Квазигруппа

Магма, подчиняющаяся свойству латинского квадрата

Алгебраические структуры между магмами и группами : Квазигруппа — это магма с типом делимости , определяемым свойством латинского квадрата. Петля — это квазигруппа с единичным элементом .

В математике , особенно в абстрактной алгебре , квазигруппа — это алгебраическая структура, напоминающая группу в том смысле, что всегда возможно « деление ». Квазигруппы отличаются от групп главным образом тем, что свойства ассоциативного и единичного элемента не являются обязательными.

Квазигруппа с единичным элементом называется петлей .

Определения

Существует по крайней мере два структурно эквивалентных формальных определения квазигруппы. Один определяет квазигруппу как набор с одной бинарной операцией , а другой, исходя из универсальной алгебры , определяет квазигруппу как имеющую три примитивные операции. Однако гомоморфный образ квазигруппы, определенный с помощью одной бинарной операции, не обязательно должен быть квазигруппой . ^[1] Начнем с первого определения.

Алгебра

Квазигруппа ( Q , ∗) — это непустое множество Q с бинарной операцией ∗ (то есть магмой , указывающей на то , что квазигруппа должна удовлетворять свойству замыкания), подчиняющееся свойству латинского квадрата . Это означает, что для каждых a и b в Q существуют уникальные элементы x и y в Q такие, что оба

а * х = б

у * а = б

держать. (Другими словами: каждый элемент множества встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце таблицы умножения квазигруппы или таблицы Кэли . Это свойство гарантирует, что таблица Кэли конечной квазигруппы и, в частности, конечная группа — это латинский квадрат .) Требование уникальности x и y можно заменить требованием, чтобы магма была сокращающейся . ^{[2] [а]}

Единственные решения этих уравнений записываются x = a \ b и y = b / a . Операции '\' и '/' называются соответственно левым делением и правым делением . Что касается таблицы Кэли, первое уравнение (левое деление) означает, что запись b в строке a находится в столбце x , а второе уравнение (правое деление) означает, что запись b в столбце a находится в строке y . .

Пустое множество , оснащенное пустой бинарной операцией, удовлетворяет этому определению квазигруппы. Некоторые авторы допускают пустую квазигруппу, но другие явно исключают ее. ^{[3] [4]}

Универсальная алгебра

Учитывая некоторую алгебраическую структуру , тождество — это уравнение, в котором все переменные неявно имеют универсальную количественную оценку и в котором все операции относятся к числу примитивных операций, присущих структуре. Алгебраические структуры, удовлетворяющие аксиомам, заданным исключительно тождествами, называются многообразием . Многие стандартные результаты универсальной алгебры справедливы только для многообразий. Квазигруппы образуют многообразие, если считать левое и правое деление примитивными.

Правая квазигруппа ( Q , ∗, /) — это алгебра типа (2, 2) , удовлетворяющая обоим тождествам:

y знак равно ( y / Икс ) * Икс

y знак равно ( y * Икс ) / Икс .

Левая квазигруппа ( Q , ∗, \) — это алгебра типа (2, 2) , удовлетворяющая обоим тождествам:

y знак равно Икс * ( Икс \ y )

y знак равно Икс \ ( Икс * y ).

Квазигруппа ( Q , ∗, \, /) — это алгебра типа (2, 2, 2) (т. е. снабженная тремя бинарными операциями), удовлетворяющая тождествам: [ ^b]

y знак равно ( y / Икс ) * Икс

y знак равно ( y * x ) / x

y знак равно Икс * ( Икс \ y )

y знак равно Икс \ ( Икс * y ).

Другими словами: умножение и деление в любом порядке, одно за другим, на одной и той же стороне одним и тем же элементом, не имеют итогового эффекта.

Следовательно, если ( Q , ∗) — квазигруппа согласно определению предыдущего раздела, то ( Q , ∗, \, /) — та же самая квазигруппа в смысле универсальной алгебры. И наоборот: если ( Q , ∗, \, /) — квазигруппа в смысле универсальной алгебры, то ( Q , ∗) — квазигруппа согласно первому определению.

Петли

Петля — это квазигруппа с единичным элементом ; то есть элемент e такой, что

x ∗ e = x и e ∗ x = x для всех x в Q .

Отсюда следует, что единичный элемент e уникален и что каждый элемент Q имеет уникальные левые и правые обратные элементы (которые не обязательно должны быть одинаковыми).

Квазигруппа с идемпотентным элементом называется пике («острая идемпотентная квазигруппа»); это более слабое понятие, чем цикл, но, тем не менее, распространенное, потому что, например, для данной абелевой группы ( A , +) принятие ее операции вычитания как квазигруппового умножения дает пике ( A , − ) с групповым тождеством (нолем), повернутым в «заостренный идемпотент». (То есть существует главная изотопия ( x , y , z ) ↦ ( x , − y , z ) .)

Цикл, который является ассоциативным, является группой. Группа может иметь строго неассоциативный пике-изотоп, но не может иметь строго неассоциативный петлевой изотоп.

Существуют более слабые свойства ассоциативности, которым даны специальные имена.

Например, цикл Bol — это цикл, который удовлетворяет одному из следующих условий:

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = ( x ∗ ( y ∗ x )) ∗ z      для каждого x , y и z в Q ( левая петля Бола ),

или еще

(( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( x ∗ y ) ∗ x ) для каждого x , y и z в Q ( правая петля Бола ).

Петля, которая одновременно является левой и правой петлей Бола, является петлей Муфанг . Это эквивалентно любому из следующих единичных тождеств Муфанга, справедливых для всех x , y , z :

Икс * ( у * ( Икс * z )) знак равно ( ( Икс * у ) * Икс ) * z ,

z * ( Икс * ( у * Икс )) знак равно ( ( z * Икс ) * у ) * Икс ,

( Икс ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) знак равно Икс ∗ ( ( y ∗ z ) ∗ x ), или

( Икс * y ) * ( z * Икс ) знак равно ( Икс * ( y * z )) * Икс .

Симметрии

(Смит 2007) называет следующие важные свойства и подклассы:

Полусимметрия

Квазигруппа является полусимметричной , если выполнено любое из следующих эквивалентных тождеств: ^[c]

х * у = у / х

y ∗ x = x \ y

Икс знак равно ( y * x ) * y

Икс знак равно у * ( Икс * у ).

Хотя этот класс может показаться особенным, каждая квазигруппа Q индуцирует полусимметричную квазигруппу Q ∆ на кубе прямого произведения Q ³ посредством следующей операции:

( Икс ₁ , Икс ₂ , Икс ₃ ) ⋅ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) знак равно ( y ₃ / Икс ₂ , y ₁ \ Икс ₃ , Икс ₁ * y ₂ ) = ( Икс ₂ // y ₃ , Икс ₃ \\ У ₁ , Икс ₁ * У ₂ ),

где "//" и "\\" — операции сопряженного деления, заданные y // x = x / y и y \\ x = x \ y .

Триальность

Полная симметрия

Более узкий класс — это вполне симметричная квазигруппа (иногда сокращенно TS-квазигруппа ), в которой все сопряженные совпадают как одна операция: x ∗ y = x / y = x \ y . Другой способ определить (то же самое понятие) полностью симметричную квазигруппу — это полусимметричную квазигруппу, которая является коммутативной, т. е. x ∗ y = y ∗ x .

Идемпотентные тотальные симметричные квазигруппы являются в точности (т.е. в биекции с) тройками Штейнера , поэтому такую ​​квазигруппу еще называют квазигруппой Штейнера , а иногда последнюю даже сокращают как sqag . Термин шлюп относится к аналогу циклов, а именно к полностью симметричным циклам, которые удовлетворяют условию x ∗ x = 1 вместо x ∗ x = x . Без идемпотентности полные симметричные квазигруппы соответствуют геометрическому понятию расширенной тройки Штейнера, также называемой обобщенной эллиптической кубической кривой (GECC).

Полная антисимметрия

Квазигруппа ( Q , ∗) называется слабо тотально антисимметричной, если для всех c , x , y ∈ Q выполняется следующая импликация. ^[7]

( c * x ) * y знак равно ( c * y ) * x подразумевает, что x = y .

Квазигруппа ( Q , ∗) называется тотально антисимметричной, если, кроме того, для всех x , y ∈ Q выполняется следующая импликация: ^[7]

x ∗ y = y ∗ x подразумевает, что x = y .

Это свойство требуется, например, в алгоритме Дамма .

Примеры

• Каждая группа является петлей, поскольку a ∗ x = b тогда и только тогда, когда x = a ⁻¹ ∗ b , и y ∗ a = b тогда и только тогда, когда y = b ∗ a ⁻¹ .
• Целые числа Z (или рациональные числа Q или действительные числа R ) с вычитанием (−) образуют квазигруппу. Эти квазигруппы не являются петлями, поскольку в них нет единичного элемента (0 является правым тождеством, потому что a − 0 = a , но не левым тождеством, потому что, вообще говоря, 0 − a ≠ a ).
• Ненулевые рациональные числа Q ^× (или ненулевые действительные числа R ^× ) с делением (÷) образуют квазигруппу.
• Любое векторное пространство над полем характеристики , не равной 2, образует идемпотентную коммутативную квазигруппу относительно операции x ∗ y = ( x + y )/2 .
• Каждая система троек Штейнера определяет идемпотентную коммутативную квазигруппу : a ∗ b — третий элемент тройки, содержащий a и b . Эти квазигруппы также удовлетворяют условиям ( x ∗ y ) ∗ y = x для всех x и y в квазигруппе. Эти квазигруппы известны как квазигруппы Штейнера . ^[8]
• Набор {±1, ±i, ±j, ±k} , где ii = jj = kk = +1 и со всеми другими произведениями, как и в группе кватернионов, образует неассоциативную петлю порядка 8. См. ее применение в гиперболических кватернионах . (Сами гиперболические кватернионы не образуют петлю или квазигруппу.)
• Ненулевые октонионы образуют неассоциативную петлю при умножении. Октонионы представляют собой особый тип петли, известный как петля Муфанга .
• Ассоциативная квазигруппа либо пуста, либо является группой, поскольку при наличии хотя бы одного элемента обратимость бинарной операции квазигруппы в сочетании с ассоциативностью подразумевает существование единичного элемента, что затем влечет за собой существование обратных элементов, удовлетворяя таким образом всем три требования группы.
• Следующая конструкция принадлежит Гансу Зассенхаусу . На базовом множестве четырехмерного векторного пространства F ⁴ над трехэлементным полем Галуа F = Z /3 Z определим

  ( Икс ₁ , Икс ₂ , Икс ₃ , Икс ₄ ) * ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) знак равно ( Икс ₁ , Икс ₂ , Икс ₃ , Икс ₄ ) + ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , у ₄ ) + (0, 0, 0, ( Икс ₃ - у ₃ )( Икс ₁ у ₂ - Икс ₂ у ₁ )).

Тогда ( F ⁴ , ∗) — коммутативная лупа Муфанга , не являющаяся группой. ^[9]

• В более общем смысле, ненулевые элементы любой алгебры с делением образуют квазигруппу с операцией умножения в алгебре.

Характеристики

В оставшейся части статьи мы будем обозначать умножение квазигрупп просто сопоставлением .

Квазигруппы обладают свойством сокращения : если ab = ac , то b = c . Это следует из единственности левого деления ab или ac на a . Аналогично, если ba = ca , то b = c .

Свойство квазигрупп латинского квадрата означает, что для любых двух из трех переменных в xy = z третья переменная определена однозначно.

Операторы умножения

Определение квазигруппы можно рассматривать как условия на левый и правый операторы умножения L _x , R _x  : Q → Q , определяемые формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}(y)&=xy\\R_{x}(y)&=yx\\\end{aligned}}}$

В определении говорится, что оба отображения являются биекциями Q в себя. Магма Q является квазигруппой именно тогда, когда все эти операторы для каждого x в Q биективны. Обратные отображения — это левое и правое деление, т. е.

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}^{-1}(y)&=x\backslash y\\R_{x}^{-1}(y)&=y/x\end{aligned}}}$

В этих обозначениях тождества между операциями умножения и деления квазигруппы (установленные в разделе об универсальной алгебре) имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}L_{x}^{-1}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x(x\backslash y)&=y\\L_{x}^{-1}L_{x}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x\backslash (xy)&=y\\R_{x}R_{x}^{-1}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (y/x)x&=y\\R_{x}^{-1}R_{x}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (yx)/x&=y\end{aligned}}}$

где id обозначает тождественное отображение на Q .

Латинские квадраты

Латинский квадрат, таблица умножения без границ для квазигруппы, 10 элементов которой представляют собой цифры 0–9.

Таблица умножения конечной квазигруппы представляет собой латинский квадрат : таблицу размера n × n , заполненную n различными символами таким образом, что каждый символ встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце.

И наоборот, каждый латинский квадрат можно рассматривать как таблицу умножения квазигруппы разными способами: граничная строка (содержащая заголовки столбцов) и граничная колонка (содержащая заголовки строк) могут представлять собой любую перестановку элементов. См. маленькие латинские квадраты и квазигруппы .

Бесконечные квазигруппы

Для счетной бесконечной квазигруппы Q можно представить бесконечный массив, в котором каждая строка и каждый столбец соответствуют некоторому элементу q из Q и где элемент a ∗ b находится в строке, соответствующей a , и столбце, отвечающем b. . И в этой ситуации свойство латинского квадрата говорит, что каждая строка и каждый столбец бесконечного массива будут содержать все возможные значения ровно один раз.

Для несчетной бесконечной квазигруппы, такой как группа ненулевых действительных чисел при умножении, свойство латинского квадрата по-прежнему сохраняется, хотя название несколько неудовлетворительно, поскольку невозможно создать массив комбинаций, для которых применяется вышеприведенная идея Бесконечный массив расширяется, поскольку все действительные числа не могут быть записаны последовательно . (Однако это несколько вводит в заблуждение, поскольку действительные числа могут быть записаны в виде последовательности длины в предположении теоремы о хорошем порядке .) ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Обратные свойства

Бинарная операция квазигруппы обратима в том смысле, что и , левый и правый операторы умножения, биективны и, следовательно, обратимы . ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle R_{x}}$

Каждый элемент цикла имеет уникальную левую и правую инверсию, заданную формулой

${\displaystyle x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e}$

${\displaystyle x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e}$

Говорят, что цикл имеет ( двусторонние ) инверсии, если для всех x . В этом случае обратный элемент обычно обозначается . ${\displaystyle x^{\lambda }=x^{\rho }}$ ${\displaystyle x^{-1}}$

Есть несколько более строгих понятий инверсий в циклах, которые часто бывают полезны:

• Цикл обладает левым обратным свойством, если для всех и . Эквивалентно или . ${\displaystyle x^{\lambda }(xy)=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{x}^{-1}=L_{x^{\lambda }}}$ ${\displaystyle x\backslash y=x^{\lambda }y}$
• Цикл обладает правым обратным свойством, если для всех и . Эквивалентно или . ${\displaystyle (yx)x^{\rho }=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R_{x}^{-1}=R_{x^{\rho }}}$ ${\displaystyle y/x=yx^{\rho }}$
• Цикл обладает антиавтоморфным обратным свойством if или, что то же самое, if . ${\displaystyle (xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }}$ ${\displaystyle (xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }}$
• Цикл обладает слабым обратным свойством тогда и только тогда, когда . Это можно выразить в терминах обратных значений через или эквивалентно . ${\displaystyle (xy)z=e}$ ${\displaystyle x(yz)=e}$ ${\displaystyle (xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }}$ ${\displaystyle x(yx)^{\rho }=y^{\rho }}$

Цикл обладает инверсным свойством, если он имеет как левые, так и правые инверсные свойства. Петли обратных свойств также обладают антиавтоморфными и слабыми обратными свойствами. Фактически, любой цикл, который удовлетворяет любым двум из четырех приведенных выше тождеств, обладает обратным свойством и, следовательно, удовлетворяет всем четырем.

Любой цикл, который удовлетворяет свойствам левой, правой или антиавтоморфной инверсии, автоматически имеет двусторонние инверсии.

Морфизмы

Квазигруппа или гомоморфизм петель — это отображение f  : Q → P между двумя квазигруппами такое, что f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . Гомоморфизмы квазигрупп обязательно сохраняют левое и правое деление, а также единичные элементы (если они существуют).

Гомотопия и изотопия

Пусть Q и P — квазигруппы. Гомотопия квазигруппы из Q в P — это тройка ( α , β , γ ) отображений из Q в P такая, что

${\displaystyle \alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,}$

для всех x , y в Q. Гомоморфизм квазигруппы — это просто гомотопия, для которой три отображения равны.

Изотопия — это гомотопия, для которой каждое из трёх отображений ( α , β , γ ) является биекцией . Две квазигруппы изотопны , если между ними существует изотопия. В терминах латинских квадратов изотопия ( α , β , γ ) задается перестановкой строк α , перестановкой столбцов β и перестановкой базового набора элементов γ .

Автотопия — это изотопия квазигруппы в себя. Множество всех автотопий квазигруппы образует группу с группой автоморфизмов в качестве подгруппы.

Каждая квазигруппа изотопна петле. Если петля изотопна группе, то она изоморфна этой группе и, следовательно, сама является группой. Однако квазигруппа, изотопная группе, не обязательно должна быть группой. Например, квазигруппа на R с умножением, заданным формулой ( x , y ) ↦ ( x + y )/2 , изотопна аддитивной группе ( R , +) , но сама по себе не является группой, поскольку не имеет единичного элемента. Каждая медиальная квазигруппа изотопна абелевой группе по теореме Брюка–Тойоды .

Сопряжение (парастрофа)

Левое и правое деление являются примерами формирования квазигруппы путем перестановки переменных в определяющем уравнении. Из исходной операции ∗ (т. е. x ∗ y = z ) мы можем сформировать пять новых операций: x o y  := y ∗ x ( противоположная операция), / и \ и их противоположности. Всего получается шесть квазигрупповых операций, которые называются сопряжениями или парастрофами ∗ . Любые две из этих операций называются «сопряженными» или «парастрофическими» друг другу (и самим себе).

Изострофа (паратопия)

Если в множестве Q есть две квазигрупповые операции ∗ и ·, и одна из них изотопна сопряженной другой, то операции называются изострофными друг другу. Есть также много других названий этого отношения «изострофы», например, паратопия .

Обобщения

Полиадические или мультиарные квазигруппы

n - арная квазигруппа — это набор с n -арной операцией ( Q , f ) с f  : Q ⁿ → Q , такой, что уравнение f ( x ₁ ,..., x _n ) = y имеет единственное решение для любой одной переменной, если все остальные n переменных указаны произвольно. Полиадический или мультиарный означает n -арный для некоторого неотрицательного целого числа n .

0-арная, или нульарная , квазигруппа — это просто постоянный элемент Q. 1-арная, или унарная , квазигруппа является биекцией Q сама в себя. Бинарная , или 2-арная , квазигруппа является обычной квазигруппой.

Примером мультиарной квазигруппы является итерированная групповая операция, y = x ₁ · x ₂ · ··· · x _n ; нет необходимости использовать круглые скобки для указания порядка операций, поскольку группа ассоциативна. Мультиарную квазигруппу можно также сформировать, выполняя любую последовательность одинаковых или разных групповых или квазигрупповых операций, если порядок операций указан.

Существуют мультиарные квазигруппы, которые невозможно представить ни одним из этих способов. n -арная квазигруппа неприводима , если ее операцию нельзя разложить в композицию двух операций следующим образом:

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=g(x_{1},\dots ,x_{i-1},\,h(x_{i},\dots ,x_{j}),\,x_{j+1},\dots ,x_{n}),}$

где 1 ≤ я < j ≤ n и ( я, j ) ≠ (1, n ) . Конечные неприводимые n -арные квазигруппы существуют для всех n > 2 ; подробности см. в работе Акивиса и Голдберга (2001).

n - арная квазигруппа с n -арной версией ассоциативности называется n -арной группой .

Количество малых квазигрупп и петель

Здесь указано количество классов изоморфизма малых квазигрупп (последовательность A057991 в OEIS ) и петель (последовательность A057771 в OEIS ): ^[10]

Смотрите также

• Тело - кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный.
• Полугруппа - алгебраическая структура, состоящая из множества вместе с ассоциативной бинарной операцией.
• Моноид - полугруппа с единичным элементом.
• Планарное тройное кольцо - имеет аддитивную и мультипликативную петлеобразную структуру.
• Проблемы теории петель и теории квазигрупп
• Математика судоку

Примечания

1. Для ясности, одной отмены недостаточно: необходимо сохранить требование существования решения.
2. Есть шесть тождеств, которым удовлетворяют эти операции, а именно ^[5]

   y знак равно ( y / Икс ) * Икс , y знак равно Икс \ ( Икс * y ), y знак равно Икс / ( y \ x )

   y знак равно ( y * Икс ) / Икс , y знак равно Икс * ( Икс \ y ), y знак равно ( Икс / y ) \ Икс .

   Из них первые три влекут за собой последние три, и наоборот, что приводит к тому, что любого набора из трех тождеств достаточно для уравнения квазигруппы. ^[6]
3. Первые два уравнения эквивалентны двум последним благодаря прямому применению свойства сокращения квазигрупп. Последняя пара оказывается эквивалентной, если установить x = (( x ∗ y ) ∗ x ) ∗ ( x ∗ y ) = y ∗ ( x ∗ y ) .

Рекомендации

Цитаты

1. Смит 2007, стр. 3, 26–27.
2. Рубин и Рубин 1985, с. 109
3. Пфлюгфельдер 1990, с. 2
4. Брук 1971, с. 1
5. Щербаков, Пушкашу и Щербаков 2021, с. 1
6. Щербаков, Пушкашу и Щербаков 2021, с. 3, Тэм. 1, 2
7. Дамм 2007
8. Колборн и Диниц 2007, с. 497, определение 28.12
9. Романовска и Смит 1999, с. 93
10. Маккей, Мейнерт и Мирвольд, 2007 г.

Источники

• Акивис, Массачусетс; Гольдберг, Владислав В. (2001). «Решение проблемы Белоусова». Дискуссии Mathematicae – Общая алгебра и приложения . 21 (1): 93–103. arXiv : math/0010175 . дои : 10.7151/dmgaa.1030. S2CID  18421746.
• Белоусов, В.Д. (1967). Основы теории квазигрупп и петель (на русском языке). Москва: Издат. «Наука». ОСЛК  472241611.
• Белоусов, В.Д. (1971). Алгебраические сети и квазигруппы (на русском языке). Кишинев: Издат. «Штинка». ОСЛК  8292276.
• Белоусов, В.Д. (1981). Элементы теории квазигрупп: специальный курс . Кишинев: Типография Кишиневского государственного университета. ОСЛК  318458899.
• Брук, Р.Х. (1971) [1958]. Обзор бинарных систем. Спрингер. ISBN 978-0-387-03497-3.
• Чейн, О.; Пфлюгфельдер, ХО; Смит, JDH, ред. (1990). Квазигруппы и петли: теория и приложения . Берлин: Хелдерманн. ISBN 978-3-88538-008-5.
• Колборн, Чарльз Дж.; Диниц, Джеффри Х. (2007), Справочник по комбинаторным расчетам (2-е изд.), CRC Press, ISBN 978-1-58488-506-1
• Дамм, Х. Майкл (2007). «Тотально антисимметричные квазигруппы для всех порядков n ≠ 2, 6». Дискретная математика . 307 (6): 715–729. дои : 10.1016/j.disc.2006.05.033 .
• Дудек, Вашингтон; Глазек, К. (2008). «О теореме Хоссу-Глускина для n -арных групп». Дискретная математика . 308 (21): 4861–76. arXiv : math/0510185 . doi :10.1016/j.disc.2007.09.005. S2CID  9545943.
• Маккей, Брендан Д.; Мейнерт, Элисон; Мирволд, Венди (2007). «Малые латинские квадраты, квазигруппы и петли» (PDF) . Дж. Комб. Дес . 15 (2): 98–119. CiteSeerX  10.1.1.151.3043 . дои : 10.1002/jcd.20105. Збл  1112.05018.
• Пфлюгфельдер, Х.О. (1990). Квазигруппы и петли: Введение . Берлин: Хелдерманн. ISBN 978-3-88538-007-8.
• Романовская, Анна Б .; Смит, Джонатан Д.Х. (1999), «Пример 4.1.3 (Коммутативная петля Муфанга Зассенхауса)», Постмодернистская алгебра , Чистая и прикладная математика, Нью-Йорк: Wiley, doi : 10.1002/9781118032589, ISBN 978-0-471-12738-3, МР  1673047
• Рубин, Х.; Рубин, Дж. Э. (1985). Эквиваленты аксиомы выбора, II . Эльзевир.
• Щербаков, В.А. (2017). Элементы теории квазигрупп и их приложения . ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4987-2155-4.
• Щербаков В.А.; Пушкашу, Д.И.; Щербаков, А.В. (2021). «Определения эквациональных квазигрупп». arXiv : 1003.3175v1 [math.GR].
• Смит, JDH (2007). Введение в квазигруппы и их представления . ЦРК Пресс. ISBN 978-1-58488-537-5.

Внешние ссылки

• квазигруппы
• «Квазигруппа», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]