Релятивистские волновые уравнения

Волновые уравнения, относящиеся к специальной и общей теории относительности

В физике , особенно в релятивистской квантовой механике (РКМ) и ее приложениях к физике элементарных частиц , релятивистские волновые уравнения предсказывают поведение частиц при высоких энергиях и скоростях , сравнимых со скоростью света . В контексте квантовой теории поля (КТП) уравнения определяют динамику квантовых полей . Решения уравнений, обычно обозначаемые как ψ или Ψ ( греческий psi ), называются « волновыми функциями » в контексте RQM и « полями » в контексте QFT. Сами уравнения называются «волновыми уравнениями» или «уравнениями поля», потому что они имеют математическую форму волнового уравнения или генерируются из лагранжевой плотности и теоретико-полевых уравнений Эйлера – Лагранжа ( предысторию см. в классической теории поля ).

В картине Шредингера волновая функция или поле является решением уравнения Шрёдингера ;

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ={\hat {H}}\psi }$$

постулатов квантовой механикиоператора Ĥквантовую системуформулировка интеграла по траекториямиспользует

В более общем плане – современный формализм, лежащий в основе релятивистских волновых уравнений, – это теория групп Лоренца , в которой спин частицы соответствует представлениям группы Лоренца . ^[1]

История

Начало 1920-х годов: классическая и квантовая механика.

Неудача классической механики применительно к молекулярным , атомным , ядерным системам и более мелким системам вызвала необходимость в новой механике: квантовой механике . Математическая формулировка была разработана Де Бройлем , Бором , Шрёдингером , Паули , Гейзенбергом и другими примерно в середине 1920-х годов и в то время была аналогична формулировке классической механики. Уравнение Шредингера и картина Гейзенберга напоминают классические уравнения движения в пределе больших квантовых чисел , а поскольку приведенная постоянная Планка ħ , квант действия , стремится к нулю. Это принцип соответствия . На тот момент специальная теория относительности не была полностью объединена с квантовой механикой, поэтому формулировки Шредингера и Гейзенберга в том виде, в котором они первоначально предлагались, не могли использоваться в ситуациях, когда частицы движутся со скоростью, близкой к скорости света , или когда число частиц каждого типа изменения (это происходит при реальных взаимодействиях частиц ; многочисленные формы распада частиц , аннигиляции , создания материи , образования пар и так далее).

Конец 1920-х годов: релятивистская квантовая механика спина 0 и спина.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2частицы

Многие физики-теоретики искали описание квантово-механических систем, которое могло бы объяснить релятивистские эффекты; с конца 1920-х до середины 1940-х годов. ^[2] Первая основа релятивистской квантовой механики , то есть специальной теории относительности, применяемой совместно с квантовой механикой, была найдена всеми теми, кто открыл то, что часто называют уравнением Клейна-Гордона :

вставив оператор энергии и оператор импульса в релятивистское соотношение энергия-импульс :

Решениями ( 1 ) являются скалярные поля . Уравнение КГ нежелательно из-за его предсказания отрицательных энергий и вероятностей в результате квадратичного характера ( 2 ) – неизбежного в релятивистской теории. Первоначально это уравнение было предложено Шредингером, и он отказался от него по таким причинам только для того, чтобы через несколько месяцев понять, что его нерелятивистский предел (то, что сейчас называется уравнением Шредингера ) все еще имеет значение. Тем не менее, – ( 1 ) применимо к бозонам со спином 0 . ^[3]

Ни нерелятивистские, ни релятивистские уравнения, найденные Шредингером, не могли предсказать тонкую структуру спектрального ряда водорода . Загадочным основным свойством было вращение . Первые двумерные спиновые матрицы (более известные как матрицы Паули ) были введены Паули в уравнение Паули ; уравнение Шредингера с нерелятивистским гамильтонианом, включающим дополнительный член для частиц в магнитных полях , но это было феноменологически . Вейль нашел релятивистское уравнение в терминах матриц Паули; уравнение Вейля для безмассового спин-1/2фермионы. Проблема была решена Дираком в конце 1920-х годов, когда он добился дальнейшего применения уравнения ( 2 ) к электрону – путем различных манипуляций он факторизовал уравнение к виду:

и одним из этих факторов является уравнение Дирака (см. ниже) после добавления операторов энергии и импульса. Впервые это ввело новые четырехмерные спиновые матрицы α и β в релятивистское волновое уравнение и объяснило тонкую структуру водорода. Решениями ( 3А ) являются многокомпонентные спинорные поля , и каждая компонента удовлетворяет ( 1 ). Замечательным результатом спинорных решений является то, что половина компонентов описывает частицу, а другая половина — античастицу ; в данном случае электрон и позитрон . Теперь известно, что уравнение Дирака применимо ко всем массивным спиновым1/2 фермионы . В нерелятивистском пределе уравнение Паули восстанавливается, тогда как в безмассовом случае получается уравнение Вейля.

Хотя уравнение Дирака является вехой в квантовой теории, оно справедливо только для спин-1/2фермионы, и до сих пор предсказывает решения с отрицательной энергией, что вызвало в то время споры (в частности, не всех физиков устраивало «море Дирака » состояний с отрицательной энергией).

1930–1960-е годы: релятивистская квантовая механика частиц с более высоким спином.

Стала ясна естественная задача: обобщить уравнение Дирака на частицы любого спина ; как фермионы, так и бозоны, и в тех же уравнениях их античастицы (возможно, из-за спинорного формализма, введенного Дираком в его уравнение, а также недавних на тот момент разработок спинорного исчисления Ван дер Вардена в 1929 году), и в идеале с решениями с положительной энергией. ^[2]

Эта проблема была введена и решена Майораной в 1932 году путем отклонения от Дирака. Майорана считал один «корень» ( 3А ):

где ψ — теперь спинорное поле с бесконечным числом компонент, несводимое к конечному числу тензоров или спиноров, чтобы устранить неопределенность в знаке. Матрицы α и β являются бесконечномерными матрицами, связанными с бесконечно малыми преобразованиями Лоренца . Он не требовал, чтобы каждый компонент 3B удовлетворял уравнению ( 2 ), вместо этого он восстановил уравнение, используя лоренц-инвариантное действие , посредством принципа наименьшего действия и применения теории групп Лоренца . ^{[4] [5]}

Майорана сделал и другие важные работы, которые не были опубликованы, включая волновые уравнения различных размерностей (5, 6 и 16). Позднее они были предвосхищены (более сложным образом) де Бройлем (1934), а Даффином, Кеммером и Петио (около 1938–1939) (см. « Алгебра Даффина – Кеммера – Петио» ) . Формализм Дирака-Фирца-Паули был более сложным, чем формализм Майораны, поскольку спиноры были новыми математическими инструментами в начале двадцатого века, хотя статью Майораны 1932 года было трудно полностью понять; Паули и Вигнеру потребовалось некоторое время, чтобы понять это, примерно в 1940 году. ^[2]

Дирак в 1936 году, а также Фирц и Паули в 1939 году построили уравнения из неприводимых спиноров A и B , симметричных по всем индексам, для массивной частицы со спином n + ½ для целого числа n ( значение пунктирных индексов см. в обозначениях Ван дер Вардена). ):

где p — импульс как ковариантный спинорный оператор. При n = 0 уравнения сводятся к связанным уравнениям Дирака, а A и B вместе преобразуются в исходный спинор Дирака . Исключение A или B показывает, что A и B удовлетворяют ( 1 ). ^[2] Прямой вывод уравнений Дирака-Паули-Фирца с использованием операторов Баргмана-Вигнера приведен в ^{[6] .}

В 1941 году Рарита и Швингер сосредоточились на частицах со спином 3/2 и вывели уравнение Рариты-Швингера , включая лагранжиан для его генерации, а позже обобщили уравнения, аналогичные спину n + ½ для целого числа n . В 1945 году Паули предложил Бхабхе статью Майораны 1932 года , который вернулся к общим идеям, введенным Майораной в 1932 году. Бхабха и Любански предложили совершенно общую систему уравнений, заменив массовые члены в ( 3A ) и ( 3B ) произвольной константой. , при соблюдении ряда условий, которым должны подчиняться волновые функции. ^[7]

Наконец, в 1948 году (тот же год, когда была сформулирована формулировка Фейнмана для интеграла по траекториям) Баргманн и Вигнер сформулировали общее уравнение для массивных частиц, которые могли иметь любой спин, рассмотрев уравнение Дирака с полностью симметричным спинором с конечными компонентами. и используя теорию групп Лоренца (как это сделал Майорана): уравнения Баргмана-Вигнера . ^{[2] [8] В начале 1960-х годов Х. Йоосом и} Стивеном Вайнбергом была сделана переформулировка уравнений Баргмана-Вигнера - уравнение Йоса- Вайнберга . Различные теоретики в это время проводили дальнейшие исследования релятивистских гамильтонианов для частиц с более высоким спином. ^{[1] [9] [10]}

1960-е – настоящее время

Релятивистское описание спиновых частиц было сложной проблемой в квантовой теории. Это все еще остается областью современных исследований, поскольку проблема решена лишь частично; включение взаимодействий в уравнения проблематично, и парадоксальные предсказания (даже из уравнения Дирака) все еще присутствуют. ^[5]

Линейные уравнения

Следующие уравнения имеют решения, удовлетворяющие принципу суперпозиции , то есть волновые функции аддитивны .

Повсюду используются стандартные обозначения тензорных индексов и косой черты Фейнмана , включая греческие индексы, которые принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов и 0 для времениподобных компонентов индексированных величин. Волновые функции обозначаются ψ , а ∂ _µ — компоненты четырехградиентного оператора .

В матричных уравнениях матрицы Паули обозначаются σ ^µ , в которых µ = 0, 1, 2, 3 , где σ ⁰ — единичная матрица размера 2 × 2 :

$${\displaystyle \sigma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\equiv \sigma ^{0}\partial _{0}+\sigma ^{1}\partial _{1}+\sigma ^{2}\partial _{2}+\sigma ^{3}\partial _{3}}$$

матричный оператор размера 2 × 2спинорные поля

Гамма - матрицы обозначаются γ ^µ , в которых µ снова = 0, 1, 2, 3 , и существует несколько представлений для выбора. Матрица γ0 не обязательно ^{является} единичной матрицей размера 4 ×4 . Выражение

$${\displaystyle i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc\equiv i\hbar (\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma ^{1}\partial _{1}+\gamma ^{2}\partial _{2}+\gamma ^{3}\partial _{3})+mc{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

матричный оператор размера 4 × 4спинорные поля

Обратите внимание, что такие термины, как скаляр « mc » , умножают единичную матрицу соответствующего измерения , распространенные размеры — 2 × 2 или 4 × 4 , и обычно для простоты их не пишут.

Линейные калибровочные поля

Уравнение Даффина -Кеммера-Петио представляет собой альтернативное уравнение для частиц со спином 0 и спином 1:

$${\displaystyle (i\hbar \beta ^{a}\partial _{a}-mc)\psi =0}$$

Создание RWE

Используя 4-векторы и соотношение энергии и импульса

Начните со стандартной 4-векторной специальной теории относительности (СТО).

• 4-позиционный ${\displaystyle X^{\mu }=\mathbf {X} =(ct,{\vec {\mathbf {x} }})}$
• 4-скоростной ${\displaystyle U^{\mu }=\mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})}$
• 4-импульс ${\displaystyle P^{\mu }=\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$
• 4-волновой вектор ${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$
• 4-градиент ${\displaystyle \partial ^{\mu }=\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)}$

Обратите внимание, что каждый 4-вектор связан с другим скаляром Лоренца :

• ${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} }$, где подходящее время ${\displaystyle \tau }$
• ${\displaystyle \mathbf {P} =m_{o}\mathbf {U} }$, где масса покоя ${\displaystyle m_{o}}$
• ${\displaystyle \mathbf {K} =(1/\hbar )\mathbf {P} }$, который представляет собой 4-векторную версию соотношения Планка–Эйнштейна и волнового соотношения материи де Бройля.
• ${\displaystyle \mathbf {\partial } =-i\mathbf {K} }$, который представляет собой 4-градиентную версию комплексных плоских волн

Теперь просто примените стандартное правило скалярного произведения Лоренца к каждому из них:

• ${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =(c)^{2}}$
• ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{o}c)^{2}}$
• ${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {K} =\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } =\left({\frac {-im_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}}$

Последнее уравнение представляет собой фундаментальное квантовое соотношение.

Применительно к скалярному полю Лоренца получается уравнение Клейна-Гордона, самое основное из квантовых релятивистских волновых уравнений. ${\displaystyle \psi }$

• ${\displaystyle \left[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$: в 4-векторном формате
• ${\displaystyle \left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$: в тензорном формате
• ${\displaystyle \left[(\hbar \partial _{\mu }+im_{o}c)(\hbar \partial ^{\mu }-im_{o}c)\right]\psi =0}$: в факторизованном тензорном формате

Уравнение Шрёдингера — это предельный случай низкой скорости ( v  <<  c ) уравнения Клейна–Гордона .

Когда соотношение применяется к четырехвекторному полю вместо скалярного поля Лоренца , тогда получается уравнение Прока (в калибровке Лоренца ): ${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \left[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\mu }=0}$$

Если член массы покоя равен нулю (светоподобные частицы), то это дает свободное уравнение Максвелла (в калибровке Лоренца )

$${\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } ]A^{\mu }=0}$$

Представления группы Лоренца.

При правильном ортохронном преобразовании Лоренца x → Λ x в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния ψ ^j _σ спина j с z-компонентой спина σ локально преобразуются при некотором представлении D группы Лоренца : ^{[12] [13]}

$${\displaystyle \psi (x)\rightarrow D(\Lambda )\psi (\Lambda ^{-1}x)}$$

D (Λ)ψвектор-столбецσчисла jσσj .

Неприводимые представления помечены парой полуцелых или целых чисел ( A , B ) . Из них можно построить все остальные представления, используя различные стандартные методы, например, взяв тензорные произведения и прямые суммы . В частности, само пространство-время представляет собой 4-векторное представление (1/2,1/2) так что Λ ∈ D' ^{(1/2, 1/2)} . Чтобы поместить это в контекст; Спиноры Дирака преобразуются под действием (1/2, 0) ⊕ (0,1/2) представление. В общем, пространство представления ( A , B ) имеет подпространства , которые под подгруппой пространственных вращений SO(3) преобразуются неприводимо, как объекты спина j , где каждое допустимое значение:

$${\displaystyle j=A+B,A+B-1,\dots ,|A-B|,}$$

^[14]тензорные произведения неприводимых представлений

Представления D ^{( j , 0)} и D ^{(0, j )} могут каждое отдельно представлять частицы спина j . Состояние или квантовое поле в таком представлении не будет удовлетворять никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна – Гордона.

Нелинейные уравнения

Существуют уравнения, решения которых не удовлетворяют принципу суперпозиции.

Нелинейные калибровочные поля

• Уравнение Янга – Миллса : описывает неабелевое калибровочное поле.
• Уравнения Янга – Миллса – Хиггса : описывают неабелевое калибровочное поле, связанное с массивной частицей со спином 0.

Вращение 2

• Уравнения поля Эйнштейна : описывают взаимодействие материи с гравитационным полем (безмассовое поле со спином 2):
  $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$$
  Решением является метрическое тензорное поле , а не волновая функция.

Смотрите также

• Список уравнений ядерной физики и физики элементарных частиц
• Список уравнений квантовой механики
• Преобразование Лоренца
• Математические описания электромагнитного поля
  • Квантование электромагнитного поля
• Минимальная связь
• Скалярная теория поля
• Статус специальной теории относительности

Рекомендации

1. Т. Ярошевич; П. С. Курзепа (1992). «Геометрия пространственно-временного распространения вращающихся частиц». Анналы физики . 216 (2): 226–267. Бибкод : 1992AnPhy.216..226J. дои : 10.1016/0003-4916(92)90176-М.
2. С. Эспозито (2011). «В поисках уравнения: Дирак, Майорана и другие». Анналы физики . 327 (6): 1617–1644. arXiv : 1110.6878 . Бибкод : 2012AnPhy.327.1617E. дои : 10.1016/j.aop.2012.02.016. S2CID  119147261.
3. BR Мартин, Г.Шоу (2008). Физика частиц . Манчестерская серия по физике (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. п. 3. ISBN 978-0-470-03294-7.
4. Р. Казальбуони (2006). «Майорана и волновые уравнения с бесконечными компонентами». Пос Эмс . 2006 : 004. arXiv : hep-th/0610252 . Бибкод : 2006hep.th...10252C.
5. X. Бекарт; г-н Траубенберг; М. Валенсуэла (2009). «Бесконечный супермультиплет массивных полей с более высоким спином». Журнал физики высоких энергий . 2009 (5): 118. arXiv : 0904.2533 . Бибкод : 2009JHEP...05..118B. дои : 10.1088/1126-6708/2009/05/118. S2CID  16285006.
6. А.П. Исаев; М.А. Подойницын (2018). «Двухспинорное описание массивных частиц и релятивистские операторы проекции спина». Ядерная физика Б . 929 : 452–484. arXiv : 1712.00833 . Бибкод : 2018NuPhB.929..452I. doi :10.1016/j.nuclphysb.2018.02.013. S2CID  59582838.
7. РК Лойде; И. Отс; Р. Саар (1997). «Релятивистские волновые уравнения Бхабхи». Журнал физики A: Математический и общий . 30 (11): 4005–4017. Бибкод : 1997JPhA...30.4005L. дои : 10.1088/0305-4470/30/11/027.
8. Баргманн, В.; Вигнер, EP (1948). «Групповое теоретическое обсуждение релятивистских волновых уравнений». Учеб. Натл. акад. наук. США . 34 (5): 211–23. Бибкод : 1948PNAS...34..211B. дои : 10.1073/pnas.34.5.211 . ПМК 1079095 . ПМИД  16578292. 
9. EA Джеффри (1978). «Минимизация компонентов волновой функции Баргмана – Вигнера». Австралийский физический журнал . 31 (2): 137–149. Бибкод : 1978AuJPh..31..137J. дои : 10.1071/ph780137 .
10. РФ Гертин (1974). «Релятивистские гамильтоновы уравнения для любого спина». Анналы физики . 88 (2): 504–553. Бибкод : 1974AnPhy..88..504G. дои : 10.1016/0003-4916(74)90180-8.
11. Р. Кларксон, DGC McKeon (2003). «Квантовая теория поля» (PDF) . стр. 61–69. Архивировано из оригинала (PDF) 30 мая 2009 г.
12. Вайнберг, С. (1964). «Правила Фейнмана для любого вращения» (PDF) . Физ. Преподобный . 133 (5Б): Б1318–Б1332. Бибкод : 1964PhRv..133.1318W. doi :10.1103/PhysRev.133.B1318. Архивировано из оригинала (PDF) 25 марта 2022 г. Проверено 29 декабря 2016 г.; Вайнберг, С. (1964). «Правила Фейнмана для любого спина. II. Безмассовые частицы» (PDF) . Физ. Преподобный . 134 (4Б): Б882–Б896. Бибкод : 1964PhRv..134..882W. doi :10.1103/PhysRev.134.B882. Архивировано из оригинала (PDF) 9 марта 2022 г. Проверено 29 декабря 2016 г.; Вайнберг, С. (1969). «Правила Фейнмана для любого вращения. III» (PDF) . Физ. Преподобный . 181 (5): 1893–1899. Бибкод : 1969PhRv..181.1893W. doi : 10.1103/PhysRev.181.1893. Архивировано из оригинала (PDF) 25 марта 2022 г. Проверено 29 декабря 2016 г.
13. К. Масакацу (2012). «Проблема сверхизлучения бозонов и фермионов для вращающихся черных дыр в формулировке Баргмана – Вигнера». arXiv : 1208.0644 [gr-qc].
14. Вайнберг, С. (2002), «5», Квантовая теория полей, том I , стр. [1], ISBN 0-521-55001-7

дальнейшее чтение

• Р. Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издатели ВХК. ISBN 0-89573-752-3.
• CB Паркер (1994). Энциклопедия физики МакГроу Хилла (2-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-051400-3.
• Г. Воан, Издательство Кембриджского университета (2010). Кембриджский справочник физических формул . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57507-2.
• Д. МакМахон (2006). Демистифицированная теория относительности . МакГроу Хилл (США). ISBN 0-07-145545-0.
• Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К. С. Торн (1973). Гравитация . У. Х. Фриман. ISBN 0-7167-0344-0.
• Б. Р. Мартин; Г. Шоу (2008). Физика элементарных частиц (Манчестерская серия) (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-470-03294-7.
• П. Лабелль, Демистификация (2010). Суперсимметрия . МакГроу-Хилл (США). ISBN 978-0-07-163641-4.
• Б. Х. Брансден; Си Джей Хоахейн (1983). Физика атомов и молекул . Лонгман. ISBN 0-582-44401-2.
• Э. Аберс (2004). Квантовая механика . Эддисон Уэсли. ISBN 978-0-13-146100-0.
• Д. МакМахон (2008). Квантовая теория поля . МакГроу Хилл (США). ISBN 978-0-07-154382-8.
• М. Пиллин (1994). «q-деформированные релятивистские волновые уравнения». Журнал математической физики . 35 (6): 2804–2817. arXiv : hep-th/9310097 . Бибкод : 1994JMP....35.2804P. дои : 10.1063/1.530487. S2CID  5919588.