Кватернионное многообразие

Понятие в геометрии

В дифференциальной геометрии кватернионное многообразие является кватернионным аналогом комплексного многообразия . Определение более сложное и техничное, чем для комплексных многообразий, отчасти из-за некоммутативности кватернионов, а отчасти из-за отсутствия подходящего исчисления голоморфных функций для кватернионов. Наиболее краткое определение использует язык G -структур на многообразии . В частности, кватернионное n- многообразие можно определить как гладкое многообразие действительной размерности 4 n, снабженное -структурой без кручения . Более наивные, но простые определения приводят к нехватке примеров и исключают пространства, такие как кватернионное проективное пространство , которые, очевидно, следует рассматривать как кватернионные многообразия. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$

Ранняя история

В статье Марселя Берже 1955 года ^[1] о классификации римановых групп голономии впервые был поднят вопрос о существовании несимметричных многообразий с голономией Sp( n )·Sp(1). Интересные результаты были доказаны в середине 1960-х годов в пионерской работе Эдмонда Бонана ^[2] и Крайнеса ^[3] , которые независимо доказали, что любое такое многообразие допускает параллельную 4-форму . Долгожданный аналог сильной теоремы Лефшеца был опубликован ^[4] в 1982 году: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega ^{n-k}\wedge \bigwedge ^{2k}T^{*}M=\bigwedge ^{4n-2k}T^{*}M.}$

Определения

Расширенная кватернионная общая линейная группа

Если мы рассматриваем кватернионное векторное пространство как правый -модуль , мы можем отождествить алгебру правых -линейных отображений с алгеброй кватернионных матриц , действующих на слева . Обратимые правые -линейные отображения тогда образуют подгруппу . Мы можем расширить эту группу группой ненулевых кватернионов, действующих скалярным умножением на справа . Поскольку это скалярное умножение является -линейным (но не -линейным), мы имеем другое вложение в . Затем группа определяется как произведение этих подгрупп в . Поскольку пересечение подгрупп и в является их общим центром (группой скалярных матриц с ненулевыми действительными коэффициентами), мы имеем изоморфизм ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{4n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }\cong (\operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\times \mathbb {H} ^{\times })/\mathbb {R} ^{\times }.}$

Почти кватернионная структура

Почти кватернионная структура на гладком многообразии — это просто -структура на . Эквивалентно, ее можно определить как подрасслоение расслоения эндоморфизмов, такое , что каждое волокно изоморфно (как вещественная алгебра ) алгебре кватернионов . Подрасслоение называется расслоением почти кватернионной структуры . Многообразие, снабженное почти кватернионной структурой, называется почти кватернионным многообразием . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (TM)}$ ${\displaystyle H_{x}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle H}$

Структура кватерниона естественным образом допускает метрику расслоения, исходящую из структуры кватернионной алгебры, и с этой метрикой распадается на ортогональную прямую сумму векторных расслоений , где — тривиальное линейное расслоение через оператор тождества, а — векторное расслоение ранга 3, соответствующее чисто мнимым кватернионам. Ни расслоения , ни не обязательно являются тривиальными. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H=L\oplus E}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle E}$

Расслоение единичной сферы внутри соответствует чистым единичным мнимым кватернионам. Это эндоморфизмы касательных пространств, квадрат которых равен −1. Расслоение называется твисторным пространством многообразия , и его свойства более подробно описаны ниже. Локальные сечения являются (локально определенными) почти комплексными структурами . Существует окрестность каждой точки в почти кватернионном многообразии с полной 2-сферой почти комплексных структур, определенных на . Всегда можно найти такое, что ${\displaystyle Z=S(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I,J,K\in \Gamma (Z|_{U})}$

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

Однако следует отметить, что ни один из этих операторов не может быть расширен на все . То есть, расслоение может не допускать глобальных сечений (например, это имеет место в случае кватернионного проективного пространства ). Это резко контрастирует с ситуацией для комплексных многообразий, которые всегда имеют глобально определенную почти комплексную структуру. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

Кватернионная структура

Кватернионная структура на гладком многообразии — это почти кватернионная структура , которая допускает аффинную связность без кручения, сохраняющую . Такая связность никогда не является уникальной и не считается частью кватернионной структуры. Кватернионное многообразие — это гладкое многообразие вместе с кватернионной структурой на . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Особые случаи и дополнительные конструкции

Гиперкомплексные многообразия

Гиперкомплексное многообразие — это кватернионное многообразие с -структурой без кручения . Редукция структурной группы к возможна тогда и только тогда, когда расслоение почти кватернионной структуры тривиально (т.е. изоморфно ). Почти гиперкомплексная структура соответствует глобальному фрейму , или, что эквивалентно, тройке почти комплексных структур , и такому, что ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle H\subset \operatorname {End} (TM)}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {H} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I,J}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

Гиперкомплексная структура — это почти гиперкомплексная структура, такая что каждый из , и интегрируем. ${\displaystyle I,J}$ ${\displaystyle K}$

Кватернионные кэлеровы многообразия

Кватернионное кэлерово многообразие — это кватернионное многообразие с -структурой без кручения. ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\cdot \operatorname {Sp} (1)}$

Гиперкэлеровы многообразия

Гиперкэлерово многообразие — это кватернионное многообразие с -структурой без кручения . Гиперкэлерово многообразие одновременно является гиперкомплексным многообразием и кватернионным кэлеровым многообразием. ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$

Пространство твистора

При наличии кватернионного -многообразия единичное 2-сферное подрасслоение , соответствующее чистым единичным мнимым кватернионам (или почти комплексным структурам), называется твисторным пространством . Оказывается, что при существует естественная комплексная структура на такая, что слои проекции изоморфны . При , пространство допускает естественную почти комплексную структуру , но эта структура интегрируема только в том случае, если многообразие самодуально. Оказывается, что кватернионная геометрия на может быть полностью восстановлена ​​из голоморфных данных на . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z=S(E)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z\to M}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$

Теория твисторного пространства дает метод перевода проблем на кватернионных многообразиях в проблемы на комплексных многообразиях, которые гораздо лучше понятны и поддаются методам алгебраической геометрии . К сожалению, твисторное пространство кватернионного многообразия может быть довольно сложным, даже для простых пространств, таких как . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$

Ссылки

• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15279-2.
• Джойс, Доминик (2000). Компактные многообразия со специальной голономией . Oxford University Press. ISBN 0-19-850601-5.

1. Бергер, Марсель (1955). «Sur les groups d'holonomie des variétés à connexion affine et des variétés riemanniennes» (PDF) . Бык. Соц. Математика. Франция . 83 : 279–330. дои : 10.24033/bsmf.1464 .
2. Бонан, Эдмонд (1965). «Структура presque quaternale sur une variété дифференцируемого». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 261 : 5445–8.
3. Kraines, Vivian Yoh (1966). «Топология кватернионных многообразий» (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 122 (2): 357–367. doi : 10.1090/S0002-9947-1966-0192513-X . JSTOR  1994553.
4. Бонан, Эдмонд (1982). «Sur l'algèbre extérieure d'une variété presque Hermitienne quaternionique». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 295 : 115–118.