Гравитационный инстантон

Четырехмерное полное риманово многообразие, удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна

В математической физике и дифференциальной геометрии гравитационный инстантон — это четырёхмерное полное риманово многообразие, удовлетворяющее вакуумным уравнениям Эйнштейна . Они так названы, потому что являются аналогами в квантовых теориях гравитации инстантонов в теории Янга–Миллса . В соответствии с этой аналогией с самодуальными инстантонами Янга–Миллса , гравитационные инстантоны обычно предполагаются похожими на четырёхмерное евклидово пространство на больших расстояниях и имеющими самодуальный тензор Римана . Математически это означает, что они являются асимптотически локально евклидовыми (или, возможно, асимптотически локально плоскими) гиперкэлеровыми 4-многообразиями , и в этом смысле они являются особыми примерами многообразий Эйнштейна . С физической точки зрения гравитационный инстантон — это несингулярное решение вакуумных уравнений Эйнштейна с положительно определённой , в отличие от лоренцевой , метрикой.

Существует множество возможных обобщений исходной концепции гравитационного инстантона: например, можно разрешить гравитационным инстантонам иметь ненулевую космологическую постоянную или тензор Римана, который не является самодуальным. Можно также ослабить граничное условие, что метрика асимптотически евклидова.

Существует много методов построения гравитационных инстантонов, включая анзац Гиббонса–Хокинга , теорию твисторов и конструкцию гиперкэлерова фактора .

Введение

Гравитационные инстантоны интересны, поскольку они дают представление о квантовании гравитации. Например, положительно определенные асимптотически локально евклидовы метрики необходимы, поскольку они подчиняются гипотезе положительного действия; действия, которые не ограничены ниже, создают расходимость в квантовом интеграле пути .

• Четырехмерное Риччи-плоское кэлерово многообразие имеет антисамодвойственный тензор Римана относительно комплексной ориентации.
• Следовательно, односвязный антисамодуальный гравитационный инстантон представляет собой четырехмерное полное гиперкэлерово многообразие .
• Гравитационные инстантоны аналогичны самодуальным инстантонам Янга–Миллса .

Несколько различий можно сделать относительно структуры тензора кривизны Римана , касающихся плоскостности и самодуальности. Они включают:

• Эйнштейн (ненулевая космологическая постоянная)
• Плоскость Риччи (исчезающий тензор Риччи)
• Конформная плоскостность (исчезающий тензор Вейля)
• Самодвойственность
• Анти-самодвойственность
• Конформно самодвойственный
• Конформно антисамодвойственный

Таксономия

Задавая «граничные условия», т. е. асимптотику метрики «на бесконечности» на некомпактном римановом многообразии, гравитационные инстантоны делятся на несколько классов, таких как асимптотически локально евклидовы пространства (пространства ALE), асимптотически локально плоские пространства (пространства ALF).

Они могут быть дополнительно охарактеризованы по тому, является ли тензор Римана самодуальным, является ли тензор Вейля самодуальным или ни тем, ни другим; являются ли они кэлеровыми многообразиями ; и различными характеристическими классами , такими как характеристика Эйлера , сигнатура Хирцебруха ( класс Понтрягина ), индекс Рариты–Швингера (индекс спина 3/2) или, в общем случае, класс Черна . Способность поддерживать спиновую структуру ( т. е. допускать согласованные спиноры Дирака ) является еще одной привлекательной особенностью.

Список примеров

Эгучи и др. перечисляют ряд примеров гравитационных инстантонов. ^[1] К ним относятся, среди прочего:

• Плоское пространство , тор и евклидово пространство де Ситтера , т.е. стандартная метрика на 4-сфере . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}$
• Произведение сфер . ${\displaystyle S^{2}\times S^{2}}$
• Метрика Шварцшильда и метрика Керра . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}$
• Инстантон Эгучи–Хансона , представленный ниже. ${\displaystyle T^{*}\mathbb {CP} (1)}$
• Решение Тауба –НУТ , приведенное ниже.
• Метрика Фубини –Штуди на комплексной проективной плоскости ^[2] Обратите внимание, что комплексная проективная плоскость не поддерживает четко определенные спиноры Дирака . То есть, это не спиновая структура . Однако ей можно придать спиновую структуру. ${\displaystyle \mathbb {CP} (2).}$
• Пространство Пейджа, демонстрирующее явную метрику Эйнштейна на связной сумме двух противоположно ориентированных комплексных проективных плоскостей . ${\displaystyle \mathbb {CP} (2)\#{\overline {\mathbb {CP} }}(2)}$
• Ниже приведены многоцентровые метрики Гиббонса–Хокинга.
• Метрика Тауба-болта и вращающаяся метрика Тауба-болта. Метрики "болта" имеют цилиндрическую координатную особенность в начале координат, в отличие от метрик "гайки", которые имеют сферическую координатную особенность. В обоих случаях координатную особенность можно устранить, перейдя на евклидовы координаты в начале координат. ${\displaystyle \mathbb {CP} (2)\setminus \{0\}}$
• Поверхности К3 .
• ALE (асимптотически локально евклидовы) антисамодвойственные многообразия. Среди них все односвязные являются гиперкэлеровыми , и каждое из них асимптотично к плоскому конусу по модулю конечной подгруппы. Каждая конечная подгруппа из фактически встречается. Полный список возможностей состоит из циклических групп вместе с обратными образами диэдральных групп , тетраэдральной группы , октаэдральной группы и икосаэдральной группы под двойным покрытием . Обратите внимание, что соответствует инстантону Эгучи–Хэнсона, тогда как для более высоких k циклическая группа соответствует многоцентровым метрикам Гиббонса–Хокинга, каждая из которых диффеоморфна пространству, полученному из несвязного объединения k копий с использованием диаграммы Дынкина в качестве сантехнической диаграммы . ${\displaystyle S^{3}=SU(2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{k+1}}$ ${\displaystyle SU(2)\to SO(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{k+1}}$ ${\displaystyle T^{*}S^{2}}$ ${\displaystyle A_{k}}$

Это очень неполный список; существует множество других возможностей, не все из которых классифицированы.

Примеры

Будет удобно записать гравитационные инстантонные решения ниже, используя левоинвариантные 1-формы на трехсфере S ³ (рассматриваемой как группа Sp(1) или SU(2)). Они могут быть определены в терминах углов Эйлера следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sin \psi \,d\theta -\cos \psi \sin \theta \,d\phi \\\sigma _{2}&=\cos \psi \,d\theta +\sin \psi \sin \theta \,d\phi \\\sigma _{3}&=d\psi +\cos \theta \,d\phi .\\\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что для циклических. ${\displaystyle d\sigma _{i}+\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}=0}$ ${\displaystyle i,j,k=1,2,3}$

Метрика Тауба–NUT

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{4}}{\frac {r+n}{r-n}}dr^{2}+{\frac {r-n}{r+n}}n^{2}{\sigma _{3}}^{2}+{\frac {1}{4}}(r^{2}-n^{2})({\sigma _{1}}^{2}+{\sigma _{2}}^{2})}$

Метрика Эгучи–Хансона

Пространство Эгучи–Хансона определяется метрикой кокасательного расслоения 2-сферы . Эта метрика есть ${\displaystyle T^{*}\mathbb {CP} (1)=T^{*}S^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)^{-1}dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right){\sigma _{3}}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}).}$

где . Эта метрика гладкая всюду, если она не имеет конической особенности в , . Для это происходит, если имеет период , что дает плоскую метрику на R ⁴ ; Однако для это происходит, если имеет период . ${\displaystyle r\geq a^{1/4}}$ ${\displaystyle r\rightarrow a^{1/4}}$ ${\displaystyle \theta =0,\pi }$ ${\displaystyle a=0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 2\pi }$

Асимптотически (т.е. в пределе ) метрика выглядит как ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\sigma _{3}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$

что наивно кажется плоской метрикой на R ⁴ . Однако для , имеет только половину обычной периодичности, как мы видели. Таким образом, метрика асимптотически R ⁴ с идентификацией , которая является подгруппой Z 2 SO (4) , группой вращений R ⁴ . Поэтому говорят, что метрика асимптотически R ⁴ / Z ₂ . ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \,{\sim }\,\psi +2\pi }$

Происходит преобразование в другую систему координат , в которой метрика выглядит как

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\psi +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,}$

где ${\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$

(При a = 0, , и новые координаты определяются следующим образом: сначала определяется , а затем параметризуется , и с помощью R ³ координат , т.е. ). ${\displaystyle V={\frac {1}{|\mathbf {x} |}}}$ ${\displaystyle \rho =r^{2}/4}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )}$

В новых координатах имеет обычную периодичность ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \ {\sim }\ \psi +4\pi .}$

Можно заменить V на

${\displaystyle \quad V=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$

Для некоторых n точек , i  = 1, 2...,  n . Это дает многоцентровой гравитационный инстантон Эгучи–Хансона, который снова является гладким всюду, если угловые координаты имеют обычные периодичности (чтобы избежать конических сингулярностей ). Асимптотический предел ( ) эквивалентен приведению всех к нулю, и, заменив координаты обратно на r, и , и переопределив , мы получаем асимптотическую метрику ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{i}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r\rightarrow r/{\sqrt {n}}}$

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left({d\psi \over n}+\cos \theta \,d\phi \right)^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}[(\sigma _{1}^{L})^{2}+(\sigma _{2}^{L})^{2}].}$

Это R ⁴ / Z _n = C ² / Z _n , потому что это R ⁴ с угловой координатой, замененной на , которая имеет неправильную периодичность ( вместо ). Другими словами, это R ^{4 ,} идентифицированный под , или, что эквивалентно, C ^{2 ,} идентифицированный под z _i ~ z _i для i = 1, 2. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi /n}$ ${\displaystyle 4\pi /n}$ ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle \psi \ {\sim }\ \psi +4\pi k/n}$ ${\displaystyle e^{2\pi ik/n}}$

В заключение, многоцентровая геометрия Эгучи–Хансона является плоской геометрией Кэлера- Риччи, которая асимптотически равна C ² / Z _n . Согласно теореме Яу, это единственная геометрия, удовлетворяющая этим свойствам. Следовательно, это также геометрия орбифолда C 2 ^/ Z n _в теории струн после того, как его коническая сингулярность была сглажена его «раздутием» (т.е. деформацией). ^[3]

Многоцентровые метрики Гиббонса-Хокинга

Метрики Гиббонса–Хокинга для множества центров определяются как ^{[4] [5]}

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\tau +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,}$

где

${\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\varepsilon +2M\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$

Здесь соответствует мульти-Таубу–НУТ, а — плоское пространство, а — решение Эгучи–Хансона (в разных координатах). ${\displaystyle \epsilon =1}$ ${\displaystyle \epsilon =0}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \epsilon =0}$ ${\displaystyle k=2}$

FLRW-метрики как гравитационные инстантоны

В 2021 году было обнаружено ^[6] , что если рассматривать параметр кривизны расслоенного максимально симметричного пространства как непрерывную функцию, то гравитационное действие, как сумма действия Эйнштейна–Гильберта и граничного члена Гиббонса–Хокинга–Йорка , становится действием точечной частицы. Тогда траектория является масштабным коэффициентом , а параметр кривизны рассматривается как потенциал. Для решений, ограниченных таким образом, общая теория относительности принимает форму топологической теории Янга–Миллса .

Смотрите также

• Гравитационная аномалия
• Гиперкэлерово многообразие

Ссылки

1. Эгучи, Тору; Джилки, Питер Б.; Хансон, Эндрю Дж. (1980). «Гравитация, калибровочные теории и дифференциальная геометрия». Physics Reports . 66 (6): 213–393. Bibcode : 1980PhR....66..213E. doi : 10.1016/0370-1573(80)90130-1. ISSN  0370-1573.
2. Эгучи, Тору; Фройнд, Питер ГО (1976-11-08). «Квантовая гравитация и топология мира». Physical Review Letters . 37 (19): 1251–1254. Bibcode : 1976PhRvL..37.1251E. doi : 10.1103/physrevlett.37.1251. ISSN  0031-9007.
3. Дуглас, Майкл Р.; Мур, Грегори (1996). «D-браны, колчаны и инстантоны ALE». arXiv : hep-th/9603167 .
4. Хокинг, SW (1977). «Гравитационные инстантоны». Physics Letters A. 60 ( 2): 81–83. Bibcode : 1977PhLA...60...81H. doi : 10.1016/0375-9601(77)90386-3. ISSN  0375-9601.
5. Гиббонс, GW; Хокинг, SW (1978). «Гравитационные мультиинстантоны». Physics Letters B. 78 ( 4): 430–432. Bibcode : 1978PhLB...78..430G. doi : 10.1016/0370-2693(78)90478-1. ISSN  0370-2693.
6. Дж. Христов;. Квантовая теория -метрики, ее связь с моделями Черна–Саймонса и тета-вакуумной структурой квантовой гравитации https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-021-09315-1 ${\displaystyle k(\phi )}$

• Гиббонс, GW; Хокинг, SW (октябрь 1978 г.). «Гравитационные мультиинстантоны». Physics Letters B. 78 ( 4): 430–432. Bibcode : 1978PhLB...78..430G. doi : 10.1016/0370-2693(78)90478-1.
• Гиббонс, GW; Хокинг, SW (октябрь 1979). «Классификация симметрий гравитационного инстантона». Communications in Mathematical Physics . 66 (3): 291–310. Bibcode :1979CMaPh..66..291G. doi :10.1007/BF01197189. S2CID  123183399.
• Эгучи, Тору; Хансон, Эндрю Дж. (апрель 1978 г.). «Асимптотически плоские самодуальные решения евклидовой гравитации». Physics Letters B . 74 (3): 249–251. Bibcode :1978PhLB...74..249E. doi :10.1016/0370-2693(78)90566-X. OSTI  1446816. S2CID  16380482.
• Эгучи, Тору; Хансон, Эндрю Дж. (июль 1979 г.). «Самодвойственные решения евклидовой гравитации». Annals of Physics . 120 (1): 82–106. Bibcode : 1979AnPhy.120...82E. doi : 10.1016/0003-4916(79)90282-3. OSTI  1447072. S2CID  48866858.
• Эгучи, Тору; Хансон, Эндрю Дж. (декабрь 1979 г.). «Гравитационные инстантоны». Общая теория относительности и гравитация . 11 (5): 315–320. Bibcode : 1979GReGr..11..315E. doi : 10.1007/BF00759271. S2CID  123806150.
• Кронхаймер, ПБ (1989). «Построение пространств ALE как гиперкэлеровых частных». Журнал дифференциальной геометрии . 29 (3): 665–683. doi : 10.4310/jdg/1214443066 .