Основной пакет

Пучок волокон, волокна которого являются групповыми торсорами.

В математике главное расслоение ^{[1] [2] [3] [4]} — это математический объект, который формализует некоторые существенные особенности декартова произведения пространства на группу . Как и в случае с декартовым произведением, главный расслоение снабжено ${\displaystyle X\times G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

1. Действие на аналогично действию на произведение пространства . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x,g)h=(x,gh)}$
2. Проекция на . Для пространства продукта это всего лишь проекция на первый фактор . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (x,g)\mapsto x}$

Если это не пространство продукта , то у основного пакета отсутствует предпочтительный выбор идентичного сечения; у него нет предпочтительного аналога . Точно так же обычно не существует проекции на обобщение проекции на второй фактор, которая существует для декартова произведения. Они также могут иметь сложную топологию , которая не позволяет реализовать их как пространство продукта, даже если делается ряд произвольных выборов, пытаясь определить такую ​​структуру, определяя ее на меньших частях пространства. ${\displaystyle X\times G}$ ${\displaystyle x\mapsto (x,e)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X\times G\to G}$

Типичным примером главного расслоения является расслоение фреймов векторного расслоения , которое состоит из всех упорядоченных баз векторного пространства, прикрепленных к каждой точке. Группа в данном случае — это общая линейная группа , действующая справа обычным образом : заменами базиса . Поскольку не существует естественного способа выбора упорядоченного базиса векторного пространства, в расслоении фреймов отсутствует канонический выбор единичного сечения. ${\displaystyle F(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G,}$

Главные расслоения имеют важные приложения в топологии , дифференциальной геометрии и математической калибровочной теории . Они также нашли применение в физике , где составляют часть основ физических калибровочных теорий .

Формальное определение

Главное -расслоение, где обозначает любую топологическую группу , представляет собой расслоение вместе с непрерывным правым действием, такое, что сохраняет слои (т.е. если тогда для всех ) и действует свободно и транзитивно (то есть каждый слой является G-торсором ) на их таким образом, что для каждого и отображение, отправляющее в , является гомеоморфизмом. В частности, каждый слой расслоения гомеоморфен самой группе. Часто требуется, чтобы базовое пространство было хаусдорфовым и, возможно, паракомпактным . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle P\times G\to P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle y\in P_{x}}$ ${\displaystyle yg\in P_{x}}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in P_{x}}$ ${\displaystyle G\to P_{x}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle yg}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

Так как действие группы сохраняет слои и действует транзитивно, то орбиты -действия являются именно этими слоями и пространство орбит гомеоморфно базовому пространству . Поскольку действие свободное и транзитивное, волокна имеют структуру G-торсоров. -торсор — это пространство, которое гомеоморфно, но не имеет групповой структуры, поскольку не существует предпочтительного выбора единичного элемента . ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P/G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Эквивалентное определение главного -расслоения - как -расслоение со слоем , в котором структурная группа действует на слой путем левого умножения. Поскольку умножение справа на на слое коммутирует с действием структурной группы, существует инвариантное понятие правого умножения на на . Волокна затем становятся правосторонними для этого действия. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$

Приведенные выше определения относятся к произвольным топологическим пространствам. Можно также определить главные -расслоения в категории гладких многообразий . Здесь требуется, чтобы было гладкое отображение между гладкими многообразиями, требовалось, чтобы это была группа Ли , и соответствующее действие на должно быть гладким. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

Примеры

Тривиальный комплект и разделы

Над открытым шаром или с индуцированными координатами любое главное -расслоение изоморфно тривиальному расслоению. ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi :U\times G\to U}$

а гладкое сечение эквивалентно задается (гладкой) функцией, поскольку ${\displaystyle s\in \Gamma (\pi )}$ ${\displaystyle {\hat {s}}:U\to G}$

${\displaystyle s(u)=(u,{\hat {s}}(u))\in U\times G}$

для некоторой гладкой функции. Например, если , группа Ли унитарных матриц , то сечение можно построить, рассматривая четыре вещественнозначные функции ${\displaystyle G=U(2)}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \phi (x),\psi (x),\Delta (x),\theta (x):U\to \mathbb {R} }$

и применяя их к параметризации

$${\displaystyle U=e^{i\phi (x)/2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi (x)}&0\\0&e^{-i\psi (x)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta (x)&\sin \theta (x)\\-\sin \theta (x)&\cos \theta (x)\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta (x)}&0\\0&e^{-i\Delta (x)}\end{bmatrix}}.}$$

${\displaystyle \mathbb {R} }$

Другие примеры

Нетривиальное главное расслоение Z /2 Z над окружностью. Не существует четко определенного способа определить, какая точка соответствует +1 или -1 в каждом волокне. Это расслоение нетривиально, поскольку не существует глобально определенного сечения проекции π .

• Прототипическим примером гладкого главного расслоения является расслоение фреймов гладкого многообразия , часто обозначаемое или . Здесь слой над точкой представляет собой набор всех реперов (т.е. упорядоченных баз) касательного пространства . Общая линейная группа действует на этих шкалах свободно и транзитивно. Эти волокна можно склеить естественным образом так, чтобы получить главное -расслоение над . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle FM}$ ${\displaystyle GL(M)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M}$
• Вариации приведенного выше примера включают расслоение ортонормированных реперов риманова многообразия . Здесь кадры должны быть ортонормированы относительно метрики . Структурная группа является ортогональной группой . Этот пример также работает для расслоений, отличных от касательного расслоения; если есть любое векторное расслоение ранга над , то расслоение фреймов является главным -расслоением, иногда обозначаемым . ${\displaystyle O(n)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle GL(k,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F(E)}$
• Нормальное (регулярное) накрытие — это главное расслоение, в котором структурная группа ${\displaystyle p:C\to X}$

${\displaystyle G=\pi _{1}(X)/p_{*}(\pi _{1}(C))}$

действует на слои посредством действия монодромии . В частности, универсальное накрытие является главным расслоением со структурной группой (поскольку универсальное накрытие односвязно и, следовательно, тривиально). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(C)}$

• Пусть — группа Ли и пусть — замкнутая подгруппа (не обязательно нормальная ). Тогда — главное -расслоение над (левым) смежным классом . Здесь действие on — это как раз правильное умножение. Слои являются левыми смежными классами (в этом случае имеется выделенный слой, содержащий единицу, естественно изоморфный ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$
• Рассмотрим проекцию, заданную . Это главное -расслоение является ассоциированным расслоением ленты Мёбиуса . Помимо тривиального расслоения, это единственное главное -расслоение над . ${\displaystyle \pi :S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• Проективные пространства предоставляют еще несколько интересных примеров главных расслоений. Напомним, что -сфера представляет собой двукратное накрытие реального проективного пространства . Естественное действие on придает ему структуру главного -расслоения над . Аналогично, является главным -расслоением над комплексным проективным пространством и является главным -расслоением над кватернионным проективным пространством . Затем у нас есть ряд основных пучков для каждого положительного : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle O(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{2n+1}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{4n+3}}$ ${\displaystyle Sp(1)}$ ${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mbox{O}}(1)\to S(\mathbb {R} ^{n+1})\to \mathbb {RP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{U}}(1)\to S(\mathbb {C} ^{n+1})\to \mathbb {CP} ^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{Sp}}(1)\to S(\mathbb {H} ^{n+1})\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

Здесь обозначается единичная сфера в (оснащенная евклидовой метрикой). Во всех этих примерах случаи дают так называемые расслоения Хопфа . ${\displaystyle S(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n=1}$

Основные свойства

Тривиализации и сечения

Один из наиболее важных вопросов, касающихся любого расслоения, заключается в том, является ли оно тривиальным , то есть изоморфным расслоению-продукту. Для главных расслоений существует удобная характеристика тривиальности:

Предложение . Главный расслоение тривиально тогда и только тогда, когда оно допускает глобальное сечение .

Этого нельзя сказать о других пучках волокон. Например, векторные расслоения всегда имеют нулевое сечение, независимо от того, тривиальны они или нет, а сферические расслоения могут допускать множество глобальных сечений, не будучи тривиальными.

Тот же факт применим и к локальным тривиализациям главных расслоений. Пусть π  : P → X — главное G -расслоение. Открытое множество U в X допускает локальную тривиализацию тогда и только тогда, когда на U существует локальное сечение . Учитывая локальную тривиализацию

${\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$

можно определить связанный локальный раздел

${\displaystyle s:U\to \pi ^{-1}(U);s(x)=\Phi ^{-1}(x,e)\,}$

где e — тождество в G. _ И наоборот, для данного сечения s можно определить тривиализацию Φ формулой

${\displaystyle \Phi ^{-1}(x,g)=s(x)\cdot g.}$

Простая транзитивность действия G на слоях P гарантирует, что это отображение является биекцией , а также гомеоморфизмом . Локальные тривиализации, определенные локальными сечениями, G - эквивариантны в следующем смысле. Если мы напишем

${\displaystyle \Phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G}$

в виде

${\displaystyle \Phi (p)=(\pi (p),\varphi (p)),}$

тогда карта

${\displaystyle \varphi :P\to G}$

удовлетворяет

${\displaystyle \varphi (p\cdot g)=\varphi (p)g.}$

Таким образом, эквивариантные тривиализации сохраняют G -торсорную структуру слоев. В терминах соответствующего локального сечения s отображение φ определяется выражением

${\displaystyle \varphi (s(x)\cdot g)=g.}$

Локальная версия теоремы о сечении затем утверждает, что эквивариантные локальные тривиализации главного расслоения находятся во взаимно однозначном соответствии с локальными сечениями.

Учитывая эквивариантную локальную тривиализацию ({ U _i }, {Φ _i }) P , у нас есть локальные сечения s _i на каждом U _i . При перекрытиях они должны быть связаны действием структурной группы G. Фактически связь обеспечивается функциями перехода

${\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G\,.}$

Склей локальные тривиализации вместе с помощью этих функций перехода, можно восстановить исходный главный расслоение. Это пример теоремы о построении расслоения . Для любого x ∈ U _i ∩ U _j имеем

${\displaystyle s_{j}(x)=s_{i}(x)\cdot t_{ij}(x).}$

Характеристика гладких главных расслоений

Если - гладкое главное -расслоение, то действует свободно и правильно на так, что пространство орбит диффеоморфно базовому пространству . Оказывается, эти свойства полностью характеризуют гладкие главные расслоения. То есть, если — гладкое многообразие, группа Ли и гладкое, свободное и собственное правое действие, то ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P/G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu :P\times G\to P}$

• ${\displaystyle P/G}$представляет собой гладкое многообразие,
• естественная проекция — плавное погружение , а ${\displaystyle \pi :P\to P/G}$
• ${\displaystyle P}$является гладким главным -расслоением над . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P/G}$

Использование понятия

Сокращение структурной группы

Учитывая подгруппу H группы G, можно рассмотреть расслоение , слои которого гомеоморфны смежному классу . Если новый пучок допускает глобальное сечение, то говорят, что сечение есть редукция структурной группы от до . Причиной этого названия является то, что (послойный) обратный образ значений этого раздела образует подпакет, который является основным -расслоением. Если есть тождество, то раздел самого себя есть приведение структурной группы к тождеству. Редукции структурной группы вообще не существует. ${\displaystyle P/H}$ ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$

Многие топологические вопросы о строении многообразия или о строении расслоений над ним, связанных с главным -расслоением, можно перефразировать как вопросы о допустимости редукции структурной группы (от к ). Например: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Расслоение фреймов ленты Мёбиуса является нетривиальным главным -расслоением над окружностью. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

• -мерное вещественное многообразие допускает почти комплексную структуру, если расслоение реперов на многообразии, слоями которого являются , можно свести к группе . ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle GL(2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )\subseteq \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$
• -мерное вещественное многообразие допускает -плоское поле, если расслоение реперов можно свести к структурной группе . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$
• Многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда его расслоение реперов можно свести к специальной ортогональной группе , . ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)\subseteq \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$
• Многообразие имеет спиновую структуру тогда и только тогда, когда его расслоение фреймов можно дополнительно свести к группе Spin , которая отображается как двойное накрытие. ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$

Также обратите внимание: -мерное многообразие допускает векторные поля, линейно независимые в каждой точке, тогда и только тогда, когда его расслоение реперов допускает глобальное сечение. В этом случае многообразие называется распараллеливаемым . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Связанные векторные расслоения и рамки

Если является главным -расслоением и является линейным представлением , то можно построить векторное расслоение со слоем как факторпроизведение × по диагональному действию . Это частный случай конструкции ассоциированного расслоения , и он называется ассоциированным векторным расслоением с . Если представление on точное , так что это подгруппа общей линейной группы GL( ), то является -расслоением и обеспечивает редукцию структурной группы расслоения фреймов от до . В этом смысле главные расслоения дают абстрактную формулировку теории расслоений фреймов. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E=P\times _{G}V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle GL(V)}$ ${\displaystyle G}$

Классификация основных пакетов

Любая топологическая группа G допускает классифицирующее пространство BG : фактор-фактор по действию G некоторого слабо стягиваемого пространства, например топологического пространства с исчезающими гомотопическими группами . Классифицирующее пространство обладает тем свойством, что любое главное расслоение G над паракомпактным многообразием B изоморфно образу главного расслоения EG → BG . ^[5] На самом деле верно большее, поскольку набор классов изоморфизма главных расслоений G над базой B отождествляется с набором гомотопических классов отображений B → BG .

Смотрите также

• Связанный пакет
• Векторный пакет
• G-структура
• Сокращение структурной группы
• Калибровочная теория
• Подключение (основной пакет)
• G-волокно

Рекомендации

1. Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-00548-6.стр. 35
2. Хуземоллер, Дейл (1994). Пучки волокон (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94087-8.стр. 42
3. Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9.стр. 37
4. Лоусон, Х. Блейн ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08542-5.стр. 370
5. Сташефф, Джеймс Д. (1971), « H -пространства и классифицирующие пространства: основы и последние разработки», Алгебраическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXII, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1970) , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 247–272., Теорема 2

Источники

• Бликер, Дэвид (1981). Калибровочная теория и вариационные принципы . Издательство Аддисон-Уэсли. ISBN 0-486-44546-1.
• Йост, Юрген (2005). Риманова геометрия и геометрический анализ ((4-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-25907-4.
• Хуземоллер, Дейл (1994). Пучки волокон (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94087-8.
• Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9.
• Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-00548-6.