Теория Эйнштейна – Картана

В теоретической физике теория Эйнштейна -Картана , также известная как теория Эйнштейна-Картана-Скиамы-Киббла , представляет собой классическую теорию гравитации, аналогичную общей теории относительности . Теория была впервые предложена Эли Картаном в 1922 году. Теория Эйнштейна – Картана является простейшей калибровочной теорией Пуанкаре. ^[1]

Обзор

Теория Эйнштейна–Картана отличается от общей теории относительности в двух отношениях: (1) она сформулирована в рамках геометрии Римана–Картана, которая обладает локально калибровочной симметрией Лоренца, в то время как общая теория относительности сформулирована в рамках римановой геометрии, которая не ; (2) ставится дополнительная система уравнений, связывающая кручение со вращением. Эту разницу можно учесть

общая теория относительности (Эйнштейн – Гильберт) → общая теория относительности (Палатини) → Эйнштейн – Картан

сначала переформулировав общую теорию относительности в геометрию Римана-Картана, заменив действие Эйнштейна-Гильберта над римановой геометрией действием Палатини над геометрией Римана-Картана; и, во-вторых, удаление ограничения нулевого кручения из действия Палатини, что приводит к появлению дополнительного набора уравнений для вращения и кручения, а также к добавлению дополнительных членов, связанных со спином, в сами уравнения поля Эйнштейна.

Теория общей относительности была первоначально сформулирована в рамках римановой геометрии действием Эйнштейна -Гильберта , из которого возникают уравнения поля Эйнштейна . На момент ее первоначальной формулировки понятия геометрии Римана – Картана не существовало. Не было также достаточного понимания концепции калибровочной симметрии , чтобы понять, что риманова геометрия не обладает необходимой структурой для воплощения локально калибровочной симметрии Лоренца , которая потребовалась бы для выражения уравнений непрерывности и законов сохранения для вращения и буста. симметрии или для описания спиноров в искривленной геометрии пространства-времени. Результатом добавления этой инфраструктуры является геометрия Римана – Картана. В частности, чтобы иметь возможность описывать спиноры, необходимо включить спиновую структуру , которой достаточно для создания такой геометрии.

Основное различие между геометрией Римана-Картана и римановой геометрией состоит в том, что в первой аффинная связность не зависит от метрики, а во второй она выводится из метрики как связность Леви-Чивита , причем разница между ними заключается в называется конторсией . В частности, антисимметричная часть соединения (называемая кручением ) равна нулю для соединений Леви-Чивита, что является одним из определяющих условий таких соединений.

Поскольку искривление можно выразить линейно через кручение, тогда также возможно напрямую перевести действие Эйнштейна-Гильберта в геометрию Римана-Картана, в результате чего получится действие Палатини (см. Также вариант Палатини ). Он получается путем переписывания действия Эйнштейна-Гильберта в терминах аффинной связи, а затем отдельного установления ограничения, которое заставляет как кручение, так и искривление быть равным нулю, что, таким образом, заставляет аффинную связь быть равной связи Леви-Чивита. Поскольку это прямой перевод уравнений действия и поля общей теории относительности, выраженный в терминах связи Леви-Чивиты, ее можно рассматривать как саму теорию общей относительности, перенесенную в рамки геометрии Римана-Картана.

Теория Эйнштейна-Картана ослабляет это условие и, соответственно, ослабляет предположение общей теории относительности о том, что аффинная связность имеет исчезающую антисимметричную часть ( тензор кручения ). Используемое действие такое же, как и действие Палатини, за исключением того, что ограничение на кручение удалено. Это приводит к двум отличиям от общей теории относительности: (1) уравнения поля теперь выражаются в терминах аффинной связи, а не связи Леви-Чивита, и поэтому в уравнениях поля Эйнштейна имеются дополнительные члены, включающие искажение, которых нет в уравнениях поля Эйнштейна. уравнения поля, полученные на основе формулировки Палатини; (2) теперь имеется дополнительный набор уравнений, которые связывают кручение с собственным угловым моментом ( спином ) материи, во многом таким же образом, как аффинная связь связана с энергией и импульсом материи. В теории Эйнштейна-Картана кручение теперь является переменной в принципе стационарного действия , которая связана с формулировкой спина в искривленном пространстве-времени ( тензором спина ). Эти дополнительные уравнения выражают кручение линейно через тензор вращения, связанный с источником материи, что означает, что кручение внутри материи обычно не равно нулю.

Следствием линейности является то, что вне материи кручение отсутствует, так что внешняя геометрия остается такой же, как то, что было бы описано в общей теории относительности. Различия между теорией Эйнштейна-Картана и общей теорией относительности (сформулированной либо в терминах действия Эйнштейна-Гильберта в римановой геометрии, либо в терминах действия Палатини в геометрии Римана-Картана) основаны исключительно на том, что происходит с геометрией внутри источников материи. То есть: «кручение не распространяется». Рассмотрены обобщения действия Эйнштейна–Картана, допускающие распространение кручения. ^[2]

Поскольку геометрии Римана – Картана обладают лоренцевой симметрией как локальной калибровочной симметрией, можно сформулировать соответствующие законы сохранения. В частности, рассмотрение метрики и тензоров кручения как независимых переменных дает правильное обобщение закона сохранения полного (орбитального плюс собственного) углового момента на наличие гравитационного поля.

История

Теория была впервые предложена Эли Картаном в 1922 году ^[3] и развита в последующие несколько лет. ^[4]^[5]^[6] Альберт Эйнштейн присоединился к этой теории в 1928 году во время своей неудачной попытки сопоставить кручение с тензором электромагнитного поля как часть единой теории поля. Эта линия мысли привела его к родственной, но отличной теории телепараллелизма . ^[7]

Деннис Шиама ^[8] и Том Киббл ^[9] независимо пересмотрели эту теорию в 1960-х годах, а важный обзор был опубликован в 1976 году. ^[10]

Теория Эйнштейна-Картана исторически была в тени своей аналогии без кручения и других альтернатив, таких как теория Бранса-Дике, потому что кручение, казалось, приносило мало преимуществ для прогнозирования за счет понятности ее уравнений. Поскольку теория Эйнштейна-Картана является чисто классической, она также не полностью решает проблему квантовой гравитации . В теории Эйнштейна–Картана уравнение Дирака становится нелинейным. ^[11] В последнее время интерес к теории Эйнштейна-Картана был вызван космологическими последствиями, наиболее важным из которых является избежание гравитационной сингулярности в начале Вселенной, например, в космологии черной дыры , ^[12]^[13]^{[14] ]} статическая вселенная , циклическая модель или возникающая Вселенная (например, сценарий «Космология Руба Голдберга») . ^[15]^[16] Теория считается жизнеспособной и остается активной темой в физическом сообществе. ^[17]

Эта теория косвенно повлияла на петлевую квантовую гравитацию (и, похоже, также повлияла на твисторную теорию ^[18] ).

Уравнения поля

Уравнения поля Эйнштейна в общей теории относительности можно вывести, постулируя, что действие Эйнштейна – Гильберта является истинным действием пространства-времени, а затем изменяя это действие относительно метрического тензора. Уравнения поля теории Эйнштейна-Картана основаны на точно таком же подходе, за исключением того, что предполагается общая асимметричная аффинная связь , а не симметричная связь Леви-Чивита (т. е. предполагается, что пространство-время помимо кривизны имеет кручение ), а затем метрика и кручение изменяются независимо.

Пусть представляет собой лагранжеву плотность материи и представляет лагранжеву плотность гравитационного поля. Плотность Лагранжа гравитационного поля в теории Эйнштейна – Картана пропорциональна скаляру Риччи : ${\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }$ ${\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }$

{\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }={\frac {1}{2\kappa }}R{\sqrt {|g|}}

S=\int \left({\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right)\,d^{4 }Икс,

где – определитель метрического тензора, – физическая константа , включающая гравитационную постоянную и скорость света . По принципу Гамильтона изменение суммарного действия гравитационного поля и вещества исчезает: $г$ $\ каппа$ $8\pi G/c^{4}$ $S$

\delta S=0.

Вариация относительно метрического тензора дает уравнения Эйнштейна: $g^{ab}$

{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }}{\delta g^{ab}}}-{\frac {1}{2}}P_{ab} =0

где – тензор Риччи , – канонический тензор напряжения-энергии-импульса . Тензор Риччи больше не является симметричным, поскольку связность содержит ненулевой тензор кручения; следовательно, правая часть уравнения также не может быть симметричной, а это означает, что она должна включать асимметричный вклад, который, как можно показать, связан с тензором спина . Этот канонический тензор энергии-импульса связан с более известным симметричным тензором энергии-импульса процедурой Белинфанте-Розенфельда . $R_{ab}$ $P_{ab}$ $P_{ab}$

Вариация по тензору кручения дает уравнения спиновой связи Картана ${T^{ab}}_{c}$

{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {G} }}{\delta {T^{ab}}_{c}}}-{\frac {1}{2 }}{\sigma _{ab}}^{c}=0

где - тензор спина. Поскольку уравнение кручения представляет собой алгебраическое ограничение , а не уравнение в частных производных , поле кручения не распространяется как волна и исчезает вне материи. Следовательно, в принципе кручение можно алгебраически исключить из теории в пользу тензора спина, который порождает эффективное нелинейное самодействие «спин-спин» внутри материи. ${\sigma _{ab}}^{c}$

Избегание особенностей

Теоремы о сингулярности, которые основаны на римановой геометрии и сформулированы в ее рамках (например, теоремы Пенроуза-Хокинга о сингулярности ), не обязательно должны выполняться в геометрии Римана-Картана. Следовательно, теория Эйнштейна-Картана способна обойти общерелятивистскую проблему сингулярности Большого взрыва . ^[16]^[12]^[13]^[14] Минимальная связь между торсионными спинорами и спинорами Дирака порождает эффективное нелинейное спин-спиновое самодействие, которое становится существенным внутри фермионной материи при чрезвычайно высоких плотностях. Предполагается, что такое взаимодействие заменит сингулярный Большой Взрыв подобным каспу Большим Отскоком при минимальном, но конечном масштабном коэффициенте , до которого наблюдаемая Вселенная сжималась. Этот сценарий также объясняет, почему нынешняя Вселенная в крупнейших масштабах кажется пространственно плоской, однородной и изотропной, обеспечивая физическую альтернативу космической инфляции . Кручение позволяет фермионам быть пространственно расширенными, а не «точечными» , что помогает избежать образования сингулярностей, таких как черные дыры , и устраняет ультрафиолетовую расходимость в квантовой теории поля. Согласно общей теории относительности, гравитационный коллапс достаточно компактной массы образует сингулярную черную дыру. Вместо этого в теории Эйнштейна-Картана коллапс достигает отскока и образует обычный мост Эйнштейна-Розена ( червоточину ) к новой, растущей Вселенной по другую сторону горизонта событий .

Связь с другими теориями

Ричард Дж. Петти считает, что космологические модели с кручением, но без вращающихся частиц иллюстрируют ситуацию «(нераспространяющегося) поля без поля» геометродинамики . ^[19]

Смотрите также

дальнейшее чтение

Гронвальд, Ф.; Хель, ФРВ (1996). «О калибровочных аспектах гравитации». arXiv : gr-qc/9602013 .
Хаммонд, Ричард Т. (27 марта 2002 г.). «Торсионная гравитация». Отчеты о прогрессе в физике . 65 (5): 599–649. Бибкод : 2002RPPh...65..599H. дои : 10.1088/0034-4885/65/5/201. ISSN 0034-4885. S2CID 250831296.
Хель, ФРВ (1973). «Спин и кручение в общей теории относительности: I. Основы». Общая теория относительности и гравитация . 4 (4): 333–349. Бибкод : 1973GReGr...4..333H. дои : 10.1007/bf00759853. ISSN 0001-7701. S2CID 120910420.
Хель, ФРВ (1974). «Спин и кручение в общей теории относительности II: Геометрия и уравнения поля». Общая теория относительности и гравитация . 5 (5): 491–516. Бибкод : 1974GReGr...5..491H. дои : 10.1007/bf02451393. ISSN 0001-7701. S2CID 120844152.
Хель, Фридрих В.; фон дер Хейде, Пол; Керлик, Дж. Дэвид (15 августа 1974 г.). «Общая теория относительности со спином и кручением и ее отклонения от теории Эйнштейна». Физический обзор D . 10 (4): 1066–1069. Бибкод : 1974PhRvD..10.1066H. doi :10.1103/physrevd.10.1066. ISSN 0556-2821.
Кляйнерт, Хаген (2000). «Принцип неголономного отображения для классической и квантовой механики в пространствах с кривизной и кручением». Общая теория относительности и гравитация . 32 (5): 769–839. arXiv : gr-qc/9801003 . Бибкод : 2000GReGr..32..769K. дои : 10.1023/а: 1001962922592. ISSN 0001-7701. S2CID 14846186.
Кучович, Бронислав (1978). «Космологические модели типа Фридмана без сингулярности». Общая теория относительности и гравитация . 9 (6): 511–517. Бибкод : 1978GReGr...9..511K. дои : 10.1007/bf00759545. ISSN 0001-7701. S2CID 118380177.
Лорд, Э.А. (1976). «Тензоры, теория относительности и космология» (МакГроу-Хилл).
Петти, Р.Дж. (1976). «Некоторые аспекты геометрии первоквантованных теорий». Общая теория относительности и гравитация . 7 (11): 869–883. Бибкод : 1976GReGr...7..869P. дои : 10.1007/bf00771019. ISSN 0001-7701. S2CID 189851295.
Петти, Р.Дж. (12 января 2006 г.). «Поступательные пространственно-временные симметрии в теориях гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 23 (3): 737–751. arXiv : 1804.06730 . Бибкод : 2006CQGra..23..737P. дои : 10.1088/0264-9381/23/3/012. ISSN 0264-9381. S2CID 118897253.
Петти, Р.Дж. (2021). «Вывод теории Эйнштейна – Картана из общей теории относительности». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 18 (6): 2150083–2151205. arXiv : 1301.1588 . Бибкод : 2021IJGMM..1850083P. дои : 10.1142/S0219887821500833. S2CID 119218875.
Поплавский, Никодем Дж. (2009). «Пространство-время и поля». arXiv : 0911.0334 [gr-qc].
де Саббата В. и Гасперини М. (1985). «Введение в гравитацию» (World Scientific).
де Саббата В. и Шиварам К. (1994). «Спин и кручение в гравитации» (World Scientific).
Шапиро, Иллинойс (2002). «Физические аспекты кручения пространства-времени». Отчеты по физике . 357 (2): 113–213. arXiv : hep-th/0103093 . Бибкод : 2002PhR...357..113S. дои : 10.1016/s0370-1573(01)00030-8. ISSN 0370-1573. S2CID 119356912.
Траутман, Анджей (1973). «Вращение и кручение могут предотвратить гравитационные сингулярности». Природа Физика . 242 (114): 7–8. Бибкод :1973НПфС..242....7Т. doi : 10.1038/physci242007a0. ISSN 0300-8746.
Траутман, Анджей (2006). «Теория Эйнштейна – Картана». arXiv : gr-qc/0606062 .