Гиперкэлерово многообразие

В дифференциальной геометрии гиперкелерово многообразие — это риманово многообразие , наделенное тремя интегрируемыми почти комплексными структурами , кэлеровыми относительно римановой метрики и удовлетворяющими кватернионным соотношениям . В частности, это гиперкомплексное многообразие . Все гиперкелеровые многообразия являются Риччи-плоскими и, следовательно, являются многообразиями Калаби–Яу . ^[а] $(M,g)$ $I,J,K$ $г$ $I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1$

Гиперкэлеровы многообразия были определены Эудженио Калаби в 1979 году. ^[1]

История ранних веков

В статье Марселя Бергера 1955 года ^[2] о классификации римановых групп голономии впервые был поднят вопрос о существовании несимметричных многообразий с голономией Sp( n ) · Sp(1). Интересные результаты были доказаны в середине 1960-х годов в новаторских работах. Эдмондом Бонаном ^[3] и Крейнсом ^[4] , которые независимо доказали, что любое такое многообразие допускает параллельную 4-форму . Долгожданный аналог сильной теоремы Лефшеца был опубликован ^[5] в 1982 году: $\Омега$ $\Omega ^{nk}\wedge \bigwedge ^{2k}T^{*}M =\bigwedge ^{4n-2k}T^{*}M.$

Эквивалентное определение с точки зрения голономии

Эквивалентно, гиперкэлерово многообразие — это риманово многообразие размерности , группа голономии которого содержится в компактной симплектической группе Sp( n ) . ^[1] $(M,g)$ $4n$

Действительно, если является гиперкелеровым многообразием, то касательное пространство $T$ $x$ $M$ является кватернионным векторным пространством для каждой точки $x$ из $M$ , т. е. оно изоморфно для некоторого целого числа , где – алгебра кватернионов . Компактную симплектическую группу Sp( n ) можно рассматривать как группу ортогональных преобразований которой линейны относительно $I$ , $J$ и $K.$ Отсюда следует, что группа голономии риманова многообразия содержится в $Sp($ $n$ $)$ . $И$ $наоборот$ $,$ $если$ группа голономии риманова многообразия размерности содержится в $Sp$ $($ $n$ $)$ , выберите комплексные структуры $Ix$ $,$ $Jx$ и $Kx$ на $TxM$ , которые превращают $TxM$ $в$ кватернионное векторное пространство. Параллельный перенос этих комплексных структур дает требуемые комплексные структуры на $M$ , превращающие их в гиперкэлерово многообразие. $(M,g,I,J,K)$ $\mathbb {H} ^{n}$ $п$ $\mathbb {H}$ $\mathbb {H} ^{n}$ $(M,g)$ $(M,g)$ $4n$ $I,J,K$ $(M,g,I,J,K)$

Две сферы сложных структур

Каждое гиперкэлерово многообразие имеет 2-сферу комплексных структур, по отношению к которой метрика кэлерова . Действительно, для любых действительных чисел таких, что $(M,g,I,J,K)$ $г$ ${\ displaystyle a, b, c}$

a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\,

линейная комбинация

aI+bJ+cK\,

является комплексной структурой , которая является кэлеровой по отношению к . Если обозначает кэлеровы формы соответственно , то кэлерова форма равна $г$ $\omega _{I},\omega _{J},\omega _{K}$ ${\ displaystyle (g, I), (g, J), (g, K)}$ $aI+bJ+cK$

a\omega _{I}+b\omega _{J}+c\omega _{K}.

Голоморфная симплектическая форма

Гиперкелерово многообразие , рассматриваемое как комплексное многообразие , голоморфно симплектично (наделено голоморфной невырожденной замкнутой 2-формой). Точнее, если обозначает кэлеровы формы соответственно , то $(M,g,I,J,K)$ $(M,I)$ $\omega _{I},\omega _{J},\omega _{K}$ ${\ displaystyle (g, I), (g, J), (g, K)}$

\Omega:=\omega _{J}+i\omega _{K}

голоморфно симплектичен относительно . $I$

И наоборот, доказательство Шинг-Тунг Яу гипотезы Калаби подразумевает, что компактное кэлерово голоморфно симплектическое многообразие всегда снабжено совместимой гиперкелеровой метрикой. ^[6] Такая метрика единственна в данном кэлеровом классе. Компактные гиперкелеровые многообразия широко изучались с использованием методов алгебраической геометрии , иногда под названием голоморфно симплектических многообразий . Группа голономии любой метрики Калаби–Яу на односвязном компактном голоморфно симплектическом многообразии комплексной размерности с равна в точности $Sp($ $n$ $)$ ; и если вместо этого односвязное многообразие Калаби–Яу имеет , это просто риманово произведение гиперкэлеровых многообразий меньшей размерности. Этот факт непосредственно следует из формулы Бохнера для голоморфных форм на кэлеровом многообразии, а также из классификации Бергера групп голономии ; по иронии судьбы, его часто приписывают Богомолову, который ошибочно утверждал в той же статье, что компактных гиперкелеровых многообразий на самом деле не существует! $(M,I,\Омега)$ $2n$ $H^{2,0}(M)=1$ $H^{2,0}(M)\geq 2$

Примеры

Для любого целого числа пространство кортежей кватернионов , наделенных плоской евклидовой метрикой, является гиперкэловым многообразием. Первый обнаруженный нетривиальный пример — метрика Эгучи–Хэнсона на кокасательном расслоении двухсферы . Это было также независимо открыто Эудженио Калаби , который показал более общее утверждение о том, что кокасательное расслоение любого комплексного проективного пространства имеет полную гиперкэлерову метрику. ^[1] В более общем плане Бирте Фейкс и Дмитрий Каледин показали, что кокасательное расслоение любого кэлерова многообразия имеет гиперкэлерову структуру в окрестности своего нулевого сечения , хотя оно, как правило, неполное. ^[7]^[8] $n\geq 1$ $\mathbb {H} ^{n}$ $п$ $T^{*}S^{2}$ $T^{*}\mathbb {CP} ^{n}$

Благодаря классификации комплексных поверхностей Кунихико Кодайры мы знаем, что любое компактное гиперкелерово 4-многообразие является либо поверхностью K3 , либо компактным тором . (Каждое многообразие Калаби–Яу в 4 (вещественных) измерениях является гиперкелеровым многообразием, поскольку $SU(2)$ изоморфно $Sp(1)$ .) $Т^{4}$

Как было обнаружено Бовилем [6], $схема Гильберта k$ ^точек на компактном гиперкелеровом 4-многообразии является гиперкэловым многообразием размерности $4k$ . Это порождает две серии компактных примеров: схемы Гильберта точек на поверхности К3 и обобщенные многообразия Куммера .

Некомпактные полные гиперкелеровые 4-многообразия, асимптотические к $H / G$ , где $H$ обозначает кватернионы , а $G$ - конечная подгруппа Sp $(1)$ , известны как асимптотически локально евклидовы или ALE пространства. Эти пространства и различные обобщения, включающие различное асимптотическое поведение, изучаются в физике под названием гравитационные инстантоны . Анзац Гиббонса – Хокинга дает примеры, инвариантные относительно действия окружности.

Многие примеры некомпактных гиперкелеровых многообразий возникают как пространства модулей решений некоторых уравнений калибровочной теории, которые возникают в результате размерной редукции антисамодвойственных уравнений Янга–Миллса : пространства инстантонных модулей, ^[9] пространства монопольных модулей , ^[10] пространства решения уравнений самодвойственности Найджела Хитчина на римановых поверхностях , ^[11] пространство решений уравнений Нама . Другой класс примеров — колчанные многообразия Накадзимы ^[12] , имеющие большое значение в теории представлений.

Когомологии

Курносов, Солдатенков и Вербицкий (2019) показывают, что когомологии любого компактного гиперкелерового многообразия вкладываются в когомологии тора таким образом, что сохраняется структура Ходжа .

Примечания

^ В этом легко убедиться, заметив, что $Sp(n)$ является подгруппой специальной унитарной группы $SU(2 n)$ .