В абстрактной алгебре магма , бинар [1] или, реже, группоид являются основным видом алгебраической структуры . В частности, магма состоит из множества , оснащенного одной бинарной операцией , которая по определению должна быть закрыта . Никакие другие свойства не налагаются.
Термин группоид был введен в 1927 году Генрихом Брандтом при описании его группоида Брандта (в переводе с немецкого Gruppoid ). Этот термин затем был присвоен Б. А. Хаусманом и Ойстейном Оре (1937) [2] в том смысле (множества с бинарной операцией), который используется в этой статье. В паре обзоров последующих статей в Zentralblatt Брандт категорически не согласился с такой перегрузкой терминологии. Группоид Брандта является группоидом в том смысле, который используется в теории категорий, но не в том смысле, который используют Хаусманн и Оре. Тем не менее, влиятельные книги по теории полугрупп, в том числе Клиффорд и Престон (1961) и Хоуи (1995), используют группоид в смысле Хаусмана и Оре. Холлингс (2014) пишет, что термин группоид «возможно, чаще всего используется в современной математике» в том смысле, который придается ему в теории категорий. [3]
По словам Бергмана и Хаускнехта (1996): «Не существует общепринятого слова для обозначения множества с не обязательно ассоциативной бинарной операцией. Слово « группоид» используется многими универсальными алгебраистами, но специалисты в теории категорий и смежных областях категорически возражают против этого использования. потому что они используют одно и то же слово для обозначения «категории, в которой все морфизмы обратимы». Термин « магма» использовал Серр [Алгебры Ли и группы Ли, 1965]». [4] Оно также появляется в книге Бурбаки «Элементы математики» , «Алгебра», главы 1–3, 1970 г. [5]
Магма — это множество M , сопоставленное с операцией •, которая переводит любые два элемента a , b ∈ M в другой элемент, a • b ∈ M. Символ • является общим заполнителем для правильно определенной операции. Чтобы квалифицироваться как магма, набор и операция ( M , •) должны удовлетворять следующему требованию (известному как аксиома магмы или замыкания ):
И в математической записи:
Если • вместо этого является частичной операцией , то ( M , •) называется частичной магмой [6] или, чаще, частичным группоидом . [6] [7]
Морфизм магмы — это функция f : M → N , которая отображает магму ( M , •) в магму ( N , ∗) , сохраняющую бинарную операцию:
Операцию магмы можно применять неоднократно, и в общем, неассоциативном случае имеет значение порядок, который обозначается круглыми скобками. Кроме того, операция • часто опускается и обозначается сопоставлением:
Для уменьшения количества круглых скобок часто используется сокращение, в котором самые внутренние операции и пары круглых скобок опускаются и заменяются только сопоставлением: xy • z ≡ ( x • y ) • z . Например, приведенное выше сокращенно до следующего выражения, все еще содержащего круглые скобки:
Способом полностью избежать использования круглых скобок является префиксная запись , в которой одно и то же выражение будет записываться •• a • bcd . Другой способ, знакомый программистам, — это постфиксная нотация ( обратная польская нотация ), в которой то же самое выражение будет записываться abc •• d • , при котором порядок выполнения просто слева направо (без каррирования ).
Совокупность всех возможных строк, состоящих из символов, обозначающих элементы магмы, и наборов сбалансированных круглых скобок, называется языком Дика . Общее количество различных способов записи n применений оператора магмы определяется каталонским числом C n . Так, например, C 2 = 2 , что означает утверждение, что ( ab ) c и a ( bc ) — единственные два способа соединения трех элементов магмы с помощью двух операций. Менее тривиально, C 3 = 5 : (( ab ) c ) d , ( a ( bc )) d , ( ab ) ( cd ) , a ( ( bc ) d ) и a ( b ( cd )) .
Существует n n 2 магм с n элементами, значит, их 1, 1, 16, 19683,4 294 967 296 , ... (последовательность A002489 в OEIS ) магмы с 0, 1, 2, 3, 4, ... элементами. Соответствующие количества неизоморфных магм равны 1, 1, 10, 3330,178 981 952 , ... (последовательность A001329 в OEIS ) и количества одновременно неизоморфных и неантиизоморфных магм равны 1, 1, 7, 1734,89 521 056 , ... (последовательность A001424 в OEIS ). [8]
Свободная магма M X на множестве X — это «наиболее общая возможная» магма, порожденная X (т. е. на генераторы не налагаются никакие отношения или аксиомы; см. свободный объект ). Бинарная операция над M X формируется путем заключения каждого из двух операндов в круглые скобки и их сопоставления в одном и том же порядке. Например:
M X можно описать как набор неассоциативных слов на X с сохраненными круглыми скобками. [9]
Его также можно рассматривать, в терминах, знакомых в информатике , как магму полных бинарных деревьев с листьями, помеченными элементами X. Операция заключается в соединении деревьев в корне. Поэтому он играет основополагающую роль в синтаксисе .
Свободная магма обладает таким универсальным свойством , что если f : X → N является функцией от X до любой магмы N , то существует единственное расширение f до морфизма магм f ′
Магмы как таковые изучаются нечасто; вместо этого существует несколько различных видов магмы, в зависимости от того, каким аксиомам должна удовлетворять операция. Обычно изучаемые типы магмы включают:
Обратите внимание, что делимость и обратимость подразумевают свойство отмены .
Магма ( S , • ) с x , y , u , z ∈ S называется
Категория магм, обозначаемая Mag , — это категория , объектами которой являются магмы, а морфизмы — гомоморфизмы магмы. Категория Mag имеет прямые произведения и существует функтор включения : Set → Med ↪ Mag как тривиальные магмы, с операциями , заданными проекцией x T y = y .
Важным свойством является то, что инъективный эндоморфизм может быть расширен до автоморфизма магматического расширения , просто копредела ( постоянной последовательности) эндоморфизма .
Поскольку синглтон ({*}, *) является конечным объектом Mag и поскольку Mag является алгебраическим , Mag является точечным и полным . [12]
