тензор Вейля

Мера кривизны псевдориманова многообразия

В дифференциальной геометрии тензор кривизны Вейля , названный в честь Германа Вейля , ^[1] является мерой кривизны пространства - времени или, в более общем смысле, псевдориманова многообразия . Подобно тензору кривизны Римана , тензор Вейля выражает приливную силу , которую испытывает тело при движении по геодезической . Тензор Вейля отличается от тензора кривизны Римана тем, что он не передает информацию о том, как изменяется объем тела, а только о том, как форма тела искажается приливной силой. Кривизна Риччи , или следовая составляющая тензора Римана, содержит именно информацию о том, как изменяются объемы в присутствии приливных сил, поэтому тензор Вейля является бесследовой составляющей тензора Римана. Этот тензор имеет те же симметрии, что и тензор Римана, но удовлетворяет дополнительному условию, что он бесследовый: метрическая контракция по любой паре индексов дает ноль. Он получается из тензора Римана путем вычитания тензора, который является линейным выражением в тензоре Риччи.

В общей теории относительности кривизна Вейля является единственной частью кривизны, которая существует в свободном пространстве — решение вакуумного уравнения Эйнштейна — и она управляет распространением гравитационных волн через области пространства, лишенные материи. ^[2] В более общем смысле, кривизна Вейля является единственным компонентом кривизны для риччи-плоских многообразий и всегда управляет характеристиками полевых уравнений многообразия Эйнштейна . ^[2]

В размерностях 2 и 3 тензор кривизны Вейля тождественно равен нулю. В размерностях ≥ 4 кривизна Вейля, как правило, не равна нулю. Если тензор Вейля равен нулю в размерности ≥ 4, то метрика локально конформно плоская : существует локальная система координат , в которой метрический тензор пропорционален постоянному тензору. Этот факт был ключевым компонентом теории гравитации Нордстрёма , которая была предшественником общей теории относительности .

Определение

Тензор Вейля может быть получен из полного тензора кривизны путем вычитания различных следов. Это проще всего сделать, записав тензор Римана как тензор валентности (0,4) (путем свертки с метрикой). Тогда тензор Вейля валентности (0,4) равен (Petersen 2006, стр. 92)

${\displaystyle C=R-{\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{n}}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g-{\frac {s}{2n(n-1)}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g}$

где n — размерность многообразия, g — метрика, R — тензор Римана, Ric — тензор Риччи , s — скалярная кривизна , а обозначает произведение Кулкарни–Номидзу двух симметричных (0,2) тензоров: ${\displaystyle h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)\left(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right)=\quad &h\left(v_{1},v_{3}\right)k\left(v_{2},v_{4}\right)+h\left(v_{2},v_{4}\right)k\left(v_{1},v_{3}\right)\\{}-{}&h\left(v_{1},v_{4}\right)k\left(v_{2},v_{3}\right)-h\left(v_{2},v_{3}\right)k\left(v_{1},v_{4}\right)\end{aligned}}}$

В обозначении компонент тензора это можно записать как

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ik\ell m}=R_{ik\ell m}+{}&{\frac {1}{n-2}}\left(R_{im}g_{k\ell }-R_{i\ell }g_{km}+R_{k\ell }g_{im}-R_{km}g_{i\ell }\right)\\{}+{}&{\frac {1}{(n-1)(n-2)}}R\left(g_{i\ell }g_{km}-g_{im}g_{k\ell }\right).\ \end{aligned}}}$

Обычный (1,3) валентный тензор Вейля затем получается путем свертки вышеуказанного с обратной метрикой.

Разложение ( 1 ) выражает тензор Римана как ортогональную прямую сумму , в том смысле, что

${\displaystyle |R|^{2}=|C|^{2}+\left|{\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{n}}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right|^{2}+\left|{\frac {s}{2n(n-1)}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right|^{2}.}$

Это разложение, известное как разложение Риччи , выражает тензор кривизны Римана в его неприводимые компоненты под действием ортогональной группы . ^[3] В размерности 4 тензор Вейля далее разлагается на инвариантные множители для действия специальной ортогональной группы , самодуальные и антисамодуальные части C ⁺ и C ⁻ .

Тензор Вейля также можно выразить с помощью тензора Схоутена , который является кратным тензору Риччи с поправкой на след,

${\displaystyle P={\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{2(n-1)}}g\right).}$

Затем

${\displaystyle C=R-P{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g.}$

В индексах ^[4]

${\displaystyle C_{abcd}=R_{abcd}-{\frac {2}{n-2}}\left(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a}\right)+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{a[c}g_{d]b}}$

где — тензор Римана, — тензор Риччи, — скаляр Риччи (скалярная кривизна), а скобки вокруг индексов относятся к антисимметричной части . Эквивалентно, ${\displaystyle R_{abcd}}$ ${\displaystyle R_{ab}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {C_{ab}}^{cd}={R_{ab}}^{cd}-4S_{[a}^{[c}\delta _{b]}^{d]}}$

где S обозначает тензор Схоутена .

Характеристики

Конформное масштабирование

Тензор Вейля обладает особым свойством, заключающимся в том, что он инвариантен относительно конформных изменений метрики . То есть, если для некоторой положительной скалярной функции то (1,3) валентный тензор Вейля удовлетворяет . По этой причине тензор Вейля также называется конформным тензором . Отсюда следует, что необходимым условием для того, чтобы риманово многообразие было конформно плоским, является обращение в нуль тензора Вейля. В размерностях ≥ 4 это условие также является достаточным . В размерности 3 обращение в нуль тензора Коттона является необходимым и достаточным условием для того, чтобы риманово многообразие было конформно плоским. Любое 2-мерное (гладкое) риманово многообразие является конформно плоским, что является следствием существования изотермических координат . ${\displaystyle g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {C'}_{\ \ bcd}^{a}=C_{\ \ bcd}^{a}}$

Действительно, существование конформно плоской шкалы равносильно решению переопределенного уравнения в частных производных

${\displaystyle Ddf-df\otimes df+\left(|df|^{2}+{\frac {\Delta f}{n-2}}\right)g=\operatorname {Ric} .}$

В размерности ≥ 4 единственным условием интегрируемости этого уравнения является обращение в нуль тензора Вейля ; в размерности 3 это будет тензор Коттона .

Симметрии

Тензор Вейля имеет те же симметрии, что и тензор Римана. Это включает в себя:

${\displaystyle {\begin{aligned}C(u,v)&=-C(v,u)\\\langle C(u,v)w,z\rangle &=-\langle C(u,v)z,w\rangle \\C(u,v)w+C(v,w)u+C(w,u)v&=0.\end{aligned}}}$

Кроме того, конечно, тензор Вейля не имеет следов:

${\displaystyle \operatorname {tr} C(u,\cdot )v=0}$

для всех u , v . В индексах эти четыре условия

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}=-C_{bacd}&=-C_{abdc}\\C_{abcd}+C_{acdb}+C_{adbc}&=0\\{C^{a}}_{bac}&=0.\end{aligned}}}$

Идентичность Бьянки

Взяв следы обычного второго тождества Бьянки тензора Римана, в конечном итоге показывает, что

${\displaystyle \nabla _{a}{C^{a}}_{bcd}=2(n-3)\nabla _{[c}S_{d]b}}$

где S — тензор Схоутена . Валентный тензор (0,3) в правой части — это тензор Коттона , за исключением начального множителя.

Смотрите также

• Кривизна римановых многообразий
• Символы Кристоффеля дают координатное выражение для тензора Вейля.
• тензор Ланцоша
• Теорема о пилинге
• классификация Петрова
• тензор Плебанского
• гипотеза кривизны Вейля
• Скаляр Вейля

Примечания

1. Вейль, Герман (1918-09-01). «Королева бесконечно малая геометрия». Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 2 (3): 384–411. Бибкод : 1918MatZ....2..384W. дои : 10.1007/BF01199420. ISSN  1432-1823. S2CID  186232500.
2. Danehkar, A. (2009). «О значении кривизны Вейля в релятивистской космологической модели». Mod. Phys. Lett. A . 24 (38): 3113–3127. arXiv : 0707.2987 . Bibcode :2009MPLA...24.3113D. doi :10.1142/S0217732309032046. S2CID  15949217.
3. Сингер и Торп 1969.
4. Грен и Хервик 2007, стр. 490

Ссылки

• Хокинг, Стивен У .; Эллис, Джордж Ф.Р. (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09906-4
• Петерсен, Питер (2006), Риманова геометрия , Graduate Texts in Mathematics, т. 171 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 0387292462, г-н  2243772.
• Шарп, Р. В. (1997), Дифференциальная геометрия: обобщение Картаном программы Эрлангена Клейна , Springer-Verlag, Нью-Йорк, ISBN 0-387-94732-9.
• Сингер, И. М.; Торп, Дж. А. (1969), «Кривизна 4-мерных пространств Эйнштейна», Глобальный анализ (Доклады в честь К. Кодаиры) , Издательство Токийского университета, стр. 355–365
• «Тензор Вейля», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Грон, Эйвинд ; Хервик, Сигбьёрн (2007), Общая теория относительности Эйнштейна , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2