Голономия

Понятие дифференциальной геометрии

Параллельный транспорт на сфере по кусочно-гладкой траектории. Исходный вектор обозначается как , параллельно транспортируется вдоль кривой, а результирующий вектор обозначается как . Результат параллельного транспорта будет другим, если путь будет меняться. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\gamma }(V)}$

В дифференциальной геометрии голономия соединения на гладком многообразии является общим геометрическим следствием кривизны соединения , измеряющим степень, в которой параллельная транспортировка по замкнутым контурам не может сохранить передаваемые геометрические данные. Для плоских связей соответствующая голономия является разновидностью монодромии и по своей сути является глобальным понятием. Для криволинейных связей голономия имеет нетривиальные локальные и глобальные особенности.

Любой вид связи на многообразии через его параллельные транспортные отображения порождает некоторое понятие голономии. Наиболее распространенными формами голономии являются соединения, обладающие той или иной симметрией . Важные примеры включают: голономию связности Леви-Чивита в римановой геометрии (называемую римановой голономией ), голономию связей в векторных расслоениях , голономию связностей Картана и голономию связей в главных расслоениях . В каждом из этих случаев голономность связи можно отождествить с группой Ли , группой голономии . Голономия соединения тесно связана с кривизной соединения посредством теоремы Амброуза-Зингера .

Изучение римановой голономии привело к ряду важных событий. Голономия была введена Эли Картаном  (1926) для изучения и классификации симметричных пространств . Лишь намного позже группы голономии стали использоваться для изучения римановой геометрии в более общем контексте. В 1952 году Жорж де Рам доказал теорему де Рама о разложении , принцип разделения риманова многообразия на декартово произведение римановых многообразий путем разделения касательного расслоения на неприводимые пространства под действием локальных групп голономии. Позже, в 1953 году, Марсель Бергер классифицировал возможные неприводимые голономии. Разложение и классификация римановой голономии имеют приложения к физике и теории струн .

Определения

Голономия связности в векторном расслоении

Пусть E — векторное расслоение ранга k над гладким многообразием M и пусть ∇ — связность на E . Учитывая кусочно- гладкую петлю γ  : [0,1] → M , основанную в точке x в M , соединение определяет параллельное транспортное отображение P _γ  : E _x → E _x на слое E в точке x . Это отображение является одновременно линейным и обратимым и поэтому определяет элемент общей линейной группы GL( E _x ). Группа голономии ∇, основанная в точке x , определяется как

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}(\nabla )=\{P_{\gamma }\in \mathrm {GL} (E_{x})\mid \gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.}$

Группа ограниченной голономии , основанная в точке x , — это подгруппа , происходящая из стягиваемых петель  γ . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{x}^{0}(\nabla )}$

Если M связно , то группа голономии зависит от базовой точки x только с точностью до сопряжения в GL( k , R ). Явно, если γ — путь от x до y в M , то

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{y}(\nabla )=P_{\gamma }\operatorname {Hol} _{x}(\nabla )P_{\gamma }^{-1}.}$

Выбор различных отождествлений E _x с R ^k также дает сопряженные подгруппы. Иногда, особенно в общих или неформальных дискуссиях (например, ниже), можно отказаться от ссылки на базовую точку, понимая, что определение верно с точки зрения сопряжения.

Некоторые важные свойства группы голономии включают в себя:

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$— связная подгруппа Ли группы GL( k , R ).
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$является компонентом идентичности ${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla ).}$
• Существует естественный гомоморфизм сюръективной группы где – фундаментальная группа M , которая переводит гомотопический класс в смежный класс ${\displaystyle \pi _{1}(M)\to \operatorname {Hol} (\nabla )/\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ),}$ ${\displaystyle \pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle [\gamma ]}$ ${\displaystyle P_{\gamma }\cdot \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• Если М односвязно , то ${\displaystyle \operatorname {Hol} (\nabla )=\operatorname {Hol} ^{0}(\nabla ).}$
• ∇ плоский (т.е. имеет исчезающую кривизну) тогда и только тогда, когда тривиален. ${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{0}(\nabla )}$

Голономность связности в главном расслоении

Определение голономии связностей на главных расслоениях проводится параллельно. Пусть G — группа Ли и P — главное G -расслоение над гладким многообразием M , которое паракомпактно . Пусть ω — связность на P . Учитывая кусочно гладкую петлю γ  : [0,1] → M , основанную на x в M и точке p в слое над x , соединение определяет уникальный горизонтальный подъем такой, что Конечная точка горизонтального подъема, , обычно не будет быть p, а не какая-то другая точка p · g в слое над x . Определим отношение эквивалентности ~ на P , сказав, что p ~ q , если их можно соединить кусочно-гладким горизонтальным путем в P. ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:[0,1]\to P}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=p.}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$

Группа голономии ω, основанная в точке p , тогда определяется как

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\{g\in G\mid p\sim p\cdot g\}.}$

Группа ограниченной голономии , основанная на точке p, — это подгруппа, возникающая из горизонтальных подъемов стягиваемых петель  γ . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$

Если M и P связаны , то группа голономии зависит от базовой точки p только до сопряжения в G . Явно, если q — любая другая выбранная базовая точка голономии, то существует единственный g ∈ G такой, что q ~ p · g . При таком значении g

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{q}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g.}$

В частности,

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p\cdot g}(\omega )=g^{-1}\operatorname {Hol} _{p}(\omega )g,}$

Более того, если p ~ q , то Как и выше, иногда отбрасывают ссылку на базовую точку группы голономии, понимая, что определение корректно с точностью до сопряжения. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{q}(\omega ).}$

Некоторые важные свойства групп голономии и ограниченной голономии включают:

• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$является связной подгруппой Ли группы G .
• ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$является компонентом идентичности ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$
• Существует естественный сюръективный групповой гомоморфизм ${\displaystyle \pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• Если M односвязно , то ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
• ω плоская (т.е. имеет исчезающую кривизну) тогда и только тогда, когда тривиально. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$

Пакеты голономии

Пусть M — связное паракомпактное гладкое многообразие, а P — главное G -расслоение со связностью ω, как указано выше. Пусть p ∈ P — произвольная точка главного расслоения. Пусть H ( p ) — множество точек в P , которые можно соединить с p горизонтальной кривой. Тогда можно показать, что H ( p ) с очевидным отображением проекции является главным расслоением над M со структурной группой . Это главное расслоение называется расслоением голономии (через p ) связности. Соединение ω ограничивается соединением на H ( p ), поскольку его параллельные транспортные отображения сохраняют H ( p ). Таким образом, H ( p ) является приведенным расслоением связности. Более того, поскольку при параллельном переносе ни один подрасслоение H ( p ) не сохраняется, это минимальное такое сокращение. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$

Как и в случае с группами голономии, расслоение голономии также преобразуется эквивариантно внутри объемлющего главного расслоения P . Подробно, если q ∈ P — еще одна выбранная базовая точка голономии, то существует единственный g ∈ G такой, что q ~ p g (поскольку по предположению M линейно связен). Следовательно, ЧАС ( q ) знак равно ЧАС ( п ) г . Как следствие, индуцированные связи на пучках голономии, соответствующие разным выборам базовой точки, совместимы друг с другом: их параллельные транспортные отображения будут отличаться точно тем же элементом g .

Монодромия

Расслоение голономии H ( p ) является главным расслоением для и поэтому также допускает действие ограниченной группы голономии (которая является нормальной подгруппой полной группы голономии). Дискретная группа называется группой монодромии связности; оно действует на факторрасслоении. Существует сюръективный гомоморфизм так, что действует на Это действие фундаментальной группы является представлением монодромии фундаментальной группы. ^[2] ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega )}$ ${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$ ${\displaystyle \varphi :\pi _{1}\to \operatorname {Hol} _{p}(\omega )/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ),}$ ${\displaystyle \varphi \left(\pi _{1}(M)\right)}$ ${\displaystyle H(p)/\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

Локальная и бесконечно малая голономия

Если π: P → M — главное расслоение, а ω — связность в P , то голономия ω может быть ограничена слоем над открытым подмножеством M. Действительно , если U — связное открытое подмножество M , то ω ограничивается, давая связность в расслоении π ⁻¹ U над U. Голономию (соответственно ограниченную голономию) этого расслоения будем обозначать (соответственно ) для каждого p с π( p ) ∈ U . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ,U)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)}$

Если U ⊂ V — два открытых множества, содержащих π( p ), то существует очевидное включение

${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,U)\subset \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$

Локальная группа голономии в точке p определяется формулой

${\displaystyle \operatorname {Hol} ^{*}(\omega )=\bigcap _{k=1}^{\infty }\operatorname {Hol} ^{0}(\omega ,U_{k})}$

для любого семейства вложенных связных открытых множеств U _k с . ${\displaystyle \bigcap _{k}U_{k}=\pi (p)}$

Локальная группа голономии обладает следующими свойствами:

1. Это связная подгруппа Ли группы ограниченной голономии. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$
2. Каждая точка p имеет окрестность V такую, что , в частности, локальная группа голономии зависит только от точки p , а не от выбора последовательности U _k , используемой для ее определения. ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ,V).}$
3. Локальная голономия эквивариантна относительно перевода элементами структурной группы G группы P ; т. е. для всех g ∈ G . (Обратите внимание, что по свойству 1 локальная группа голономии является связной подгруппой Ли группы G , поэтому сопряженное корректно определено.) ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{pg}^{*}(\omega )=\operatorname {Ad} \left(g^{-1}\right)\operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )}$

Локальная группа голономии не очень хорошо себя ведет как глобальный объект. В частности, его размерность может не быть постоянной. Однако справедлива следующая теорема:

Если размерность группы локальной голономии постоянна, то локальная и ограниченная голономия согласуются: ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}^{*}(\omega )=\operatorname {Hol} _{p}^{0}(\omega ).}$

Теорема Амброуза – Зингера

Теорема Амброуза-Зингера (принадлежащая Уоррену Эмброузу и Айседору М. Сингеру  (1953)) связывает голономию связности в главном расслоении с формой кривизны связности. Чтобы сделать эту теорему правдоподобной, рассмотрим знакомый случай аффинной связности (или связности в касательном расслоении - например, связности Леви-Чивита). Кривизна возникает при движении вокруг бесконечно малого параллелограмма.

Подробно, если σ: [0, 1] × [0, 1] → M — поверхность в M , параметризованная парой переменных x и y , то вектор V можно переносить вокруг границы σ: сначала вдоль ( x , 0), затем вдоль (1, y ), затем ( x , 1) в отрицательном направлении, а затем (0, y ) обратно в исходную точку. Это частный случай петли голономии: на вектор V действует элемент группы голономии, соответствующий подъему границы σ. Кривизна появляется явно, когда параллелограмм сжимается до нуля путем пересечения границы меньших параллелограммов по [0, x ] × [0, y ]. Это соответствует взятию производной от параллельных транспортных карт в точке x = y = 0:

${\displaystyle {\frac {D}{dx}}{\frac {D}{dy}}V-{\frac {D}{dy}}{\frac {D}{dx}}V=R\left({\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}}\right)V}$

где R — тензор кривизны . ^[3] Итак, грубо говоря, кривизна дает бесконечно малую голономию над замкнутым контуром (бесконечно малый параллелограмм). Более формально, кривизна — это дифференциал действия голономии в единице группы голономии. Другими словами, R ( X , Y ) является элементом алгебры Ли ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega ).}$

В общем, рассмотрим голономию связности в главном расслоении P → M над P со структурной группой G . Пусть g обозначает алгебру Ли группы G , форма кривизны связности представляет собой g -значную 2-форму Ω на P. Теорема Амброуза-Зингера гласит: ^[4]

Алгебра Ли натянута на все элементы g формы , поскольку q пробегает все точки, которые могут быть соединены с p горизонтальной кривой ( q ~ p ), а X и Y - горизонтальные касательные векторы в точке q . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ ${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$

В качестве альтернативы теорему можно переформулировать в терминах расслоения голономии: ^[5]

Алгебра Ли — это подпространство g , натянутое на элементы вида , где q ∈ H ( p ), а X и Y — горизонтальные векторы в точке q . ${\displaystyle \operatorname {Hol} _{p}(\omega )}$ ${\displaystyle \Omega _{q}(X,Y)}$

Риманова голономия

Голономия риманова многообразия ( M , g ) — это группа голономии связности Леви-Чивита на касательном расслоении к M . «Общее» n - мерное риманово многообразие имеет голономию O( n ) или SO( n ) , если оно ориентируемо . Многообразия, группы голономии которых являются собственными подгруппами O( n ) или SO( n ), обладают особыми свойствами.

Одним из самых ранних фундаментальных результатов о римановой голономии является теорема Бореля и Лихнеровича (1952), которая утверждает, что группа ограниченной голономии является замкнутой подгруппой Ли в O( n ). В частности, он компактен .

Приводимая голономия и разложение де Рама

Пусть x ∈ M — произвольная точка. Тогда группа голономии Hol( M ) действует на касательном пространстве _TxM . Это действие может быть либо неприводимым как представление группы, либо приводимо в том смысле, что существует разбиение T _x M на ортогональные подпространства T _x M = T′ _x M ⊕ T″ _x M , каждое из которых инвариантно относительно действия Хола( М ). В последнем случае M называют приводимым .

Предположим, что M — приводимое многообразие. Если позволить точке x изменяться, расслоения T'M и T″ M , образованные сокращением касательного пространства в каждой точке, представляют собой гладкие распределения, интегрируемые в смысле Фробениуса . Целочисленные многообразия этих распределений являются вполне геодезическими подмногообразиями. Таким образом, M является локально декартовым произведением M′ × M″ . (Локальный) изоморфизм де Рама следует из продолжения этого процесса до тех пор, пока не будет достигнута полная редукция касательного пространства: ^[6]

Пусть M — односвязное риманово многообразие, ^[7] и TM = T ⁽⁰⁾ M ⊕ T ⁽¹⁾ M ⊕ ⋯ ⊕ T ^{( k )} M — полная редукция касательного расслоения под действием группы голономии . Предположим, что T ⁽⁰⁾ M состоит из векторов, инвариантных относительно группы голономии (т. е. таких, что представление голономии тривиально). Тогда локально M изометрично произведению

${\displaystyle V_{0}\times V_{1}\times \cdots \times V_{k},}$

где V0 — _{открытое} множество в евклидовом пространстве , а каждое Vi — _целое многообразие для T ^{( i )} M . Более того, Hol( ^M ) распадается как прямое произведение групп голономии каждого Mi , максимального целого многообразия T ^{( i} ₎ через точку.

Если, кроме того, M предполагается геодезически полным , то теорема справедлива глобально, и каждое M _i является геодезически полным многообразием. ^[8]

Классификация Бергера

В 1955 году М. Бергер дал полную классификацию возможных групп голономии для односвязных римановых многообразий, которые являются неприводимыми (не локально пространством-произведением) и несимметричными (не локально римановым симметрическим пространством ). Список Бергера выглядит следующим образом:

Многообразия с голономией Sp( n ) · Sp(1) одновременно изучали в 1965 году Эдмонд Бонан и Вивиан Йо Крейнс, и они построили параллельную 4-форму.

Многообразия с голономией G ₂ или Spin(7) были впервые введены Эдмоном Бонаном в 1966 году, который построил все параллельные формы и показал, что эти многообразия Риччи-плоские.

Первоначальный список Бергера также включал возможность Spin(9) как подгруппы SO(16). Позднее Д. Алексеевский и Браун-Грей независимо показали, что римановы многообразия с такой голономией обязательно локально симметричны, т. е. локально изометричны плоскости Кэли F 4 _/ Spin(9) или локально плоские. См. ниже.) Теперь известно, что все эти возможности возникают как группы голономии римановых многообразий. Два последних исключительных случая обнаружить было труднее всего. См. многообразие G 2 и многообразие Spin(7) .

Заметим, что Sp( n ) ⊂ SU(2n ) ⊂ U(2n ) ⊂ SO(4n ) , поэтому каждое гиперкэлерово многообразие является многообразием Калаби–Яу , каждое многообразие Калаби–Яу является келеровым многообразием , а каждое кэлерово многообразие является ориентируемым .

Странный список выше был объяснен доказательством Саймонса теоремы Бергера. Простое геометрическое доказательство теоремы Бергера было дано Карлосом Э. Олмосом в 2005 году. Впервые было показано, что если риманово многообразие не является локально симметричным пространством , а приведенная голономия действует неприводимо на касательном пространстве, то она действует транзитивно на единице сфера. Группы Ли, действующие транзитивно на сферах, известны: они состоят из приведенного выше списка вместе с двумя дополнительными случаями: группой Spin(9), действующей на R ¹⁶ , и группой T · Sp( m ), действующей на R ^{4 m} . Наконец, проверяется, что первый из этих двух дополнительных случаев встречается только как группа голономии для локально симметричных пространств (которые локально изоморфны проективной плоскости Кэли ), а второй вообще не встречается как группа голономии.

Первоначальная классификация Бергера также включала неположительно определенную псевдориманову метрическую нелокально симметричную голономию. Этот список состоял из SO( p , q ) сигнатуры ( p , q ), U( p , q ) и SU ( p , q ) сигнатуры ( 2 p , 2 q ), Sp( p , q ) и Sp( p , q )·Sp(1) сигнатуры (4 p , 4 q ), SO( n , C ) сигнатуры ( n , n ), SO( n , H ) сигнатуры (2 n , 2 n ), разделение G ₂ сигнатуры (4, 3), G ₂ ( C ) сигнатуры (7, 7), Spin(4, 3) сигнатуры (4, 4), Spin(7, C ) сигнатуры (7,7) , Spin(5,4) сигнатуры (8,8) и, наконец, Spin(9, C ) сигнатуры (16,16). Расщепленный и комплексифицированный Spin(9) обязательно локально симметричен, как указано выше, и не должен был быть в списке. Комплексифицированные голономии SO( n , C ), G2 ₍ C ) и Spin(7, C ) могут быть реализованы путем комплексификации вещественных аналитических римановых многообразий. Р. Маклин показал , что последний случай, многообразия с голономией, содержащиеся в SO( n , H ), локально плоские. ^{[ нужна цитата ]}

Римановы симметрические пространства, локально изометричные однородным пространствам G / H , имеют локальную голономию, изоморфную H. Они также были полностью засекречены .

Наконец, в статье Бергера перечислены возможные группы голономии многообразий только с аффинной связностью без кручения ; это обсуждается ниже.

Специальная голономия и спиноры

Многообразия со специальной голономией характеризуются наличием параллельных спиноров , то есть спинорных полей с исчезающей ковариантной производной. ^[9] В частности, имеют место следующие факты:

• Hol(ω) ⊂ U (n) тогда и только тогда, когда M допускает ковариантно постоянное (или параллельное ) проективное чистое спинорное поле.
• Если M — спиновое многообразие , то Hol(ω) ⊂ SU (n) тогда и только тогда, когда M допускает по крайней мере два линейно независимых параллельных чистых спинорных поля. Фактически параллельное чисто спинорное поле определяет каноническую редукцию структурной группы к SU ( n ).
• Если M — семимерное спиновое многообразие, то M несет нетривиальное параллельное спинорное поле тогда и только тогда, когда голономия содержится в G ₂ .
• Если M — восьмимерное спиновое многообразие, то M несет нетривиальное параллельное спинорное поле тогда и только тогда, когда голономия содержится в Spin(7).

Унитарные и специальные унитарные голономии часто изучаются в связи с твисторной теорией ^[10] , а также при изучении почти сложных структур . ^[9]

Приложения

Струнная теория

Римановы многообразия со специальной голономией играют важную роль в компактификациях теории струн . ^[11] Это связано с тем, что специальные многообразия голономии допускают ковариантно постоянные (параллельные) спиноры и, таким образом, сохраняют некоторую часть исходной суперсимметрии . Наиболее важными являются компактификации на многообразиях Калаби–Яу с SU(2) или SU(3)-голономией. Важны _также компактификации на многообразиях G2 .

Машинное обучение

Вычисление голономии римановых многообразий было предложено как способ изучения структуры многообразий данных в машинном обучении , в частности, в контексте обучения многообразиям . Поскольку группа голономии содержит информацию о глобальной структуре многообразия данных, ее можно использовать для определения того, как многообразие данных может разложиться на продукт подмногообразий. Голономию невозможно вычислить точно из-за эффектов конечной выборки, но можно построить численную аппроксимацию, используя идеи теории спектральных графов , аналогичные векторным диффузионным картам. Полученный в результате алгоритм, оценщик компонентов геометрического многообразия ( GeoManCEr ), дает численную аппроксимацию разложения де Рама, которую можно применять к реальным данным. ^[12]

Аффинная голономия

Группы аффинной голономии — это группы, возникающие как голономии аффинных связностей без кручения ; те, которые не являются римановыми или псевдоримановыми группами голономии, также известны как неметрические группы голономии. Теорема деРама о разложении не применима к аффинным группам голономии, поэтому полная классификация недостижима. Однако по-прежнему естественно классифицировать неприводимые аффинные голономии.

На пути к своей классификации римановых групп голономии Бергер разработал два критерия, которым должна удовлетворять алгебра Ли группы голономии аффинной связности без кручения, не являющейся локально симметричной : один из них, известный как первый критерий Бергера , является следствием теоремы Амброуза-Зингера о том, что кривизна порождает алгебру голономии; другой, известный как второй критерий Бергера , исходит из требования, что соединение не должно быть локально симметричным. Бергер представил список групп, действующих непреодолимо и удовлетворяющих этим двум критериям; это можно интерпретировать как список возможностей для неприводимых аффинных голономий.

Список Бергера позже оказался неполным: дополнительные примеры были найдены Р. Брайантом (1991) и К. Чи, С. Меркуловым и Л. Шваххёфером (1996). Их иногда называют экзотическими голономиями . Поиск примеров в конечном итоге привел к полной классификации неприводимых аффинных голономий Меркуловым и Шваххёфером (1999), при этом Брайант (2000) показал, что каждая группа в их списке встречается как группа аффинной голономии.

Классификация Меркулова-Шваххёфера была существенно уточнена благодаря связи между группами в списке и некоторыми симметрическими пространствами, а именно эрмитовыми симметрическими пространствами и кватернионно-кэлеровыми симметричными пространствами . Эта связь особенно очевидна в случае сложных аффинных голономий, как продемонстрировал Шваххёфер (2001).

Пусть V — конечномерное комплексное векторное пространство, пусть H ⊂ Aut( V ) — неприводимая полупростая комплексная связная подгруппа Ли и пусть K ⊂ H — максимальная компактная подгруппа.

1. Если существует неприводимое эрмитово симметрическое пространство вида G /(U(1) · K ), то и H , и C * · H являются несимметричными неприводимыми аффинными группами голономии, где V — касательное представление K .
2. Если существует неприводимое кватернионно-келерово симметричное пространство вида G /(Sp(1) · K ), то H является несимметричной неприводимой аффинной группой голономии, как и C * · H , если dim V = 4. Здесь комплексифицированное касательное представление Sp(1) · K есть C ² ⊗ V , и H сохраняет комплексную симплектическую форму на V .

Эти два семейства дают все несимметричные неприводимые комплексные аффинные группы голономии, кроме следующих:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{2n}\right)\\G_{2}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{7}\right)\\\mathrm {Spin} (7,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{8}\right).\end{aligned}}}$

Используя классификацию эрмитовых симметричных пространств, первое семейство дает следующие комплексные аффинные группы голономии:

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (m,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{m}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{2}\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {Spin} (10,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{10}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{16}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot E_{6}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{27}\right)\end{aligned}}}$

где Z _C либо тривиальна, либо группа C *.

Используя классификацию кватернионно-кэлеровых симметричных пространств, второе семейство дает следующие комплексные симплектические группы голономии:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Sp} (2,\mathbf {C} )\cdot \mathrm {SO} (n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2}\otimes \mathbf {C} ^{n}\right)\\(Z_{\mathbf {C} }\,\cdot )\,\mathrm {Sp} (2n,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{2n}\right)\\Z_{\mathbf {C} }\cdot \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(S^{3}\mathbf {C} ^{2}\right)\\\mathrm {Sp} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda _{0}^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{14}\right)\\\mathrm {SL} (6,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Lambda ^{3}\mathbf {C} ^{6}\right)\\\mathrm {Spin} (12,\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\Delta _{12}^{+}\right)\cong \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{32}\right)\\E_{7}(\mathbf {C} )&\subset \mathrm {Aut} \left(\mathbf {C} ^{56}\right)\\\end{aligned}}}$

(Во второй строке Z _C должна быть тривиальной, если только n = 2.)

Из этих списков можно наблюдать аналог результата Саймонса о том, что римановы группы голономии действуют транзитивно на сферах: все представления комплексной голономии представляют собой предоднородные векторные пространства . Концептуальное доказательство этого факта неизвестно.

Классификацию неприводимых действительных аффинных голономий можно получить в результате тщательного анализа с использованием приведенных выше списков и того факта, что реальные аффинные голономии усложняются до комплексных.

Этимология

Существует похожее слово « голоморфный », которое было введено двумя учениками Коши , Брио (1817–1882) и Буке (1819–1895), и происходит от греческого ὅλος ( холос ), означающего «весь», и μορφή ( morphē ) означает «форма» или «вид». ^[13] Этимология слова «голономия» делит первую часть с словом «голоморфный» ( holos ). О второй части:

«Очень сложно найти этимологию голономии (или голономии) в сети. Я нашел следующее (благодаря Джону Конвею из Принстона): «Я полагаю, что это слово было впервые использовано Пуансо в его анализе движения твердого тела». В этой теории система называется «голономной», если в определенном смысле можно восстановить глобальную информацию из локальной информации, поэтому значение «полный закон» вполне уместно. неголономный, потому что движение по разным путям к одной и той же точке может привести к разным ориентациям. Однако, возможно, было бы слишком упрощенно говорить, что «голономия» означает «полный закон». Корень «ном» имеет много переплетаются значения в греческом языке и, возможно, чаще относится к «счету». Оно происходит от того же индоевропейского корня, что и наше слово «число».' »

-  С. Голвала, ^[14]

См. νόμος ( номос ) и -номия.

Смотрите также

• Прецессия Томаса

Примечания

1. Кобаяши и Номидзу 1963, §II.7
2. Шарп 1997, §3.7
3. Спивак 1999, с. 241
4. Штернберг 1964, Теорема VII.1.2
5. Кобаяши и Номидзу 1963, Том I, §II.8
6. Кобаяши и Номидзу 1963, §IV.5
7. Эта теорема обобщается на неодносвязные многообразия, но формулировка более сложная.
8. Кобаяши и Номидзу 1963, §IV.6
9. Lawson & Michelson 1989, §IV.9–10.
10. Баум и др. 1991 год
11. Губсер, С., Губсер С.; и другие. (ред.), Специальная голономия в теории струн и М-теории.+ Губсер, Стивен С. (2004), Струны, браны и дополнительные измерения, TASI 2001. Лекции, прочитанные в школе TASI 2001 года, Боулдер, Колорадо, США, 4–29 июня 2001 г. , River Edge, Нью-Джерси: World Scientific, стр. 197–233, arXiv : hep-th/0201114 , ISBN 978-981-238-788-2.
12. Пфау, Дэвид; Хиггинс, Ирина; Ботев, Александр; Раканьер, Себастьян (2020), «Распутывание посредством подпространственной диффузии», Достижения в области нейронных систем обработки информации , arXiv : 2006.12982
13. Маркушевич 2005 г.
14. Голвала 2007, стр. 65–66.

Рекомендации

• Агрикола, Илька (2006), «Лекции Срни по неинтегрируемой геометрии с кручением», Arch. Математика. , 42 : 5–84, arXiv : math/0606705 , Bibcode : 2006math......6705A
• Эмброуз, Уоррен ; Сингер, Исадор (1953), «Теорема о голономии», Труды Американского математического общества , 75 (3): 428–443, doi : 10.2307/1990721 , JSTOR  1990721
• Баум, Х .; Фридрих, Т.; Грюневальд, Р.; Кэт, И. (1991), Твисторы и спиноры Киллинга на римановых многообразиях , Teubner-Texte zur Mathematik, vol. 124, Б.Г. Тойбнер, ISBN 9783815420140
• Бергер, Марсель (1953), «Sur les groups d'holonomie homogènes des variétés a connexion affines et des variétés riemanniennes», Bull. Соц. Математика. France , 83 : 279–330, MR  0079806, заархивировано из оригинала 4 октября 2007 г.
• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 10, Шпрингер-Верлаг , ISBN 978-3-540-15279-8
• Бонан, Эдмонд (1965), «Структура presque quaternale sur une variété différentiable», CR Acad. наук. Париж , 261 : 5445–8..
• Бонан, Эдмонд (1966), «Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 или Spin (7)», CR Acad. наук. Париж , 320 : 127–9.].
• Борель, Арман ; Лихнерович, Андре (1952), "Groupes d'holonomie des variétés riemanniennes", Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 234 : 1835–7, MR  0048133
• Брайант, Роберт Л. (1987), «Метрики с исключительной голономией», Annals of Mathematics , 126 (3): 525–576, doi : 10.2307/1971360, JSTOR  1971360.
• Брайант, Роберт Л. (1991), «Две экзотические голономии в четырехмерном измерении, геометрия путей и теория твисторов», Комплексная геометрия и теория лжи , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 53, стр. 33–88, doi : 10.1090/pspum/053/1141197 , ISBN. 9780821814925
• Брайант, Роберт Л. (2000), «Последние достижения в теории голономии», Asterisque , Séminaire Bourbaki 1998–1999, 266 : 351–374, arXiv : math/9910059
• Картан, Эли (1926), «Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann», Bulletin de la Société Mathématique de France , 54 : 214–264, doi : 10.24033/bsmf.1105 , ISSN  0037-9484, MR  1504900
• Картан, Эли (1927), «Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann», Bulletin de la Société Mathématique de France , 55 : 114–134, doi : 10.24033/bsmf.1113 , ISSN  0037-9484
• Чи, Куо-Син; Меркулов Сергей А.; Шваххёфер, Лоренц Дж. (1996), «О неполноте списка представлений голономии Бергера», Invent. Математика. , 126 (2): 391–411, arXiv : dg-da/9508014 , Bibcode : 1996InMat.126..391C, doi : 10.1007/s002220050104, S2CID  119124942
• Голвала, С. (2007), Конспекты лекций по классической механике для физики 106ab (PDF)
• Джойс, Д. (2000), Компактные многообразия со специальной голономией , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850601-0
• Кобаяши, С.; Номидзу, К. (1963), Основы дифференциальной геометрии, Vol. 1 и 2 (новое издание), Wiley-Interscience (опубликовано в 1996 г.), ISBN 978-0-471-15733-5
• Крейнс, Вивиан Йо (1965), «Топология кватернионных многообразий», Bull. амер. Математика. Соц. , 71, 3, 1 (3): 526–7, doi : 10.1090/s0002-9904-1965-11316-7.
• Лоусон, HB; Майкельсон, мл. (1989), Спиновая геометрия , Издательство Принстонского университета, ISBN 978-0-691-08542-5
• Лихнерович, Андре (2011) [1976], Глобальная теория связей и группы голономии , Springer, ISBN 9789401015523
• Маркушевич, А.И. (2005) [1977], Сильверман, Ричард А. (ред.), Теория функций комплексной переменной (2-е изд.), Американское математическое общество , стр. 112, ISBN 978-0-8218-3780-1
• Меркулов Сергей А.; Шваххёфер, Лоренц Дж. (1999), «Классификация неприводимых голономий аффинных связей без кручения», Annals of Mathematics , 150 (1): 77–149, arXiv : math/9907206 , doi : 10.2307/121098, JSTOR  121098, S2CID  17314244 ; Меркулов Сергей; Шваххёфер, Лоренц (1999), «Дополнение», Ann. математики. , 150 (3): 1177–9, arXiv : math/9911266 , doi : 10.2307/121067, JSTOR  121067, S2CID  197437925..
• Олмос, К. (2005), «Геометрическое доказательство теоремы Бергера о голономии», Annals of Mathematics , 161 (1): 579–588, doi : 10.4007/annals.2005.161.579
• Шарп, Ричард В. (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картана программы Эрлангена Кляйна , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94732-7, МР  1453120
• Шваххёфер, Лоренц Дж. (2001), «Связи с неприводимыми представлениями голономии», Успехи в математике , 160 (1): 1–80, doi : 10.1006/aima.2000.1973
• Саймонс, Джеймс (1962), «О транзитивности систем голономии», Annals of Mathematics , 76 (2): 213–234, doi : 10.2307/1970273, JSTOR  1970273, MR  0148010
• Спивак, Майкл (1999), Всестороннее введение в дифференциальную геометрию , том. II, Хьюстон, Техас: Опубликуй или погибни, ISBN 978-0-914098-71-3
• Штернберг, С. (1964), Лекции по дифференциальной геометрии , Челси, ISBN 978-0-8284-0316-0

дальнейшее чтение

• Литература о многообразиях специальной голономии, библиография Фредерика Витта.