В математике элемент тождества или нейтральный элемент бинарной операции — это элемент, который оставляет неизменным каждый элемент при применении операции. [1] [2] Например, 0 — это элемент тождества сложения действительных чисел . Это понятие используется в алгебраических структурах, таких как группы и кольца . Термин элемент тождества часто сокращается до тождества (как в случае аддитивного тождества и мультипликативного тождества) [3] , когда нет возможности путаницы, но тождество неявно зависит от бинарной операции, с которой оно связано.
Пусть ( S , ∗) — множество S , снабженное бинарной операцией ∗. Тогда элемент e множества S называетсялевая идентичность , еслиe∗s=sдля всех sв S, и aправая единица ,еслиs∗e=sдля всех sиз S.[4]Еслиeявляется как левой единицей, так и правой единицей, то она называетсядвусторонняя идентичность , или простоличность .[5][6][7][8][9]
Тождество относительно сложения называетсяаддитивное тождество (часто обозначаемое как 0) и тождество относительно умножения называетсямультипликативное тождество (часто обозначается как 1).[3]Это не обязательно должны быть обычные сложение и умножение, поскольку базовая операция может быть довольно произвольной. Например, в случаегруппыэлемент тождества иногда просто обозначается символом. Различие между аддитивным и мультипликативным тождеством чаще всего используется для множеств, которые поддерживают обе бинарные операции, такие каккольца,целостные областииполя. Мультипликативное тождество часто называютединство в последнем контексте (кольцо с единицей).[10][11][12]Это не следует путать сединицейв теории колец, которая является любым элементом, имеющиммультипликативную обратную. По своему собственному определению, единица сама по себе обязательно является единицей.[13][14]
В примере S = { e,f } с данными равенствами S является полугруппой . Это демонстрирует возможность для ( S , ∗) иметь несколько левых тождеств. Фактически, каждый элемент может быть левым тождеством. Аналогичным образом может быть несколько правых тождеств. Но если есть и правое тождество, и левое тождество, то они должны быть равны, что приводит к одному двустороннему тождеству.
Чтобы увидеть это, обратите внимание, что если l — левое тождество, а r — правое тождество, то l = l ∗ r = r . В частности, не может быть более одного двустороннего тождества: если бы их было два, скажем, e и f , то e ∗ f должно было бы быть равно и e, и f .
Также вполне возможно, что ( S , ∗) не будет иметь элемента тождества, [15] как в случае четных целых чисел при операции умножения. [3] Другим распространенным примером является векторное произведение векторов , где отсутствие элемента тождества связано с тем фактом, что направление любого ненулевого векторного произведения всегда ортогонально любому умножаемому элементу. То есть невозможно получить ненулевой вектор в том же направлении, что и исходный. Еще один пример структуры без элемента тождества включает аддитивную полугруппу положительных натуральных чисел .
