Псевдоскаляр

Скалярная величина, меняющая знак в зеркальных координатах

В линейной алгебре псевдоскаляр — это величина, которая ведет себя как скаляр , за исключением того, что она меняет знак при инверсии четности ^{[1] [2]} , тогда как истинный скаляр этого не делает .

Псевдоскаляр при умножении на обычный вектор становится псевдовектором (или аксиальным вектором ); аналогичная конструкция создает псевдотензор . Псевдоскаляр также является результатом любого скалярного произведения псевдовектора и обычного вектора. Прототипическим примером псевдоскаляра является скалярное тройное произведение , которое можно записать как скалярное произведение одного из векторов в тройном произведении и векторное произведение между двумя другими векторами, где последний является псевдовектором.

По физике

В физике псевдоскаляр обозначает физическую величину, аналогичную скаляру . Обе являются физическими величинами , принимающими одно значение, инвариантное при собственном вращении . Однако при преобразовании четности псевдоскаляры меняют свои знаки, а скаляры - нет. Поскольку отражения через плоскость представляют собой комбинацию вращения с преобразованием четности, псевдоскаляры также меняют знак при отражениях.

Мотивация

Одна из самых мощных идей в физике заключается в том, что физические законы не меняются при изменении системы координат, используемой для описания этих законов. Тот факт, что псевдоскаляр меняет свой знак при инвертировании осей координат, предполагает, что это не лучший объект для описания физической величины. В 3D-пространстве величины, описываемые псевдовектором, представляют собой антисимметричные тензоры второго порядка, инвариантные относительно инверсии. Псевдовектор может быть более простым представлением этой величины, но он страдает от изменения знака при инверсии. Аналогично, в трехмерном пространстве двойственный скаляр Ходжа равен умножению на константу трехмерного псевдотензора Леви-Чивита (или псевдотензора «перестановки»); тогда как двойственный псевдоскаляру Ходж является антисимметричным (чистым) тензором третьего порядка. Псевдотензор Леви-Чивита представляет собой полностью антисимметричный псевдотензор третьего порядка. Поскольку двойственный псевдоскаляр является произведением двух «псевдовеличин», полученный тензор является истинным тензором и не меняет знак при инверсии топоры. Ситуация аналогична ситуации для псевдовекторов и антисимметричных тензоров второго порядка. Двойственным псевдовектору является антисимметричный тензор второго порядка (и наоборот). Тензор является инвариантной физической величиной относительно инверсии координат, тогда как псевдовектор не инвариантен.

Ситуацию можно распространить на любое измерение. Обычно в n -мерном пространстве двойственный тензор Ходжа к тензору порядка r будет антисимметричным псевдотензором порядка ( n − r ) и наоборот. В частности, в четырехмерном пространстве-времени специальной теории относительности псевдоскаляр является двойственным тензору четвертого порядка и пропорционален четырехмерному псевдотензору Леви-Чивита .

Примеры

• Функция тока для двумерного течения несжимаемой жидкости . ${\displaystyle \psi (x,y)}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \left(x,y\right)=\left\langle \partial _{y}\psi ,-\partial _{x}\psi \right\rangle }$
• Магнитный заряд является псевдоскаляром, поскольку он определен математически, независимо от того, существует ли он физически.
• Магнитный поток — это результат скалярного произведения вектора ( нормали к поверхности ) и псевдовектора ( магнитного поля ).
• Спиральность — это проекция (скалярное произведение) псевдовектора спина на направление импульса (истинный вектор).
• Псевдоскалярные частицы, т.е. частицы со спином 0 и нечетной четностью, то есть частицы без собственного спина с волновой функцией , меняющей знак при инверсии четности . Примерами являются псевдоскалярные мезоны .

В геометрической алгебре

Псевдоскаляр в геометрической алгебре — это элемент алгебры высшего сорта . Например, в двух измерениях есть два ортогональных базисных вектора , и соответствующий базисный элемент наивысшего класса равен ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$

${\displaystyle e_{1}e_{2}=e_{12}.}$

Таким образом, псевдоскаляр кратен e ₁₂ . Элемент e ₁₂ приводится в квадрат к −1 и коммутирует со всеми четными элементами, поэтому ведет себя как мнимый скаляр i в комплексных числах . Именно эти скалярные свойства дали начало его названию.

В этом случае псевдоскаляр меняет знак при инверсии четности, поскольку если

( е ₁ , е ₂ ) → ( ты ₁ , ты ₂ )

является изменением базиса , представляющим ортогональное преобразование , тогда

е ₁ е ₂ → ты ₁ ты ₂ знак равно ± е ₁ е ₂ ,

где знак зависит от определителя преобразования. Таким образом, псевдоскаляры в геометрической алгебре соответствуют псевдоскалярам в физике.

Рекомендации

1. Зи, Энтони (2010). «II. Дирак и спинор II.1 Уравнение Дирака § Четность». Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. п. 98. ИСБН 978-0-691-14034-6.
2. Вайнберг, Стивен (1995). «5.5 Причинные поля Дирака §5.5.57». Квантовая теория полей . Том. 1: Фонды. Издательство Кембриджского университета. п. 228. ИСБН 9780521550017.