллятору, а a удаляет квант. По этой причине их иногда называют операторами «создания» и «уничтожения».

Из приведенных выше соотношений мы также можем определить числовой оператор N , который обладает следующим свойством:

$${\displaystyle {\begin{aligned}N&=a^{\dagger }a\\N\left|n\right\rangle &=n\left|n\right\rangle .\end{aligned}}}$$

Следующие коммутаторы можно легко получить, подставив каноническое коммутационное соотношение :

$${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1,\qquad [N,a^{\dagger }]=a^{\dagger },\qquad [N,a]=-a,}$$

А оператор Гамильтона можно выразить как

$${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(N+{\frac {1}{2}}\right),}$$

поэтому собственное состояние N также является собственным состоянием энергии.

Свойство коммутации дает

$${\displaystyle {\begin{aligned}Na^{\dagger }|n\rangle &=\left(a^{\dagger }N+[N,a^{\dagger }]\right)|n\rangle \\&=\left(a^{\dagger }N+a^{\dagger }\right)|n\rangle \\&=(n+1)a^{\dagger }|n\rangle ,\end{aligned}}}$$

и аналогично,

$${\displaystyle Na|n\rangle =(n-1)a|n\rangle .}$$

Это означает, что действует на | n ⟩ производить с точностью до мультипликативной константы | n –1⟩ и a ^† действует на | п ⟩ производить | п +1⟩ . По этой причине a называется оператором уничтожения («оператор понижения»), а a ^† оператором создания («оператор повышения»). Два оператора вместе называются лестничными операторами . В квантовой теории поля операторы a и a ^† поочередно называются операторами «уничтожения» и «рождения», поскольку они разрушают и создают частицы, соответствующие нашим квантам энергии.

Учитывая любое собственное состояние энергии, мы можем воздействовать на него с помощью понижающего оператора a , чтобы создать другое собственное состояние с энергией на ħω меньшей. Кажется, что путем многократного применения понижающего оператора мы можем создавать собственные состояния энергии вплоть до E = −∞ . Однако, поскольку

$${\displaystyle n=\langle n|N|n\rangle =\langle n|a^{\dagger }a|n\rangle ={\Bigl (}a|n\rangle {\Bigr )}^{\dagger }a|n\rangle \geqslant 0,}$$

наименьшее собственное значение числового оператора равно 0, а

$${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0.}$$

В этом случае последующие применения понижающего оператора будут просто создавать нулевые кет-ы вместо дополнительных собственных состояний энергии. Более того, мы показали выше, что

$${\displaystyle {\hat {H}}\left|0\right\rangle ={\frac {\hbar \omega }{2}}\left|0\right\rangle }$$

Наконец, воздействуя на |0⟩ с помощью оператора повышения и умножая на подходящие коэффициенты нормализации , мы можем создать бесконечный набор собственных состояний энергии

$${\displaystyle \left\{\left|0\right\rangle ,\left|1\right\rangle ,\left|2\right\rangle ,\ldots ,\left|n\right\rangle ,\ldots \right\},}$$

такой, что

$${\displaystyle {\hat {H}}\left|n\right\rangle =\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left|n\right\rangle ,}$$

Произвольные собственные состояния могут быть выражены через |0⟩,

$${\displaystyle |n\rangle ={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0\rangle .}$$

Доказательство

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle n|aa^{\dagger }|n\rangle &=\langle n|\left([a,a^{\dagger }]+a^{\dagger }a\right)\left|n\right\rangle =\langle n|\left(N+1\right)|n\rangle =n+1\\[1ex]\Rightarrow a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\[1ex]\Rightarrow |n\rangle &={\frac {1}{\sqrt {n}}}a^{\dagger }\left|n-1\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n(n-1)}}}\left(a^{\dagger }\right)^{2}\left|n-2\right\rangle =\cdots ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left(a^{\dagger }\right)^{n}\left|0\right\rangle .\end{aligned}}}$$

Аналитические вопросы

Предыдущий анализ является алгебраическим и использует только коммутационные соотношения между повышающими и понижающими операторами. После завершения алгебраического анализа следует обратиться к аналитическим вопросам. Сначала следует найти основное состояние, то есть решение уравнения . В позиционном представлении это дифференциальное уравнение первого порядка ${\displaystyle a\psi _{0}=0}$

$${\displaystyle \left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)\psi _{0}=0,}$$

^{[nb 1]}

$${\displaystyle \psi _{0}(x)=Ce^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}.}$$

полный^[4] ${\displaystyle \psi _{n}}$

Явно связываясь с предыдущим разделом, основное состояние |0⟩ в представлении положения определяется как , ${\displaystyle a|0\rangle =0}$

$${\displaystyle \left\langle x\mid a\mid 0\right\rangle =0\qquad \Rightarrow \left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {d}{dx}}\right)\left\langle x\mid 0\right\rangle =0\qquad \Rightarrow }$$

$${\displaystyle \left\langle x\mid 0\right\rangle =\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}\exp \left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}x^{2}\right)=\psi _{0}~,}$$

$${\displaystyle \langle x\mid a^{\dagger }\mid 0\rangle =\psi _{1}(x)~,}$$

${\displaystyle \psi _{1}(x,t)=\langle x\mid e^{-3i\omega t/2}a^{\dagger }\mid 0\rangle }$

Естественная длина и энергетические масштабы

Квантовый гармонический осциллятор обладает естественными масштабами длины и энергии, которые можно использовать для упрощения задачи. Их можно найти путем обезразмеривания .

В результате, если энергия измеряется в единицах ħω , а расстояние в единицах √ ħ /( mω ) , то гамильтониан упрощается до

$${\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}{d^{2} \over dx^{2}}+{\frac {1}{2}}x^{2},}$$

$${\displaystyle \psi _{n}(x)=\left\langle x\mid n\right\rangle ={1 \over {\sqrt {2^{n}n!}}}~\pi ^{-1/4}\exp(-x^{2}/2)~H_{n}(x),}$$

$${\displaystyle E_{n}=n+{\tfrac {1}{2}}~,}$$

Hn ₍ x )Эрмита .

Во избежание путаницы эти «естественные единицы» в этой статье в большинстве случаев использоваться не будут. Однако они часто пригодятся при выполнении расчетов, позволяя избежать беспорядка.

Например, фундаментальное решение ( пропагатор ) H − i∂ _t , зависящего от времени оператора Шрёдингера для этого осциллятора, просто сводится к ядру Мелера , ^{[5] [6]}

$${\displaystyle \langle x\mid \exp(-itH)\mid y\rangle \equiv K(x,y;t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left((x^{2}+y^{2})\cos t-2xy\right)\right)~,}$$

K ( Икс , y ;0) знак равно δ ( Икс - y )ψ ( x ,0) будет просто

$${\displaystyle \psi (x,t)=\int dy~K(x,y;t)\psi (y,0)\,.}$$

Когерентные состояния

Эволюция во времени распределения вероятностей (и фазы, показанной цветом) когерентного состояния с | α |=3.

Когерентные состояния (также известные как глауберовые состояния) гармонического осциллятора представляют собой специальные недисперсионные волновые пакеты с минимальной неопределенностью σ x _σ p ₌ ℏ ⁄ 2 , чьи ожидаемые значения наблюдаемых развиваются как классическая система. Они являются собственными векторами оператора уничтожения, а не гамильтониана, и образуют сверхполный базис, который, следовательно, лишен ортогональности.

Когерентные состояния индексируются α ∈ C и выражаются через | n ⟩ базис как

$${\displaystyle |\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|\alpha \rangle =e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}e^{\alpha a^{\dagger }}e^{-{\alpha ^{*}a}}|0\rangle .}$$

Поскольку когерентные состояния не являются собственными энергетическими состояниями, их эволюция во времени не является простым сдвигом фазы волновой функции. Однако развивающиеся во времени состояния также являются когерентными состояниями, но вместо этого имеют параметр фазового сдвига α : . ${\displaystyle \alpha (t)=\alpha (0)e^{-i\omega t}=\alpha _{0}e^{-i\omega t}}$

$${\displaystyle |\alpha (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }e^{-i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\omega t}|n\rangle \langle n|\alpha \rangle =e^{\frac {-i\omega t}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}|\alpha |^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha e^{-i\omega t})^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle =e^{-{\frac {i\omega t}{2}}}|\alpha e^{-i\omega t}\rangle }$$

Поскольку и согласно тождеству Кермака-МакКрея, последняя форма эквивалентна унитарному оператору смещения , действующему на основное состояние: . Вычисление ожидаемых значений: ${\displaystyle a\left|0\right\rangle =0}$ ${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle }$

${\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha (t)}={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}|\alpha _{0}|\cos {(\omega t-\phi )}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha (t)}=-{\sqrt {2m\hbar \omega }}|\alpha _{0}|\sin {(\omega t-\phi )}}$

где – фаза, вносимая комплексом α . Эти уравнения подтверждают колебательное поведение частицы. ${\displaystyle \phi }$

Неопределенность, рассчитанная с использованием численного метода, составляет:

${\displaystyle \sigma _{x}(t)={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}}$

${\displaystyle \sigma _{p}(t)={\sqrt {\frac {m\hbar \omega }{2}}}}$

который дает . Поскольку единственная волновая функция, которая может иметь наименьшую неопределенность положения-импульса, является гауссовой волновой функцией, и поскольку волновая функция когерентного состояния имеет минимальную неопределенность положения-импульса, мы отмечаем, что общая гауссова волновая функция в квантовой механике имеет форму: ${\textstyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\hbar }{2}}}$

$${\displaystyle \psi _{\alpha }(x')=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {i}{\hbar }}\langle {\hat {p}}\rangle _{\alpha }(x'-{\frac {\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha }}{2}})-{\frac {m\omega }{2\hbar }}(x'-\langle {\hat {x}}\rangle _{\alpha })^{2}}.}$$

Вероятность каждого собственного состояния энергии можно рассчитать, чтобы найти распределение энергии волновой функции:

${\displaystyle P(E_{n})=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {e^{-|\alpha |^{2}}|\alpha |^{2n}}{n!}}}$

что соответствует распределению Пуассона .

Сильно возбужденные состояния

Волновая функция (вверху) и плотность вероятности (внизу) для возбужденного состояния квантового гармонического осциллятора с n = 30 . Вертикальные пунктирные линии обозначают классические точки поворота, а пунктирная линия представляет классическую плотность вероятности.

При больших n собственные состояния локализуются в классической разрешенной области, т. е. в области, в которой может двигаться классическая частица с _{энергией} En . Собственные состояния имеют максимум вблизи точек поворота: точек на концах классически разрешенной области, где классическая частица меняет направление. Это явление можно проверить с помощью асимптотики полиномов Эрмита , а также с помощью приближения ВКБ .

Частота колебаний в точке x пропорциональна импульсу p ( x ) классической частицы с энергией En и _{положением} x . Более того, квадрат амплитуды (определяющий плотность вероятности) обратно пропорционален p ( x ) , отражая время, в течение которого классическая частица проводит вблизи x . Поведение системы в малой окрестности точки поворота не имеет простого классического объяснения, но может быть смоделировано с помощью функции Эйри . Используя свойства функции Эйри, можно оценить вероятность обнаружения частицы вне классически разрешенной области приблизительно равной

$${\displaystyle {\frac {2}{n^{1/3}3^{2/3}\Gamma ^{2}({\tfrac {1}{3}})}}={\frac {1}{n^{1/3}\cdot 7.46408092658...}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{(2n+1)\left(x-{\tfrac {1}{2}}\sinh(2x)\right)}dx~.}$$

Решения для фазового пространства

В формулировке квантовой механики в фазовом пространстве собственные состояния квантового гармонического осциллятора в нескольких различных представлениях распределения квазивероятностей могут быть записаны в замкнутой форме. Наиболее широко из них используется квазивероятностное распределение Вигнера .

Распределение квазивероятностей Вигнера для собственного состояния энергии | n ⟩ в натуральных единицах, описанных выше, ^{[ нужна цитация ]}

$${\displaystyle F_{n}(x,p)={\frac {(-1)^{n}}{\pi \hbar }}L_{n}\left(2(x^{2}+p^{2})\right)e^{-(x^{2}+p^{2})}\,,}$$

L _nполиномы Лагеррасвязаныкарту Вигнера

Между тем, Q-функция Хусими собственных состояний гармонического осциллятора имеет еще более простой вид. Если мы будем работать в натуральных единицах, описанных выше, мы получим

$${\displaystyle Q_{n}(x,p)={\frac {(x^{2}+p^{2})^{n}}{n!}}{\frac {e^{-(x^{2}+p^{2})}}{\pi }}}$$

преобразования Сигала – Баргманаповышающий оператор в представлении Сигала-Баргмана ${\displaystyle z=x+ip}$ ${\displaystyle z^{n}/{\sqrt {n!}}}$

N -мерный изотропный гармонический осциллятор

Одномерный гармонический осциллятор легко обобщается на N измерений, где N = 1, 2, 3,… . В одном измерении положение частицы задавалось одной координатой x . В N измерениях это заменяется N координатами положения, которые мы обозначаем x ₁ , …, x _N . Каждой координате положения соответствует импульс; мы обозначаем их p ₁ , …, p _N . Канонические коммутационные соотношения между этими операторами имеют вид

$${\displaystyle {\begin{aligned}{[}x_{i},p_{j}{]}&=i\hbar \delta _{i,j}\\{[}x_{i},x_{j}{]}&=0\\{[}p_{i},p_{j}{]}&=0\end{aligned}}}$$

Гамильтониан для этой системы есть

$${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{N}\left({p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x_{i}^{2}\right).}$$

Как ясно видно из формы этого гамильтониана, N -мерный гармонический осциллятор в точности аналогичен N независимым одномерным гармоническим осцилляторам с той же массой и жесткостью пружины. В этом случае величины x ₁ , ..., x _N будут относиться к положениям каждой из N частиц. Это удобное свойство потенциала r ² , позволяющее разделить потенциальную энергию на слагаемые, зависящие каждый от одной координаты.

Это наблюдение делает решение простым. Для определенного набора квантовых чисел собственные функции энергии N -мерного осциллятора выражаются через одномерные собственные функции как: ${\displaystyle \{n\}\equiv \{n_{1},n_{2},\dots ,n_{N}\}}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {x} |\psi _{\{n\}}\rangle =\prod _{i=1}^{N}\langle x_{i}\mid \psi _{n_{i}}\rangle }$$

В методе лестничных операторов мы определяем N наборов лестничных операторов,

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}+{i \over m\omega }p_{i}\right),\\a_{i}^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x_{i}-{i \over m\omega }p_{i}\right).\end{aligned}}}$$

Затем, используя процедуру, аналогичную одномерному случаю, мы можем показать, что каждый из операторов a _i и a ^† _i понижает и увеличивает энергию на ℏω соответственно. Гамильтониан

$${\displaystyle H=\hbar \omega \,\sum _{i=1}^{N}\left(a_{i}^{\dagger }\,a_{i}+{\frac {1}{2}}\right).}$$

U ( N )N

$${\displaystyle U\,a_{i}^{\dagger }\,U^{\dagger }=\sum _{j=1}^{N}a_{j}^{\dagger }\,U_{ji}\quad {\text{for all}}\quad U\in U(N),}$$

U ( N ) ${\displaystyle U_{ji}}$

Энергетические уровни системы

$${\displaystyle E=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right].}$$

$${\displaystyle n_{i}=0,1,2,\dots \quad ({\text{the energy level in dimension }}i).}$$

Как и в одномерном случае, энергия квантуется. Энергия основного состояния в N раз превышает одномерную основную энергию, как и следовало ожидать, используя аналогию с N независимыми одномерными осцилляторами. Есть еще одно отличие: в одномерном случае каждому энергетическому уровню соответствует уникальное квантовое состояние. В N -мерностях, за исключением основного состояния, уровни энергии вырождены , то есть существует несколько состояний с одинаковой энергией.

Вырождение можно относительно легко вычислить. В качестве примера рассмотрим трехмерный случай: Определите n = n ₁ + n ₂ + n ₃ . Все состояния с одинаковым n будут иметь одинаковую энергию. Для данного n мы выбираем конкретное n ₁ . Тогда п ₂ + п ₃ знак равно п - п ₁ . Существует n − n ₁ + 1 возможных пар { n ₂ , n ₃ } . n ₂ может принимать значения от 0 до n − n ₁ , и для каждого n ₂ значение n ₃ фиксировано. Таким образом, степень вырождения равна:

$${\displaystyle g_{n}=\sum _{n_{1}=0}^{n}n-n_{1}+1={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$$

Nng _nnU ( N )

$${\displaystyle g_{n}={\binom {N+n-1}{n}}}$$

N = 3 непосредственно следует из этого общего уравнения. NN,N.

$${\displaystyle g_{n}=p(N_{-},n)}$$

Это возникает из-за ограничения помещения N квантов в состояние ket где и , которые являются теми же ограничениями, что и при целочисленном разделении. ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }kn_{k}=n}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }n_{k}=N}$

Пример: трехмерный изотропный гармонический генератор.

Трехмерные сферические гармонические орбитальные решения Шрёдингера на двумерных графиках плотности; исходный код Mathematica , который использовался для создания графиков, находится вверху.

Уравнение Шредингера для частицы в сферически-симметричном трехмерном гармоническом осцилляторе можно решить явно путем разделения переменных; см. эту статью для настоящего случая. Эта процедура аналогична разделению, выполненному в задаче о водородоподобном атоме , но с другим сферически-симметричным потенциалом.

$${\displaystyle V(r)={1 \over 2}\mu \omega ^{2}r^{2},}$$

цmμm

Решение уравнения: ^[7]

$${\displaystyle \psi _{klm}(r,\theta ,\phi )=N_{kl}r^{l}e^{-\nu r^{2}}L_{k}^{\left(l+{1 \over 2}\right)}(2\nu r^{2})Y_{lm}(\theta ,\phi )}$$

${\displaystyle N_{kl}={\sqrt {{\sqrt {\frac {2\nu ^{3}}{\pi }}}{\frac {2^{k+2l+3}\;k!\;\nu ^{l}}{(2k+2l+1)!!}}}}~~}$– константа нормализации; ; ${\displaystyle \nu \equiv {\mu \omega \over 2\hbar }~}$

${\displaystyle {L_{k}}^{(l+{1 \over 2})}(2\nu r^{2})}$

— обобщенные полиномы Лагерра ; Порядок k многочлена является неотрицательным целым числом;

• ${\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )\,}$– сферическая гармоническая функция ;
• ħ — приведенная постоянная Планка : ${\displaystyle \hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }}~.}$

Собственное значение энергии

$${\displaystyle E=\hbar \omega \left(2k+l+{\frac {3}{2}}\right).}$$

квантовым числом

$${\displaystyle n\equiv 2k+l\,.}$$

Поскольку k — неотрицательное целое число, для каждого четного n имеем ℓ = 0, 2, …, n − 2, n , а для каждого нечетного n имеем ℓ = 1, 3, …, n − 2, n . Магнитное квантовое число m является целым числом, удовлетворяющим - ℓ ≤ m ≤ ℓ , поэтому для каждых n и ℓ существует 2 ℓ  + 1 различных квантовых состояний , помеченных m . Таким образом, вырождение на уровне n равно

$${\displaystyle \sum _{l=\ldots ,n-2,n}(2l+1)={(n+1)(n+2) \over 2}\,,}$$

nSU(3)^[8]

Приложения

Решетка гармонических осцилляторов: фононы

Обозначение гармонического осциллятора можно распространить на одномерную решетку из многих частиц. Рассмотрим одномерную квантовомеханическую гармоническую цепочку из N одинаковых атомов. Это простейшая квантовомеханическая модель решетки, и мы увидим, как из нее возникают фононы . Формализм, который мы разработаем для этой модели, легко обобщается на два и три измерения.

Как и в предыдущем разделе, мы обозначаем положения масс через x ₁ , x ₂ , … , измеренные от их положений равновесия (т. е. x _i = 0 , если частица i находится в положении равновесия). В двух или более измерениях x _i являются векторными величинами. Гамильтониан для этой системы есть

$${\displaystyle \mathbf {H} =\sum _{i=1}^{N}{p_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}(x_{i}-x_{j})^{2}\,,}$$

mxi _и pi _—импульсаi-нормальных модвекторапространстве Фурье

Суперпозиция трех колеблющихся диполей - иллюстрирует распространение во времени общей волновой функции для разных n,l,m.

Затем мы вводим набор из N «нормальных координат» Qk , определенных как дискретные преобразования Фурье x s, и N «сопряженных импульсов» Π _, определенных как преобразования Фурье p s ,

$${\displaystyle Q_{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}}$$

$${\displaystyle \Pi _{k}={1 \over {\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}\,.}$$

Величина k _n окажется волновым числом фонона, т. е. 2 π , деленным на длину волны . Он принимает квантованные значения, поскольку число атомов конечно.

Это сохраняет желаемые коммутационные соотношения либо в реальном пространстве, либо в пространстве волновых векторов.

Другая иллюстрация распространения во времени общей волновой функции для трех разных атомов подчеркивает влияние углового момента на поведение распределения

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x_{l},p_{m}\right]&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left[Q_{k},\Pi _{k'}\right]&={1 \over N}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik'am}[x_{l},p_{m}]\\&={i\hbar \over N}\sum _{m}e^{iam(k-k')}=i\hbar \delta _{k,k'}\\\left[Q_{k},Q_{k'}\right]&=\left[\Pi _{k},\Pi _{k'}\right]=0~.\end{aligned}}}$$

Из общего результата

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={1 \over N}\sum _{kk'}Q_{k}Q_{k'}\sum _{l}e^{ial\left(k+k'\right)}e^{iamk'}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}~,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{j}(x_{j}-x_{j+1})^{2}={1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={1 \over 2}m\sum _{k}{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}~,}$$

$${\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}(1-\cos(ka))}}~.}$$

Гамильтониан можно записать в пространстве волновых векторов как

$${\displaystyle \mathbf {H} ={1 \over {2m}}\sum _{k}\left({\Pi _{k}\Pi _{-k}}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)~.}$$

Обратите внимание, что связи между переменными положения были преобразованы; если бы Q и Π были эрмитовыми (а это не так), преобразованный гамильтониан описывал бы N несвязанных гармонических осцилляторов.

Форма квантования зависит от выбора граничных условий; для простоты мы налагаем периодические граничные условия, определяя ( N + 1) -й атом как эквивалентный первому атому. Физически это соответствует соединению концов цепи. Результирующее квантование

$${\displaystyle k=k_{n}={2n\pi \over Na}\quad {\hbox{for}}\ n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,\pm {N \over 2}.}$$

Верхняя граница n определяется минимальной длиной волны, которая в два раза превышает шаг решетки a , как обсуждалось выше.

Собственные значения гармонического осциллятора или уровни энергии для моды ω _k равны

$${\displaystyle E_{n}=\left({1 \over 2}+n\right)\hbar \omega _{k}\quad {\hbox{for}}\quad n=0,1,2,3,\ldots }$$

Если мы пренебрегаем энергией нулевой точки , то уровни будут равномерно распределены по точкам.

$${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {7}{2}}\hbar \omega \ \cdots }$$

Таким образом , точное количество энергии ħω должно быть передано в решетку гармонического осциллятора, чтобы подтолкнуть ее на следующий энергетический уровень. По аналогии со случаем фотона , когда электромагнитное поле квантовано, квант колебательной энергии называется фононом .

Все квантовые системы обладают волновыми и корпускулярными свойствами. Частичноподобные свойства фонона лучше всего понять, используя методы вторичного квантования и операторные методы, описанные в других источниках. ^[9]

В пределе континуума a  → 0 , N  → ∞ , в то время как Na остается фиксированным. Канонические координаты Q _k переходят в разделенные моды импульса скалярного поля, в то время как индекс местоположения i ( а не динамическая переменная смещения ) становится аргументом параметра x скалярного поля, . ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle \phi (x,t)}$

Молекулярные вибрации

• Колебания двухатомной молекулы являются примером двухчастичной версии квантового гармонического осциллятора. В этом случае угловая частота определяется выражением
  $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{\mu }}}}$$
  где – приведенная масса , и – массы двух атомов. ^[10] ${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$
• Атом Гука — это простая модель атома гелия , использующая квантовый гармонический осциллятор.
• Моделирование фононов, как обсуждалось выше.
• Заряд с массой в однородном магнитном поле является примером одномерного квантового гармонического осциллятора: квантования Ландау . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Смотрите также

• Квантовый маятник
• Квантовая машина  - созданное человеком устройство, коллективное движение которого подчиняется законам квантовой механики.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Газ в гармонической ловушке  – Квантовомеханическая модель
• Операторы создания и уничтожения  - операторы, полезные в квантовой механике.
• Когерентное состояние  - особое квантовое состояние квантового гармонического осциллятора.
• Потенциал Морса  - Модель потенциальной энергии двухатомной молекулы.
• Теорема Бертрана  - Физическая теорема
• Ядро Мелера
• Молекулярная вибрация  - периодическое движение атомов молекулы.

Примечания

1. Константа нормализации равна и удовлетворяет условию нормализации . ${\displaystyle C=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1}/{4}}}$ ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}(x)^{*}\psi _{0}(x)dx=1}$

Рекомендации

1. Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-805326-0.
2. Либофф, Ричард Л. (2002). Введение в квантовую механику . Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-8053-8714-8.
3. Рашид, Мунир А. (2006). «Амплитуда перехода для линейного гармонического осциллятора, зависящего от времени, с добавлением к гамильтониану линейных, зависящих от времени членов» ( PDF — Microsoft PowerPoint ) . М.А. Рашид – Центр высшей математики и физики . Национальный центр физики . Проверено 19 октября 2010 г.
4. Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, Теорема 11.4, ISBN 978-1461471158
5. Паули, В. (2000), Волновая механика: Том 5 лекций Паули по физике (Дуврские книги по физике). ISBN 978-0486414621  ; Раздел 44. 
6. Кондон, ЕС (1937). «Погружение преобразования Фурье в непрерывную группу функциональных преобразований», Учеб. Натл. акад. наук. США 23 , 158–164. В сети
7. Альберт Мессия , Квантовая механика , 1967, Северная Голландия, Глава XII, § 15, стр. 456.онлайн
8. Фрадкин, Д.М. «Трехмерный изотропный гармонический генератор и SU3». Американский журнал физики 33 (3) (1965) 207–211.
9. Махан, Джорджия (1981). Многие физики элементарных частиц . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0306463389.
10. "Квантовый гармонический осциллятор". Гиперфизика . Проверено 24 сентября 2009 г.

Внешние ссылки

• Квантовый гармонический осциллятор
• Обоснование выбора лестничных операторов
• Живые трехмерные графики интенсивности квантового гармонического осциллятора
• Управляемый и затухающий квантовый гармонический генератор (конспект лекций курса «Квантовая оптика в электрических цепях»)