В области математики , называемой абстрактной алгеброй , алгебра с делением — это, грубо говоря, алгебра над полем , в котором деление , кроме нуля, всегда возможно.
Формально мы начинаем с ненулевой алгебры D над полем . Мы называем D делением , если для любого элемента a в D и любого ненулевого элемента b в D существует ровно один элемент x в D с a = bx и ровно один элемент y в D такой, что a = yb .
Для ассоциативных алгебр определение можно упростить следующим образом: ненулевая ассоциативная алгебра над полем является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда она имеет мультипликативный единичный элемент 1 и каждый ненулевой элемент a имеет мультипликативный обратный (т. е. элемент x с ax = xa = 1 ).
Наиболее известными примерами ассоциативных алгебр с делением являются конечномерные действительные алгебры (то есть алгебры над полем R действительных чисел , которые конечномерны как векторное пространство над вещественными числами). Теорема Фробениуса утверждает, что с точностью до изоморфизма существует три таких алгебры: сами действительные числа (размерность 1), поле комплексных чисел (размерность 2) и кватернионы (размерность 4).
Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что если D — конечное алгебра с делением, то D — конечное поле . [1]
Над алгебраически замкнутым полем K (например , комплексными числами C ) не существует конечномерных ассоциативных алгебр с делением, кроме самого K. [2]
Ассоциативные алгебры с делением не имеют ненулевых делителей нуля . Конечномерная ассоциативная алгебра с единицей (над любым полем) является алгеброй с делением тогда и только тогда, когда она не имеет ненулевых делителей нуля.
Если A — ассоциативная алгебра с единицей над полем F, а S — простой модуль над A , то кольцо эндоморфизмов S является телом над F ; каждая ассоциативная алгебра с делением над F возникает таким образом.
Центр ассоциативной алгебры с делением D над полем K — это поле, содержащее K. Размерность такой алгебры над ее центром, если она конечна, представляет собой полный квадрат : она равна квадрату размерности максимального подполя D над центром. Для данного поля F классы эквивалентности Брауэра простых (содержащих только тривиальные двусторонние идеалы) ассоциативных алгебр с телом, центром которых является F и конечномерных над F , можно превратить в группу, группу Брауэра поля F .
Один из способов построения конечномерных ассоциативных алгебр с делением над произвольными полями — это алгебры кватернионов (см. также кватернионы ).
Для бесконечномерных ассоциативных алгебр с делением наиболее важными являются случаи, когда пространство имеет некоторую разумную топологию . См., например , нормированные алгебры с делением и банаховы алгебры .
Если алгебра с делением не предполагается ассоциативной, обычно вместо нее налагается какое-то более слабое условие (например, альтернативность или степенная ассоциативность ). Список таких условий см. в разделе «Алгебра над полем» .
Над вещественными числами существуют (с точностью до изоморфизма) только две унитарные коммутативные конечномерные алгебры с делением: сами вещественные числа и комплексные числа. Они, конечно, оба ассоциативны. В качестве неассоциативного примера рассмотрим комплексные числа с умножением, определяемым путем комплексного сопряжения обычного умножения:
Это коммутативная неассоциативная алгебра с делением размерности 2 над действительными числами, не имеющая единичного элемента. Существует бесконечно много других неизоморфных коммутативных, неассоциативных конечномерных вещественных дивизионных алгебр, но все они имеют размерность 2.
Фактически, каждая конечномерная вещественная коммутативная алгебра с делением является либо 1-, либо 2-мерной. Это известно как теорема Хопфа и было доказано в 1940 году. В доказательстве используются методы топологии . Хотя более позднее доказательство было найдено с использованием алгебраической геометрии , прямого алгебраического доказательства неизвестно. Основная теорема алгебры является следствием теоремы Хопфа.
Отказавшись от требования коммутативности, Хопф обобщил свой результат: любая конечномерная вещественная алгебра с делением должна иметь размерность степень 2.
Более поздние работы показали, что на самом деле любая конечномерная вещественная алгебра с делением должна иметь размерность 1, 2, 4 или 8. Это было независимо доказано Мишелем Кервером и Джоном Милнором в 1958 году, снова с использованием методов алгебраической топологии , в частности K -теория . Адольф Гурвиц показал в 1898 году, что тождество справедливо только для измерений 1, 2, 4 и 8. [3] (См. теорему Гурвица .) Задача построения трехмерной алгебры с делением решалась несколькими ранними математиками. Кеннет О. Мэй рассмотрел эти попытки в 1966 году. [4]
Любая вещественная конечномерная алгебра с делением над вещественными числами должна быть
О размерности конечномерного тела A над полем K известно следующее :
