Математические описания электромагнитного поля

Формулировки электромагнетизма

Существуют различные математические описания электромагнитного поля , которые используются при изучении электромагнетизма , одного из четырех фундаментальных взаимодействий природы. В этой статье обсуждаются несколько подходов, хотя уравнения даются в терминах электрических и магнитных полей, потенциалов и зарядов с токами, вообще говоря.

Метод векторного поля

Наиболее распространенное описание электромагнитного поля использует два трехмерных векторных поля , называемых электрическим полем и магнитным полем . Каждое из этих векторных полей имеет значение, определенное в каждой точке пространства и времени, и поэтому часто рассматривается как функция пространственных и временных координат. Таким образом, их часто записывают как E ( x , y , z , t ) (электрическое поле) и B ( x , y , z , t ) (магнитное поле).

Если только электрическое поле ( E ) не равно нулю и постоянно во времени, то это поле называется электростатическим . Аналогично, если только магнитное поле ( B ) ненулевое и постоянное во времени, то поле называется магнитостатическим . Однако, если электрическое или магнитное поле зависит от времени, то оба поля следует рассматривать вместе как связанное электромагнитное поле, используя уравнения Максвелла .

Уравнения Максвелла в подходе векторного поля

Поведение электрических и магнитных полей, будь то электростатика, магнитостатика или электродинамика (электромагнитные поля), определяется уравнениями Максвелла-Хевисайда :

где ρ — плотность заряда , которая может (и часто зависит) зависеть от времени и положения, ε ₀ — электрическая постоянная , µ ₀ — магнитная постоянная , а J — ток на единицу площади , также функция времени и положения. . Уравнения принимают эту форму в Международной системе величин .

Имея дело только с недисперсионными изотропными линейными материалами, уравнения Максвелла часто модифицируются, чтобы игнорировать связанные заряды, заменяя проницаемость и диэлектрическую проницаемость свободного пространства проницаемостью и диэлектрической проницаемостью рассматриваемого линейного материала. Для некоторых материалов, которые имеют более сложные реакции на электромагнитные поля, эти свойства могут быть представлены тензорами, причем зависимость от времени связана со способностью материала реагировать на быстрые изменения поля ( дисперсия (оптика) , соотношения Грина-Кубо ), а также, возможно, полевые зависимости, представляющие нелинейные и/или нелокальные реакции материала на поля большой амплитуды ( нелинейная оптика ).

Потенциальный полевой подход

Во многих случаях при использовании и расчете электрических и магнитных полей используемый подход сначала вычисляет связанный потенциал: электрический потенциал для электрического поля и магнитный векторный потенциал A для магнитного поля. Электрический потенциал представляет собой скалярное поле, а магнитный потенциал — векторное поле. Вот почему иногда электрический потенциал называют скалярным потенциалом, а магнитный потенциал — векторным потенциалом. Эти потенциалы можно использовать для нахождения связанных с ними полей следующим образом: ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }$$

Уравнения Максвелла в потенциальной формулировке

Эти соотношения можно подставить в уравнения Максвелла, чтобы выразить последние через потенциалы. Закон Фарадея и закон магнетизма Гаусса (однородные уравнения) оказываются одинаково верными для любых потенциалов. Это связано с тем, что поля выражаются в виде градиентов и вихрей скалярного и векторного потенциалов. Однородные уравнения в терминах этих потенциалов включают дивергенцию ротора и ротора градиента , которые всегда равны нулю. Два других уравнения Максвелла (неоднородные уравнения) описывают динамику в потенциальной формулировке. ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla \times \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla \times \nabla \varphi }$

Уравнения Максвелла ( потенциальная формулировка )

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J} }$

Эти уравнения, взятые вместе, столь же мощны и полны, как и уравнения Максвелла. Более того, проблема несколько уменьшилась, поскольку электрическое и магнитное поля вместе имели шесть компонентов, которые нужно было решить. ^[1] В потенциальной формулировке всего четыре компонента: электрический потенциал и три компонента векторного потенциала. Однако эти уравнения сложнее, чем уравнения Максвелла, использующие электрические и магнитные поля.

Свобода измерения

Эти уравнения можно упростить, воспользовавшись тем фактом, что электрические и магнитные поля являются физически значимыми величинами, которые можно измерить; потенциалов нет. Существует свобода ограничения формы потенциалов при условии, что это не влияет на результирующие электрические и магнитные поля, называемая калибровочной свободой . Конкретно для этих уравнений, для любого выбора дважды дифференцируемой скалярной функции положения и времени λ , если ( φ , A ) является решением для данной системы, то таким же является и другой потенциал ( φ ′, A ′) , определяемый формулой:

$${\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda }$$

Эту свободу можно использовать для упрощения потенциальной формулировки. Обычно выбирается одна из двух таких скалярных функций: кулоновская калибровка и калибровка Лоренца.

Кулоновская калибровка

Кулоновская калибровка выбрана так, что , что соответствует случаю магнитостатики. С точки зрения λ это означает, что он должен удовлетворять уравнению ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} '=0}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda =-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} .}$$

Такой выбор функции приводит к следующей формулировке уравнений Максвелла:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\!\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}\nabla \!\!\left(\!{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}}\!\right)}$$

Некоторые особенности уравнений Максвелла в кулоновской калибровке заключаются в следующем. Во-первых, найти электрический потенциал очень просто, поскольку это уравнение является версией уравнения Пуассона . Во-вторых, решение проблемы магнитного векторного потенциала особенно сложно. Это большой недостаток данного калибра. Третье, что следует отметить, и что не сразу очевидно, это то, что электрический потенциал мгновенно меняется повсюду в ответ на изменение условий в одной местности.

Например, если заряд перемещается в Нью-Йорке в 13:00 по местному времени, то гипотетический наблюдатель в Австралии, который мог бы непосредственно измерить электрический потенциал, измерил бы изменение потенциала в 13:00 по нью-йоркскому времени. Это, по-видимому, нарушает причинность в специальной теории относительности , то есть невозможность информации, сигналов или чего-либо, движущегося со скоростью, превышающей скорость света. Решение этой очевидной проблемы заключается в том, что, как уже говорилось ранее, ни один наблюдатель не может измерить потенциалы; они измеряют электрические и магнитные поля. Таким образом, комбинация ∇ φ и ∂ A /∂ t , используемая при определении электрического поля, восстанавливает ограничение скорости, наложенное специальной теорией относительности для электрического поля, делая все наблюдаемые величины совместимыми с теорией относительности.

Состояние датчика Лоренца

Часто используется калибровочное условие Лоренца . При этом скалярная функция λ выбирается такой, что

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} '=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \varphi '}{\partial t}},}$$

λ

$${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\lambda }{\partial t^{2}}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}.}$$

Калибровка Лоренца приводит к следующей форме уравнений Максвелла:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial t^{2}}}=-\Box ^{2}\varphi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=-\Box ^{2}\mathbf {A} '=-\mu _{0}\mathbf {J} }$$

Оператор называется даламберианом (некоторые авторы обозначают его только квадратом ). Эти уравнения представляют собой неоднородные версии волнового уравнения , в которых члены в правой части уравнения служат исходными функциями волны. Как и любое волновое уравнение, эти уравнения приводят к двум типам решений: опережающим потенциалам (которые связаны с конфигурацией источников в будущие моменты времени) и запаздывающим потенциалам (которые связаны с прошлыми конфигурациями источников); первые обычно игнорируются, когда поле анализируется с точки зрения причинности. ${\displaystyle \Box ^{2}}$ ${\displaystyle \Box }$

Как указывалось выше, калибровка Лоренца не более действительна, чем любая другая калибровка, поскольку потенциалы не могут быть измерены напрямую, однако калибровка Лоренца имеет то преимущество, что уравнения являются лоренц-инвариантными .

Расширение квантовой электродинамики

Каноническое квантование электромагнитных полей происходит за счет повышения скалярного и векторного потенциалов; φ ( x ), A ( x ), от полей к полевым операторам . Подстановка 1/ c ² = ε ₀ µ ₀ в предыдущие калибровочные уравнения Лоренца дает:

$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} }$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$

Здесь J и ρ — ток и плотность заряда поля материи . Если поле материи взять так, чтобы описывать взаимодействие электромагнитных полей с дираковским электроном , заданным четырехкомпонентным спинорным полем Дирака ψ , то плотности тока и заряда имеют вид: ^[2]

$${\displaystyle \mathbf {J} =-e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi \,\quad \rho =-e\psi ^{\dagger }\psi \,,}$$

αматрицы Дирака

Уравнения Максвелла ( КЭД )

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}e\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}e\psi ^{\dagger }\psi }$

эта форма используется в квантовой электродинамике .

Формулировки геометрической алгебры

Аналогично тензорной формулировке вводятся два объекта: один для электромагнитного поля , другой для плотности тока . В геометрической алгебре (ГА) это мультивекторы , которые иногда следуют исчислению Риччи .

Алгебра физического пространства

В Алгебре физического пространства (APS), также известной как алгебра Клиффорда , поле и ток представлены мультивекторами. ${\displaystyle C\ell _{3,0}(\mathbb {R} )}$

Мультивектор поля, известный как вектор Римана – Зильберштейна , равен

$${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{k}\sigma _{k}+IcB^{k}\sigma _{k},}$$

четырехтоковый

$${\displaystyle c\rho -\mathbf {J} =c\rho -J^{k}\sigma _{k}}$$

ортонормированный базиспсевдоскалярматриц Паули ${\displaystyle \{\sigma _{k}\}}$ ${\displaystyle I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

После определения производной

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}=\sigma ^{k}\partial _{k},}$$

Уравнения Максвелла сводятся к одному уравнению ^[3]

Уравнения Максвелла (формулировка APS)

${\displaystyle \left({\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\right)\mathbf {F} =\mu _{0}c(c\rho -\mathbf {J} ).}$

В трех измерениях производная имеет специальную структуру, позволяющую ввести векторное произведение:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +{\boldsymbol {\nabla }}\wedge \mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} +I{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} }$$

$${\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)-c\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial {t}}}-\mu _{0}\mathbf {J} \right)+I\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} +{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial {t}}}\right)+Ic\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)=0}$$

Алгебра пространства-времени

Мы можем идентифицировать APS как подалгебру алгебры пространства-времени (STA) , определяя и . Они имеют те же алгебраические свойства, что и гамма-матрицы , но их матричное представление не требуется. Производная теперь ${\displaystyle C\ell _{1,3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$ ${\displaystyle I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$

$${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}$$

Римана-Зильберштейна становится бивектором.

$${\displaystyle F=\mathbf {E} +Ic\mathbf {B} =E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-c(B^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}+B^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}+B^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}),}$$

$${\displaystyle J=J^{\mu }\gamma _{\mu }=c\rho \gamma _{0}+J^{k}\gamma _{k}=\gamma _{0}(c\rho -J^{k}\sigma _{k}).}$$

В силу идентичности

$${\displaystyle \gamma _{0}\nabla =\gamma _{0}\gamma ^{0}\partial _{0}+\gamma _{0}\gamma ^{k}\partial _{k}=\partial _{0}+\sigma ^{k}\partial _{k}={\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }},}$$

Уравнения Максвелла сводятся к одному уравнению

Уравнения Максвелла (формулировка STA)

${\displaystyle \nabla F=\mu _{0}cJ.}$

Подход дифференциальных форм

В дальнейшем используются единицы измерения CGS-Гаусса , а не единицы СИ . (Чтобы преобразовать в SI, см. здесь .) В обозначениях Эйнштейна мы неявно берем сумму по всем значениям индексов, которые могут меняться в пределах измерения.

Поле 2-форма

В свободном пространстве , где ε = ε 0 и µ = µ 0 везде постоянны, уравнения Максвелла значительно упрощаются, если использовать язык дифференциальной геометрии и дифференциальных форм . Электрические и магнитные поля теперь совместно описываются 2-формой F в 4-мерном пространственно-временном многообразии. Тензор Фарадея ( электромагнитный тензор ) можно записать как 2-форму в пространстве Минковского с метрической сигнатурой (− + + +) как ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &\equiv {\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\&=B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y+E_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t+E_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t+E_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t\end{aligned}}}$$

внешней производнойчетырехпотенциала ${\displaystyle \mathbf {A} :}$

$${\displaystyle \mathbf {A} =-\phi \,\mathrm {d} t+A_{x}\mathrm {d} x+A_{y}\mathrm {d} y+A_{z}\mathrm {d} z.}$$

Уравнения без источника могут быть записаны действием внешней производной на эту 2-форму. Но для уравнений с исходными членами ( закон Гаусса и уравнение Ампера-Максвелла ) необходима двойственная Ходжу эта 2-форма. Оператор звезды Ходжа переводит p -форму в ( n − p )-форму, где n — количество измерений. Здесь он принимает 2-форму ( F ) и дает другую 2-форму (в четырех измерениях n - p = 4 - 2 = 2 ). Для базисных котангенсных векторов двойственный вектор Ходжа задается как (см. Оператор звезды Ходжа § Четыре измерения )

$${\displaystyle {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)=-\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t,\quad {\star }(\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t)=\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,}$$

$${\displaystyle {\star }\mathbf {F} =-B_{x}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} t-B_{y}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} t-B_{z}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} t+E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$$

Ток 3-формы, двойной ток 1-формы

Здесь 3-форма J называется формой электрического тока или 3-формой тока :

$${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y.}$$

То, что F является замкнутой формой , а внешняя производная ее двойственной формы Ходжа является текущей 3-формой, выражают уравнения Максвелла: ^[4]

Уравнения Максвелла

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J} }$

Здесь d обозначает внешнюю производную – естественный, независимый от координат и метрики дифференциальный оператор, действующий на формы, а (двойственный) оператор звезды Ходжа – линейное преобразование из пространства 2-форм в пространство (4 − 2)- формы, определяемые метрикой в ​​пространстве Минковского (в четырех измерениях даже любой метрикой, конформной этой метрике). Поля выражены в натуральных единицах , где 1/(4 πε ₀ ) = 1 . ${\displaystyle {\star }}$

Поскольку d ² = 0, 3-форма J удовлетворяет сохранению тока ( уравнению неразрывности ):

$${\displaystyle \mathrm {d} {\mathbf {J} }=\mathrm {d} ^{2}{\star }\mathbf {F} =0.}$$

многообразии

Примечание. В большей части литературы обозначения и перепутаны, так что 1-форма называется током, а 3-форма называется двойным током. ^[5] ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\star }\mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\star }\mathbf {J} }$

Линейное макроскопическое влияние материи

В линейной, макроскопической теории влияние материи на электромагнитное поле описывается через более общее линейное преобразование в пространстве 2-форм. Мы называем

$${\displaystyle C:\Lambda ^{2}\ni \mathbf {F} \mapsto \mathbf {G} \in \Lambda ^{(4-2)}}$$

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =0}$$

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {G} =\mathbf {J} }$$

Jd J = 0

Когда поля выражаются как линейные комбинации ( внешних произведений ) базисных форм θ ⁱ ,

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{pq}\mathbf {\theta } ^{p}\wedge \mathbf {\theta } ^{q}.}$$

$${\displaystyle G_{pq}=C_{pq}^{mn}F_{mn}}$$

антикоммутативнызвездный оператор Ходжаесли взять

$${\displaystyle C_{pq}^{mn}={\frac {1}{2}}g^{ma}g^{nb}\varepsilon _{abpq}{\sqrt {-g}}}$$

обозначения тензорного индексаграммометрическуюсимволом Леви-Чивита ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$ ${\displaystyle V=T_{p}M}$ ${\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}}$ ${\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}$ ${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle (g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle )}$ ${\displaystyle \varepsilon _{abpq}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1234}=1}$

В этой формулировке электромагнетизм немедленно обобщается на любое четырехмерное ориентированное многообразие или, с небольшими изменениями, на любое многообразие.

Альтернативная подпись метрики

В соглашении физиков элементарных частиц для метрической сигнатуры (+ − − −) потенциальная 1-форма равна

$${\displaystyle \mathbf {A} =\phi \,\mathrm {d} t-A_{x}\mathrm {d} x-A_{y}\mathrm {d} y-A_{z}\mathrm {d} z.}$$

2-форма кривизны Фарадея становится

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} \equiv &{\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\wedge \mathrm {d} x^{\nu }\\=&E_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x+E_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y+E_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z-B_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-B_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-B_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\end{aligned}}}$$

и тензор Максвелла становится

$${\displaystyle {{\star }\mathbf {F} }=-E_{x}\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z-E_{y}\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x-E_{z}\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y-B_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x-B_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y-B_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z.}$$

Текущая 3- форма J

$${\displaystyle \mathbf {J} =-\rho \,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{x}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z+j_{y}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x+j_{z}\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$$

$${\displaystyle {{\star }\mathbf {J} }=-\rho \,\mathrm {d} t+j_{x}\mathrm {d} x+j_{y}\mathrm {d} y+j_{z}\mathrm {d} z.}$$

Текущая норма теперь положительна и равна

$${\displaystyle {\mathbf {J} \wedge {\star }\mathbf {J} }=[\rho ^{2}+(j_{x})^{2}+(j_{y})^{2}+(j_{z})^{2}]\,{\star }(1)}$$

формой объема ${\displaystyle {\star }(1)=\mathrm {d} t\wedge \mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$

Искривленное пространство-время

Традиционная формулировка

Материя и энергия порождают искривление пространства-времени . Это предмет общей теории относительности . Искривление пространства-времени влияет на электродинамику. Электромагнитное поле, обладающее энергией и импульсом, также порождает искривление пространства-времени. Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени можно получить, заменив производные в уравнениях в плоском пространстве-времени ковариантными производными . (Подходящее ли это обобщение требует отдельного исследования.) Уравнения с источником и без источника принимают вид ( cgs-гауссовы единицы ):

$${\displaystyle {4\pi \over c}j^{\beta }=\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }+{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \alpha }F^{\mu \beta }+{\Gamma ^{\beta }}_{\mu \alpha }F^{\alpha \mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }\,\!}$$

и

$${\displaystyle 0=\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }=\nabla _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\nabla _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\nabla _{\alpha }F_{\beta \gamma }.\,}$$

Здесь,

$${\displaystyle {\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \beta }}$$

— символ Кристоффеля , характеризующий кривизну пространства-времени, а ∇ _α — ковариантная производная.

Формулировка в терминах дифференциальных форм

Формулировку уравнений Максвелла в терминах дифференциальных форм можно использовать без изменения общей теории относительности. Эквивалентность более традиционной общей релятивистской формулировки, использующей ковариантную производную, с формулировкой в ​​дифференциальной форме можно увидеть следующим образом. Выберите локальные координаты x ^α , которые дают базис 1-форм d x ^α в каждой точке открытого множества, где определены координаты. Используя этот базис и единицы измерения СГС-Гаусса, мы определяем

• Тензор антисимметричного поля F _αβ , соответствующий полевой 2-форме F
  $${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.}$$
• Инфинитезимальная 3-форма вектора тока J
  $${\displaystyle \mathbf {J} ={4\pi \over c}\left({\frac {1}{6}}j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }.\right)}$$

Эпсилон-тензор, сжатый с дифференциальной 3-формой, дает в 6 раз больше требуемых членов.

Здесь g , как обычно, является _{определителем} матрицы , представляющей метрический тензор gαβ . Небольшое вычисление, использующее симметрию символов Кристоффеля (т. е. отсутствие кручения связи Леви-Чивита ) и ковариантную константность оператора звезды Ходжа , показывает, что в этой координатной окрестности мы имеем:

• личность Бьянки
  $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =2(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma })\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0,}$$
• исходное уравнение
  $${\displaystyle \mathrm {d} {\star \mathbf {F} }={\frac {1}{6}}{F^{\alpha \beta }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\beta \gamma \delta \alpha }\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\mathbf {J} ,}$$
• уравнение неразрывности
  $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {J} ={4\pi \over c}{j^{\alpha }}_{;\alpha }{\sqrt {-g}}\,\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }=0.}$$

Классическая электродинамика как кривизна линейного расслоения

Элегантный и интуитивно понятный способ формулировки уравнений Максвелла — использовать комплексные линейные расслоения или главное U(1)-расслоение , на слоях которого U(1) действует регулярно . Главное U(1)-соединение ∇ на линейном расслоении имеет кривизну F = ∇ ² , которая представляет собой двуформу, которая автоматически удовлетворяет условию d F = 0 и может интерпретироваться как напряженность поля. Если линейное расслоение тривиально с плоским эталонным соединением d, мы можем написать ∇ = d + A и F = d A , где A - 1-форма , состоящая из электрического потенциала и магнитного векторного потенциала .

В квантовой механике сама связь используется для определения динамики системы. Эта формулировка позволяет естественным образом описать эффект Ааронова-Бома . В этом эксперименте статическое магнитное поле проходит через длинный магнитный провод (например, железный провод, намагниченный продольно). Вне этой проволоки магнитная индукция равна нулю, в отличие от векторного потенциала, который существенно зависит от магнитного потока через сечение проволоки и не исчезает снаружи. Поскольку электрического поля также нет, тензор Максвелла F = 0 во всей области пространства-времени вне трубки во время эксперимента. Это означает по определению, что связность ∇ там плоская.

Однако в упомянутом эффекте Ааронова-Бома связь зависит от магнитного поля через трубку, поскольку голономия вдоль несжимаемой кривой, окружающей трубку, представляет собой магнитный поток через трубку в соответствующих единицах. Это можно обнаружить квантово-механически с помощью эксперимента по дифракции электронов на двух щелях, когда электронная волна движется вокруг трубки. Голономия соответствует дополнительному фазовому сдвигу, который приводит к сдвигу дифракционной картины. ^{[6] [7]}

Обсуждение

Ниже приведены причины использования каждой из таких формулировок.

Возможная формулировка

В продвинутой классической механике часто бывает полезно, а в квантовой механике часто необходимо выразить уравнения Максвелла в потенциальной формулировке , включающей электрический потенциал (также называемый скалярным потенциалом ) φ и магнитный потенциал ( векторный потенциал ) A. Например, при анализе радиоантенн в полной мере используются векторный и скалярный потенциалы Максвелла для разделения переменных - распространенный метод, используемый при формулировании решений дифференциальных уравнений. Потенциалы можно ввести, используя лемму Пуанкаре об однородных уравнениях для их универсального решения (при этом предполагается, что мы рассматриваем топологически простое, например, сжимаемое пространство ). Потенциалы определены, как указано в таблице выше. Альтернативно, эти уравнения определяют E и B через электрические и магнитные потенциалы, которые затем удовлетворяют однородным уравнениям для E и B как тождества. Замена дает неоднородные уравнения Максвелла в потенциальной форме.

Многие различные варианты выбора A и φ согласуются с заданными наблюдаемыми электрическими и магнитными полями E и B , поэтому потенциалы, кажется, содержат больше ( классически ) ненаблюдаемой информации. Однако неединственность потенциалов хорошо понятна. Для каждой скалярной функции положения и времени λ ( x , t ) потенциалы могут быть изменены с помощью калибровочного преобразования как

$${\displaystyle \varphi '=\varphi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}},\quad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda }$$

( φ , A )( φ ', A ')калибровочно-эквивалентнымикалибровочной свободой

Потенциальные уравнения можно упростить, используя процедуру, называемую калибровкой . Поскольку потенциалы определены только с точностью до калибровочной эквивалентности, мы можем налагать на потенциалы дополнительные уравнения, если для каждой пары потенциалов существует калибровочно-эквивалентная пара, которая удовлетворяет дополнительным уравнениям (т.е. если уравнения фиксации калибровки определяют срез к калибровочному действию). Потенциалы с фиксированной калибровкой по-прежнему обладают калибровочной свободой при всех калибровочных преобразованиях, которые оставляют уравнения фиксации калибровки инвариантными. Изучение потенциальных уравнений подсказывает два естественных выбора. В кулоновской калибровке мы налагаем ∇ ⋅ A = 0 , что чаще всего используется в случае магнитостатики, когда мы можем пренебречь членом c ⁻² ∂ ² A /∂ t ² . В калибровке Лоренца (названной в честь датчанина Людвига Лоренца ) налагаем

$${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0\,.}$$

Манифестно-ковариантный (тензорный) подход

Уравнения Максвелла в точности согласуются со специальной теорией относительности — то есть, если они действительны в одной инерциальной системе отсчета, то они автоматически действительны и в любой другой инерциальной системе отсчета. Фактически, уравнения Максвелла сыграли решающую роль в историческом развитии специальной теории относительности. Однако в обычной формулировке уравнений Максвелла их согласованность со специальной теорией относительности не очевидна; это можно доказать только путем кропотливого расчета.

Например, рассмотрим проводник, движущийся в поле магнита . ^[8] В рамке магнита на этот проводник действует магнитная сила. Но в рамках проводника, движущегося относительно магнита, на проводник действует сила, обусловленная электрическим полем. Движение абсолютно согласовано в этих двух разных системах отсчета, но математически оно возникает совершенно по-разному.

По этой и другим причинам часто бывает полезно переписать уравнения Максвелла таким образом, чтобы они были «явно ковариантными» — т. е. явно совместимыми со специальной теорией относительности даже при простом взгляде на уравнения — с использованием ковариантных и контравариантных четырехвекторов и тензоров . Это можно сделать, используя ЭМ-тензор F или 4-потенциал A с 4-током J – см. ковариантную формулировку классического электромагнетизма .

Подход дифференциальных форм

Закон Гаусса для магнетизма и закон Фарадея-Максвелла можно сгруппировать вместе, поскольку уравнения однородны, и их можно рассматривать как геометрические тождества , выражающие поле F (2-форму), которое можно вывести из 4-потенциала A. Закон Гаусса для электричества и закон Ампера-Максвелла можно рассматривать как динамические уравнения движения полей, полученные с помощью лагранжева принципа наименьшего действия , из «члена взаимодействия» AJ (введенного через калибровочные ковариантные производные ), связывающего поле имеет значения. Для полевой формулировки уравнений Максвелла в терминах принципа экстремального действия см. электромагнитный тензор .

Часто производная по времени в уравнении Фарадея – Максвелла заставляет называть это уравнение «динамическим», что несколько вводит в заблуждение в смысле предыдущего анализа. Это скорее артефакт нарушения релятивистской ковариации путем выбора предпочтительного направления времени. Чтобы иметь физические степени свободы, распространяемые этими уравнениями поля, необходимо включить кинетический член F ⋆ F для A и принять во внимание нефизические степени свободы, которые можно удалить калибровочным преобразованием A ↦ A − d α . См. также фиксацию калибра и призраки Фаддеева – Попова .

Подход геометрического исчисления

В этой формулировке используется алгебра, которую пространство-время порождает посредством введения дистрибутивного, ассоциативного (но не коммутативного) произведения, называемого геометрическим произведением . Элементы и операции алгебры в целом могут быть связаны с геометрическим смыслом. Члены алгебры могут быть разложены по классам (как в формализме дифференциальных форм), а (геометрическое) произведение вектора на k -вектор разлагается на ( k - 1) -вектор и a ( k + 1). -вектор. Компонент ( k - 1) -вектора можно отождествить с внутренним продуктом, а компонент ( k + 1) -вектора - с внешним продуктом. Для алгебраического удобства геометрическое произведение обратимо, а внутреннее и внешнее произведения — нет. Таким образом, можно использовать мощные методы, такие как функции Грина . Производные , которые появляются в уравнениях Максвелла, представляют собой векторы, а электромагнитные поля представлены бивектором Фарадея F. Эта формулировка столь же общая, как и формулировка дифференциальных форм для многообразий с метрическим тензором, поскольку тогда они естественным образом отождествляются с r -формами и существуют соответствующие операции. В этом формализме уравнения Максвелла сводятся к одному уравнению. Это уравнение можно разделить на части, как это сделано выше из соображений сравнения.

Смотрите также

• исчисление Риччи
• Уравнение электромагнитной волны
• Скорость света
• Электрическая постоянная
• Магнитная постоянная
• Свободное место
• Ближнее и дальнее поле
• Электромагнитное поле
• Электромагнитное излучение
• Квантовая электродинамика
• Список уравнений электромагнетизма

Примечания

1. Введение в электродинамику Гриффитса
2. Квантовая электродинамика, Mathworld
3. Лекция на медали Эрстеда Дэвида Хестенса «Реформирование математического языка физики» (Am. J. Phys. 71 (2), февраль 2003 г., стр. 104–121) Онлайн: http://geocalc.clas.asu.edu/html /Oersted-ReformingTheLanguage.html стр. 26
4. Харли Фландерс (1963) Дифференциальные формы с применением к физическим наукам , страницы 44–46, Academic Press
5. Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип ; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . У. Х. Фриман. п. 81. ИСБН 978-0-7167-0344-0.
6. М. Мюррей (5 сентября 2008 г.). «Связки линий. Награды 1996 г.» (PDF) . Университет Аделаиды . Проверено 19 ноября 2010 г.
7. Р. Ботт (1985). «О некоторых недавних взаимодействиях между математикой и физикой». Канадский математический бюллетень . 28 (2): 129–164. дои : 10.4153/CMB-1985-016-3 .
8. Альберт Эйнштейн (1905) Об электродинамике движущихся тел.

Рекомендации

• Варник, Карл; Рассер, Питер (2014). «Дифференциальные формы и теория электромагнитного поля» (PDF) . Прогресс в исследованиях в области электромагнетизма . 148 : 83–112. дои : 10.2528/PIER14063009 .
• Рассер, Питер (2006). Электромагнетизм, микроволновые схемы и проектирование антенн для техники связи (2-е изд.). Артех Хаус. ISBN 978-1-58053-907-4.(с решенными проблемами в Warnick, Russer, 2006 ISBN 1-59693-096-9 ) 
• Хель, Фридрих; Обухов, Юрий (2003). Основы классической электродинамики. Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-4222-8.
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007). Геометрическая алгебра для физиков . Кембриджский университет. Нажимать. ISBN 978-0-521-71595-9.