Эли Жозеф Картан ForMemRS ( французский: [kaʁtɑ̃] ; 9 апреля 1869 — 6 мая 1951) был влиятельным французским математиком , который сделал фундаментальную работу в теории групп Ли , дифференциальных систем (бескоординатная геометрическая формулировка УЧП ) и дифференциальной геометрии . . Он также внес значительный вклад в общую теорию относительности и, косвенно, в квантовую механику . [1] [2] [3] Он широко известен как один из величайших математиков двадцатого века. [3]
Его сын Анри Картан был влиятельным математиком, работавшим в области алгебраической топологии .
Эли Картан родилась 9 апреля 1869 года в деревне Доломье, Изер, в семье Жозефа Картана (1837–1917) и Анны Коттаз (1841–1927). Джозеф Картан был деревенским кузнецом; Эли Картан вспоминал, что его детство прошло под «ударами наковальни, которая начиналась каждое утро с рассветом», и что «его мать в те редкие минуты, когда она была свободна от забот о детях и доме, работала с прялка». У Эли была старшая сестра Жанна-Мари (1867–1931), которая стала портнихой; младший брат Леон (1872–1956), который стал кузнецом в кузнице своего отца; и младшая сестра Анна Картан (1878–1923), которая, частично под влиянием Эли, поступила в École Normale Supérieure (как и Эли раньше) и выбрала карьеру учителя математики в лицее (средней школе).
Эли Картан поступила в начальную школу в Доломье и была лучшей ученицей в школе. Один из его учителей, М. Дюпюи, вспоминал: «Эли Картан был застенчивым учеником, но в его глазах сиял необычный свет большого интеллекта, и это сочеталось с прекрасной памятью». Антонен Дюбо , тогдашний представитель Изера , посетил школу и был впечатлен необычными способностями Картана. Он рекомендовал Картану поучаствовать в конкурсе на стипендию в лицее . Картан готовился к конкурсу под руководством М. Дюпюи и прошел его в десятилетнем возрасте. Он провел пять лет (1880–1885) в Венском колледже , а затем два года (1885–1887) в лицее Гренобля. В 1887 году он перешел в лицей Янсона де Сайи в Париже , чтобы в течение двух лет изучать естественные науки; там он встретил и подружился со своим одноклассником Жаном-Батистом Перреном (1870–1942), который позже стал известным физиком во Франции.
Картан поступил в Высшую нормальную школу в 1888 году. Он посещал там лекции Шарля Эрмита (1822–1901), Жюля Таннери (1848–1910), Гастона Дарбу (1842–1917), Поля Аппелла (1855–1930), Эмиля Пикара ( 1856–1941), Эдуарда Гурса (1858–1936) и Анри Пуанкаре (1854–1912), чьи лекции были тем, что Картан ценил больше всего.
После окончания Высшей нормальной школы в 1891 году Картан был призван во французскую армию, где прослужил один год и получил звание сержанта. В течение следующих двух лет (1892–1894) Картан вернулся в ENS и, следуя совету своего одноклассника Артура Трессе (1868–1958), который учился у Софуса Ли в 1888–1889 годах, работал над проблемой классификации простой лжи. группы , которую основал Вильгельм Киллинг . В 1892 году Ли приехал в Париж по приглашению Дарбу и Таннери и впервые встретился с Картаном.
Картан защитил диссертацию « Строение конечных непрерывных групп преобразований» в 1894 году на факультете естественных наук Сорбонны. Между 1894 и 1896 годами Картан был преподавателем в Университете Монпелье ; в период с 1896 по 1903 год он был преподавателем факультета естественных наук Лионского университета .
В 1903 году, находясь в Лионе, Картан женился на Мари-Луизе Бьянкони (1880–1950); в том же году Картан стал профессором факультета естественных наук Университета Нанси . В 1904 году у Картана родился первый сын — Анри Картан , впоследствии ставший влиятельным математиком; в 1906 году родился еще один сын, Жан Картан, ставший композитором. В 1909 году Картан перевез свою семью в Париж и работал преподавателем на факультете естественных наук Сорбонны. В 1912 году Картан стал там профессором по рекомендации Пуанкаре. Он оставался в Сорбонне до выхода на пенсию в 1940 году и провел последние годы своей жизни, преподавая математику в Высшей нормальной школе для девочек.
Будучи учеником Картана, геометр Шиинг-Шен Чжень писал: [4]
Обычно на следующий день после [встречи с Картаном] я получал от него письмо. Он говорил: «После того, как ты ушел, я больше думал о твоих вопросах…» — у него были какие-то результаты, и еще какие-то вопросы, и так далее. Все эти статьи о простых группах Ли, алгебрах Ли он знал наизусть. Когда вы видели его на улице, когда поднимался какой-то вопрос, он доставал какой-нибудь старый конверт, писал что-то и давал вам ответ. И иногда мне требовались часы, а то и дни, чтобы получить один и тот же ответ... Мне приходилось очень много работать.
В 1921 году он стал иностранным членом Польской академии обучения , а в 1937 году — иностранным членом Королевской Нидерландской академии искусств и наук . [5] В 1938 году он участвовал в работе Международного комитета, созданного для организации международных конгрессов за единство науки. [6]
Он умер в 1951 году в Париже после продолжительной болезни.
В 1976 году его именем был назван лунный кратер . Раньше он назывался Аполлоний Д.
В «Траво » Картан разбивает свою работу на 15 областей. Используя современную терминологию, это:
Математические работы Картана можно охарактеризовать как развитие анализа дифференцируемых многообразий , который многие теперь считают центральной и наиболее важной частью современной математики и в формировании и развитии которого он был прежде всего. В центре этой области лежат группы Ли, системы в частных производных и дифференциальная геометрия; они, главным образом благодаря вкладу Картана, теперь тесно переплетены и составляют единый и мощный инструмент.
Картан был практически единственным в области групп Ли в течение тридцати лет после защиты диссертации. Ли рассматривал эти группы главным образом как системы аналитических преобразований аналитического многообразия , аналитически зависящих от конечного числа параметров. Весьма плодотворный подход к изучению этих групп был открыт в 1888 году, когда Вильгельм Киллинг начал систематически изучать группу саму по себе, независимо от ее возможных действий на других многообразиях . В то время (и до 1920 г.) рассматривались только локальные свойства, поэтому основным объектом изучения Киллинга была алгебра Ли группы, которая точно отражает локальные свойства в чисто алгебраических терминах. Великим достижением Киллинга было определение всех простых комплексных алгебр Ли ; его доказательства , однако, часто были несовершенны, и диссертация Картана была посвящена главным образом строгому обоснованию локальной теории и доказательству существования исключительных алгебр Ли , принадлежащих каждому из типов простых комплексных алгебр Ли, которые, как показал Киллинг, быть возможным. Позже Картан завершил локальную теорию, явно решив две фундаментальные проблемы, для решения которых ему пришлось разработать совершенно новые методы: классификацию простых вещественных алгебр Ли и определение всех неприводимых линейных представлений простых алгебр Ли с помощью понятия веса. представления, которое он ввел для этой цели. Именно в процессе определения линейных представлений ортогональных групп Картан открыл в 1913 году спиноры, сыгравшие впоследствии столь важную роль в квантовой механике.
После 1925 года Картан все больше интересовался топологическими вопросами. Вдохновленный блестящими результатами Вейля о компактных группах, он разработал новые методы изучения глобальных свойств групп Ли; в частности, он показал, что топологически связная группа Ли является продуктом евклидова пространства и компактной группы, а для компактных групп Ли он обнаружил, что возможные фундаментальные группы основного многообразия можно прочитать из структуры алгебры Ли многообразия. группа. Наконец, он изложил метод определения чисел Бетти компактных групп Ли, снова сведя проблему к алгебраическому вопросу об их алгебрах Ли, который с тех пор был полностью решен.
После решения проблемы структуры групп Ли, которые Картан (вслед за Лием) назвал «конечными непрерывными группами» (или «конечными группами преобразований»), Картан поставил аналогичную проблему для «бесконечных непрерывных групп», которые теперь называются псевдогруппами Ли . бесконечномерный аналог групп Ли (существуют и другие бесконечные обобщения групп Ли). Псевдогруппа Ли, рассматриваемая Картаном, — это множество преобразований между подмножествами пространства, содержащее тождественное преобразование и обладающее тем свойством, что результат композиции двух преобразований в этом множестве (всякий раз, когда это возможно) принадлежит одному и тому же множеству. Поскольку композиция двух преобразований не всегда возможна, множество преобразований представляет собой не группу (а группоид в современной терминологии), отсюда и название псевдогруппа. Картан рассматривал только те преобразования многообразий, для которых не существует разделения многообразий на классы, транспонируемые рассматриваемыми преобразованиями. Такие псевдогруппы преобразований называются примитивными. Картан показал, что каждая бесконечномерная примитивная псевдогруппа комплексных аналитических преобразований принадлежит одному из шести классов: 1) псевдогруппа всех аналитических преобразований n комплексных переменных; 2) псевдогруппа всех аналитических преобразований n комплексных переменных с постоянным якобианом (т. е. преобразований, умножающих все объемы на одно и то же комплексное число); 3) псевдогруппа всех аналитических преобразований n комплексных переменных, якобиан которых равен единице (т. е. преобразований, сохраняющих объемы); 4) псевдогруппа всех аналитических преобразований 2 n > 4 комплексных переменных, сохраняющих некоторый двойной интеграл (симплектическая псевдогруппа); 5) псевдогруппа всех аналитических преобразований 2 n > 4 комплексных переменных, умножающих упомянутый двойной интеграл на комплексную функцию; 6) псевдогруппа всех аналитических преобразований 2 n + 1 комплексных переменных, умножающих определенную форму на комплексную функцию (контактная псевдогруппа). Аналогичные классы псевдогрупп существуют для примитивных псевдогрупп вещественных преобразований, определяемых аналитическими функциями вещественных переменных.
Методы Картана в теории дифференциальных систем, пожалуй, самое глубокое его достижение. Нарушая традицию, он с самого начала стремился ставить и решать задачи совершенно инвариантным образом, независимо от какого-либо конкретного выбора переменных и неизвестных функций. Таким образом, он впервые смог дать точное определение того, что такое «общее» решение произвольной дифференциальной системы. Следующим его шагом была попытка определить и все «сингулярные» решения методом «продолжения», заключающимся в присоединении к данной системе новых неизвестных и новых уравнений таким образом, чтобы любое сингулярное решение исходной системы стало общее решение новой системы. Хотя Картан показал, что в каждом рассмотренном им примере его метод приводит к полному определению всех сингулярных решений, ему не удалось доказать вообще, что это всегда будет иметь место для произвольной системы; такое доказательство было получено в 1955 году Масатаке Кураниши .
Главным инструментом Картана было исчисление внешних дифференциальных форм , которое он помогал создавать и развивать в течение десяти лет после защиты диссертации, а затем начал применять его к множеству задач дифференциальной геометрии, групп Ли, аналитической динамики и общей теории относительности. Он обсудил большое количество примеров, рассматривая их в крайне эллиптическом стиле, что стало возможным только благодаря его сверхъестественной алгебраической и геометрической проницательности.
Вклад Картана в дифференциальную геометрию не менее впечатляющ, и можно сказать, что он оживил всю эту тему, поскольку первоначальные работы Римана и Дарбу терялись в унылых вычислениях и незначительных результатах, так же, как это случилось с элементарной геометрией и теорией инвариантов. поколением раньше. Его руководящим принципом было значительное расширение метода «подвижных систем отсчета» Дарбу и Рибокура, которому он придал огромную гибкость и мощь, намного превосходящую все, что было сделано в классической дифференциальной геометрии. Говоря современным языком, метод заключается в сопоставлении расслоению E главного расслоения, имеющего ту же базу и имеющего в каждой точке базы слой, равный группе, действующей на слое E в той же точке. Если E — касательное расслоение над базой (которое со времен Ли было по существу известно как многообразие «контактных элементов»), соответствующая группа является общей линейной группой (или ортогональной группой в классической евклидовой или римановой геометрии). Способность Картана работать со многими другими типами волокон и групп позволяет приписать ему первую общую идею пучка волокон, хотя он никогда не определял ее явно. Это понятие стало одним из важнейших во всех областях современной математики, главным образом в глобальной дифференциальной геометрии, а также в алгебраической и дифференциальной топологии . Картан использовал его, чтобы сформулировать свое определение связи, которое теперь используется повсеместно и заменило предыдущие попытки нескольких геометров, предпринятые после 1917 года, найти тип «геометрии», более общий, чем риманова модель, и, возможно, лучше приспособленный к описанию. Вселенной в соответствии с общей теорией относительности.
Картан показал, как использовать свою концепцию связи для получения гораздо более элегантного и простого представления римановой геометрии. Однако его главным вкладом в последнее было открытие и исследование симметричных римановых пространств — один из немногих случаев, когда инициатор математической теории был одновременно тем, кто довел ее до завершения. Симметричные римановы пространства могут быть определены различными способами, самый простой из которых постулирует существование вокруг каждой точки пространства «симметрии», которая является инволютивной , оставляет точку фиксированной и сохраняет расстояния. Неожиданным фактом, открытым Картаном, является то, что можно дать полное описание этих пространств посредством классификации простых групп Ли; поэтому неудивительно, что в различных областях математики, таких как автоморфные функции и аналитическая теория чисел (по-видимому, далёкая от дифференциальной геометрии), эти пространства играют всё более важную роль.
Картан создал конкурирующую теорию гравитации , а также теорию Эйнштейна-Картана .
Статьи Картана собраны в его «Полные произведения», 6 томов. (Париж, 1952–1955). Два превосходных некролога: С. С. Черн и К. Шевалле в Bulletin of the American Mathematical Society, 58 (1952); и Дж.Х.К. Уайтхед в «Некрологе Королевского общества» (1952).
СМИ, связанные с Эли Картаном, на Викискладе?Английские переводы некоторых его книг и статей:
