Оператор импульса

Оператор в квантовой механике

В квантовой механике оператор импульса — это оператор , связанный с линейным импульсом . Оператор импульса в позиционном представлении является примером дифференциального оператора . Для случая одной частицы в одном пространственном измерении определение следующее:

$${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$$

ħприведенная константа Планкаi —единица измеренияxполной производнойd / dx ${\displaystyle \partial /\partial x}$

$${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$

В базисе гильбертова пространства , состоящем из собственных состояний импульса , выраженных в представлении импульса, действие оператора представляет собой простое умножение на p , т. е. это оператор умножения , точно так же, как оператор положения является оператором умножения в представлении положения. Обратите внимание, что приведенное выше определение представляет собой канонический импульс , который не является калибровочным инвариантом и не является измеримой физической величиной для заряженных частиц в электромагнитном поле . В этом случае канонический импульс не равен кинетическому импульсу .

Во время разработки квантовой механики в 1920-х годах оператор импульса был открыт многими физиками-теоретиками, в том числе Нильсом Бором , Арнольдом Зоммерфельдом , Эрвином Шрёдингером и Юджином Вигнером . Его существование и форму иногда принимают за один из основополагающих постулатов квантовой механики.

Возникновение плоских волн де Бройля.

Операторы импульса и энергии можно построить следующим образом. ^[1]

Одно измерение

Начиная с одного измерения, используя решение уравнения Шрёдингера для одной свободной частицы в виде плоских волн :

$${\displaystyle \psi (x,t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)},}$$

pxE

$${\displaystyle {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}={\frac {ip}{\hbar }}e^{{\frac {i}{\hbar }}(px-Et)}={\frac {ip}{\hbar }}\psi .}$$

Отсюда следует операторная эквивалентность

$${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$$

собственным значением

Поскольку частная производная является линейным оператором , оператор импульса также является линейным, и поскольку любая волновая функция может быть выражена как суперпозиция других состояний, когда этот оператор импульса действует на всю наложенную волну, он дает собственные значения импульса для каждой плоскости. волновая составляющая. Эти новые компоненты затем накладываются друг на друга, образуя новое состояние, обычно не кратное старой волновой функции.

Три измерения

Вывод в трех измерениях тот же, за исключением того, что вместо одной частной производной используется оператор градиента del . В трех измерениях решение уравнения Шредингера в виде плоской волны имеет вид:

$${\displaystyle \psi =e^{{\frac {i}{\hbar }}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \psi &=\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {i}{\hbar }}\left(p_{x}\mathbf {e} _{x}+p_{y}\mathbf {e} _{y}+p_{z}\mathbf {e} _{z}\right)\psi \\&={\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \psi \end{aligned}}}$$

e _xe _ye _zединичные векторы

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$

Этот оператор импульса находится в пространстве позиций, поскольку частные производные были взяты по пространственным переменным.

Определение (позиционное пространство)

Для одиночной частицы без электрического заряда и спина оператор импульса может быть записан в базисе позиций как: ^[2]

$${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$

∇градиентаħприведенная постоянная Планкаiмнимая единица

В одном пространственном измерении это становится ^[3]

$${\displaystyle {\hat {p}}={\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\partial \over \partial x}.}$$

Это выражение для канонического импульса . Для заряженной частицы q в электромагнитном поле при калибровочном преобразовании позиционная пространственная волновая функция претерпевает локальное групповое преобразование U(1) ^[4] и меняет свое значение. Следовательно, канонический импульс не является калибровочным инвариантом и, следовательно, не является измеримой физической величиной. ${\textstyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$

Кинетический импульс , калибровочно-инвариантная физическая величина, может быть выражен через канонический импульс, скалярный потенциал  φ и векторный потенциал  A : ^[5]

$${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} }$$

Выражение выше называется минимальной связью . Для электрически нейтральных частиц канонический импульс равен кинетическому импульсу.

Характеристики

Эрмитичность

Оператор импульса всегда является эрмитовым оператором (более технически, в математической терминологии, «самосопряженным оператором»), когда он действует на физические (в частности, нормализуемые ) квантовые состояния. ^[6]

(В некоторых искусственных ситуациях, таких как квантовые состояния на полубесконечном интервале [0, ∞) , невозможно сделать оператор импульса эрмитовым. ^[7] Это тесно связано с тем фактом, что полубесконечный интервал не может обладать трансляционной симметрией, точнее, у него нет унитарных операторов сдвига . См. ниже.)

Каноническое коммутационное соотношение

Применяя коммутатор к произвольному состоянию в базисе положения или импульса, можно легко показать, что:

$${\displaystyle \left[{\hat {x}},{\hat {p}}\right]={\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}}=i\hbar .}$$

Принцип неопределенности Гейзенберга определяет пределы того, насколько точно можно одновременно знать импульс и положение одной наблюдаемой системы. В квантовой механике положение и импульс являются сопряженными переменными .

преобразование Фурье

В следующем обсуждении используется обозначение Брекета . Можно написать

$${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle =\int \!\!dp~\langle x|p\rangle \langle p|\psi \rangle =\int \!\!dp~{e^{ixp/\hbar }{\tilde {\psi }}(p) \over {\sqrt {2\pi \hbar }}},}$$

$${\displaystyle {\hat {p}}=\int \!\!dp~|p\rangle p\langle p|=-i\hbar \int \!\!dx~|x\rangle {\frac {d}{dx}}\langle x|~,}$$

$${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\psi (x).}$$

Аналогичный результат применим для оператора положения в базисе импульса:

$${\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\psi (p),}$$

$${\displaystyle \langle p|{\hat {x}}|p'\rangle =i\hbar {\frac {d}{dp}}\delta (p-p'),}$$

$${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|x'\rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\delta (x-x'),}$$

δдельта-функцию Дирака

Вывод из бесконечно малых переводов

Оператор перевода обозначается T ( ε ) , где ε представляет длину перевода. Он удовлетворяет следующему тождеству:

$${\displaystyle T(\varepsilon )|\psi \rangle =\int dxT(\varepsilon )|x\rangle \langle x|\psi \rangle }$$

$${\displaystyle \int dx|x+\varepsilon \rangle \langle x|\psi \rangle =\int dx|x\rangle \langle x-\varepsilon |\psi \rangle =\int dx|x\rangle \psi (x-\varepsilon )}$$

Предполагая, что функция ψ аналитична (т.е. дифференцируема в некоторой области комплексной плоскости ), ее можно разложить в ряд Тейлора относительно x :

$${\displaystyle \psi (x-\varepsilon )=\psi (x)-\varepsilon {\frac {d\psi }{dx}}}$$

бесконечно малыхε

$${\displaystyle T(\varepsilon )=1-\varepsilon {d \over dx}=1-{i \over \hbar }\varepsilon \left(-i\hbar {d \over dx}\right)}$$

Как известно из классической механики , импульс является генератором перемещения , поэтому связь между операторами перемещения и импульса следующая ^[8] : ^{[ требуется дальнейшее объяснение ]}

$${\displaystyle T(\varepsilon )=1-{\frac {i}{\hbar }}\varepsilon {\hat {p}}}$$

$${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}.}$$

оператор 4-импульса

Вставка приведенного выше оператора 3d-импульса и оператора энергии в 4-импульс (как 1-форма с (+ - - -) метрической сигнатурой ):

$${\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {p} \right)}$$

получает оператор 4-импульса :

$${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left({\frac {1}{c}}{\hat {E}},-\mathbf {\hat {p}} \right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=i\hbar \partial _{\mu }}$$

где ∂ _µ — 4-градиент , а − iħ  становится + iħ  , предшествующим оператору 3-импульса. Этот оператор встречается в релятивистской квантовой теории поля , такой как уравнение Дирака и другие релятивистские волновые уравнения , поскольку энергия и импульс объединяются в приведенный выше вектор 4-импульса, операторы импульса и энергии соответствуют производным по пространству и времени, и они должны быть сначала частные производные порядка для лоренц-ковариации .

Оператор Дирака и косая черта Дирака 4-импульса задаются путем сжатия гамма-матриц :

$${\displaystyle \gamma ^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }=i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\hat {P}}=i\hbar \partial \!\!\!/}$$

Если бы подпись была (− + + +) , оператор был бы

$${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu }=\left(-{\frac {1}{c}}{\hat {E}},\mathbf {\hat {p}} \right)=-i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)=-i\hbar \partial _{\mu }}$$

вместо.

Смотрите также

• Математические описания электромагнитного поля
• Оператор перевода (квантовая механика)
• Релятивистские волновые уравнения
• Псевдовектор Паули – Любанского

Рекомендации

1. Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Айсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN  978-0-471-87373-0
2. Квантовая механика демистифицирована , Д. МакМахон, Мак Гроу Хилл (США), 2006, ISBN 0-07-145546-9 
3. В представлении координат положения, то есть ${\textstyle -i\hbar \int dx\left|x\right\rangle \partial _{x}\langle x|.}$
4. Зинн-Джастин, Жан; Гуида, Риккардо (4 декабря 2008 г.). «Калибровочная инвариантность». Схоларпедия . 3 (12): 8287. Бибкод : 2008SchpJ...3.8287Z. doi : 10.4249/scholarpedia.8287 . ISSN  1941-6016.
5. Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание), Р. Резник, Р. Айсберг, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
6. См. Примечания к лекции 1 Роберта Литтлджона, заархивированные 17 июня 2012 г. в Wayback Machine , где содержится конкретное математическое обсуждение и доказательство для случая одиночной незаряженной частицы с нулевым спином. Общий случай см. в примечаниях к лекции 4 Роберта Литтлджона.
7. Бонно, Г., Фараут, Дж., Валент, Г. (2001). «Самосопряженные расширения операторов и преподавание квантовой механики». Американский журнал физики . 69 (3): 322–331. arXiv : Quant-ph/0103153 . Бибкод : 2001AmJPh..69..322B. дои : 10.1119/1.1328351. S2CID  16949018.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. Сакураи, Джун Джон; Наполитано, Джим (2021). Современная квантовая механика (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-108-47322-4.