Петлевая квантовая гравитация

Теория квантовой гравитации, слияние квантовой механики и общей теории относительности

Петлевая квантовая гравитация ( LQG ) — это теория квантовой гравитации , которая включает материю Стандартной модели в структуру, установленную для случая внутренней квантовой гравитации. Это попытка разработать квантовую теорию гравитации, основанную непосредственно на геометрической формулировке Альберта Эйнштейна, а не на трактовке гравитации как загадочного механизма (силы). Теория LQG постулирует, что структура пространства и времени состоит из конечных петель, сплетенных в чрезвычайно тонкую ткань или сеть. Эти сети петель называются спиновыми сетями . Эволюция спиновой сети, или спиновой пены , имеет масштаб порядка планковской длины , примерно ^10–35 метров, а меньшие масштабы бессмысленны. Следовательно, не только материя, но и само пространство предпочитает атомную структуру.

Области исследований, в которых участвуют около 30 исследовательских групп по всему миру, ^[1] разделяют основные физические предположения и математическое описание квантового пространства. Исследования развивались в двух направлениях: более традиционная каноническая петлевая квантовая гравитация и новая ковариантная петлевая квантовая гравитация, называемая теорией спиновой пены . Наиболее развитая теория, выдвинутая как прямой результат петлевой квантовой гравитации, называется петлевой квантовой космологией (LQC). LQC продвигает изучение ранней Вселенной, включая концепцию Большого Взрыва в более широкую теорию Большого Отскока , которая рассматривает Большой Взрыв как начало периода расширения , следующего за периодом сжатия, который был описан как Большое Сжатие .

История

В 1986 году Абхай Аштекар переформулировал общую теорию относительности Эйнштейна на языке, более близком к языку остальной фундаментальной физики, в частности теории Янга-Миллса . ^[2] Вскоре после этого Тед Джейкобсон и Ли Смолин поняли, что формальное уравнение квантовой гравитации, названное уравнением Уиллера-ДеВитта , допускает решения, помеченные петлями, при переписывании в новых переменных Аштекара . Карло Ровелли и Смолин определили непертурбативную и независимую от фона квантовую теорию гравитации в терминах этих петлевых решений. Хорхе Пуллин и Ежи Левандовски поняли, что пересечения петель необходимы для непротиворечивости теории, и теорию следует формулировать в терминах пересекающихся петель или графов .

В 1994 году Ровелли и Смолин показали, что квантовые операторы теории, связанные с площадью и объемом, имеют дискретный спектр. ^[3] То есть геометрия квантована. Этот результат определяет явную основу состояний квантовой геометрии, которые, как оказалось, были помечены спиновыми сетями Роджера Пенроуза , которые представляют собой графы , помеченные спинами .

Каноническая версия динамики была установлена ​​Томасом Тиманном, который определил безаномальный гамильтонов оператор и показал существование математически непротиворечивой, независимой от фона теории. Ковариантная, или «спиновая», версия динамики разрабатывалась совместно в течение нескольких десятилетий исследовательскими группами во Франции, Канаде, Великобритании, Польше и Германии. Он был завершен в 2008 году, что привело к определению семейства амплитуд перехода, которое в классическом пределе можно показать как связанное с семейством усечений общей теории относительности. ^[4] Конечность этих амплитуд была доказана в 2011 году. ^{[5] [6]} Это требует существования положительной космологической постоянной , которая согласуется с наблюдаемым ускорением расширения Вселенной .

Независимость от фона

LQG формально не зависит от фона , что означает, что уравнения LQG не встроены в пространство и время и не зависят от них (за исключением его инвариантной топологии). Вместо этого ожидается, что они породят пространство и время на расстояниях, в 10 раз превышающих планковскую длину . Вопрос независимости фона в LQG все еще имеет некоторые нерешенные тонкости. Например, некоторые выводы требуют фиксированного выбора топологии , в то время как любая последовательная квантовая теория гравитации должна включать изменение топологии как динамический процесс. ^{[ нужна цитата ]}

Пространство-время как «контейнер», в котором происходит физика, не имеет объективного физического смысла, а вместо этого гравитационное взаимодействие представляется лишь одним из полей, образующих мир. Это известно как реляционистская интерпретация пространства-времени. В LQG этот аспект общей теории относительности воспринимается серьезно, и эта симметрия сохраняется, требуя, чтобы физические состояния оставались инвариантными относительно генераторов диффеоморфизмов . Интерпретация этого условия хорошо понятна для чисто пространственных диффеоморфизмов . Однако понимание диффеоморфизмов, связанных со временем ( гамильтонова ограничение ), является более тонким, поскольку оно связано с динамикой и так называемой « проблемой времени » в общей теории относительности. ^[7] Общепринятая система расчетов для учета этого ограничения еще не найдена. ^{[8] [9]} Вероятным кандидатом на роль квантового гамильтонового ограничения является оператор, введенный Тиманом. ^[10]

Ограничения и их алгебра скобок Пуассона

Наблюдаемые Дирака

Ограничения определяют поверхность ограничений в исходном фазовом пространстве. Калибровочные движения ограничений применимы ко всему фазовому пространству, но имеют ту особенность, что они покидают поверхность ограничений там , где она находится, и, таким образом, орбита точки гиперповерхности при калибровочных преобразованиях будет орбитой полностью внутри нее. Наблюдаемые Дирака определяются как функции фазового пространства , которые коммутируют по Пуассону со всеми ограничениями, когда налагаются уравнения ограничений: ${\displaystyle O}$

${\displaystyle \{G_{j},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{C_{a},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{H,O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=0,}$

то есть это величины, определенные на поверхности ограничений, которые инвариантны относительно калибровочных преобразований теории.

Тогда решение только ограничения и определение наблюдаемых Дирака относительно него возвращает нас к фазовому пространству Арновитта-Дезера-Миснера (ADM) с ограничениями . Динамика общей теории относительности порождается ограничениями. Можно показать, что шесть уравнений Эйнштейна, описывающих эволюцию во времени (на самом деле калибровочное преобразование), могут быть получены путем вычисления скобок Пуассона трехмерной метрики и сопряженного ей импульса с помощью линейной комбинации пространственный диффеоморфизм и гамильтоновы ограничения. Исчезновение ограничений, создающее физическое фазовое пространство, — это четыре других уравнения Эйнштейна. ^[11] ${\displaystyle G_{j}=0}$ ${\displaystyle H,C_{a}}$

Квантование ограничений – уравнения квантовой общей теории относительности

Предыстория и новые переменные Аштекара

Многие технические проблемы канонической квантовой гравитации вращаются вокруг ограничений. Каноническая общая теория относительности изначально была сформулирована в терминах метрических переменных, но, казалось, существовали непреодолимые математические трудности при наложении ограничений на квантовые операторы из-за их сильно нелинейной зависимости от канонических переменных. Уравнения были значительно упрощены с введением новых переменных Аштекара. Переменные Аштекара описывают каноническую общую теорию относительности в терминах новой пары канонических переменных, более близких к переменным калибровочных теорий. Первый шаг состоит в использовании уплотненных триад (триада — это просто три ортогональных векторных поля, помеченных значком, а уплотненная триада определяется ) для кодирования информации о пространственной метрике, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\displaystyle E_{i}^{a}}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$

${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}.}$

(где – метрика плоского пространства, а приведенное выше уравнение выражает то, что , записанное в терминах базиса , является локально плоским). (Формулировка общей теории относительности с использованием триад вместо метрик не была новой.) Уплотненные триады не уникальны, и фактически можно выполнить локальное вращение в пространстве относительно внутренних индексов . Канонически сопряженная переменная связана с внешней кривизной соотношением . Но проблемы, аналогичные использованию метрической формулировки, возникают при попытке квантовать теорию. Новая идея Аштекара заключалась в том, чтобы ввести новую переменную конфигурации, ${\displaystyle \delta ^{ij}}$ ${\displaystyle q^{ab}}$ ${\displaystyle E_{i}^{a}}$ ${\displaystyle i}$ ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$

которое ведет себя как сложное соединение, связанное с так называемым спиновым соединением через . Здесь называется киральная спиновая связь. Он определяет ковариантную производную . Оказывается, это сопряженный импульс , и вместе они образуют новые переменные Аштекара. ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$

Выражения для ограничений в переменных Аштекар; Теорема Гаусса, ограничение пространственного диффеоморфизма и (уплотненное) ограничение Гамильтона тогда гласят:

${\displaystyle G^{i}={\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0}$

${\displaystyle C_{a}={\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-A_{a}^{i}({\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b})=V_{a}-A_{a}^{i}G^{i}=0,}$

${\displaystyle {\tilde {H}}=\epsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0}$

соответственно, где – тензор напряженности поля связи и где называется векторным ограничением. Упомянутая выше локальная вращательная инвариантность в пространстве является оригиналом калибровочной инвариантности, выраженной здесь теоремой Гаусса. Обратите внимание, что эти ограничения являются полиномиальными по фундаментальным переменным, в отличие от ограничений в метрической формулировке. Это драматическое упрощение, казалось, открыло путь к квантованию ограничений. ( Вывод формализма Аштекара см. в статье Самодвойственное действие Палатини ). ${\displaystyle F_{ab}^{i}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

С новыми переменными Аштекара, учитывая переменную конфигурации , естественно рассматривать волновые функции . Это представление соединения. Это аналог обычной квантовой механики с конфигурационной переменной и волновыми функциями . Переменная конфигурации становится квантовым оператором с помощью: ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi (A)=A_{a}^{i}\Psi (A),}$

(аналог ) и триады являются (функциональными) производными, ${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E_{i}^{a}}}}\Psi (A)=-i{\delta \Psi (A) \over \delta A_{a}^{i}}.}$

(аналогично ). При переходе к квантовой теории ограничения становятся операторами кинематического гильбертова пространства (без ограничений гильбертова пространства Янга–Миллса). Обратите внимание, что разный порядок «s» и «s» при замене «s» производными приводит к появлению разных операторов – сделанный выбор называется упорядочением факторов и должен выбираться на основе физических рассуждений. Формально они читают ${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}}$

${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\vert \psi \rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {C}}_{a}\vert \psi \rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}\vert \psi \rangle =0.}$

Все еще существуют проблемы с правильным определением всех этих уравнений и их решением. Например, ограничение гамильтониана, с которым работал Аштекар, было уплотненной версией вместо исходного гамильтониана, то есть он работал с . Были серьезные трудности с переводом этой величины в квантовый оператор. Более того, хотя переменные Аштекара упростили гамильтониан, они являются комплексными. Когда кто-то квантует теорию, трудно гарантировать, что мы восстановим настоящую общую теорию относительности, а не сложную общую теорию относительности. ${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$

Квантовые ограничения как уравнения квантовой общей теории относительности

Классический результат использования скобки Пуассона размазанного закона Гаусса со связями: ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$

${\displaystyle \{G(\lambda ),A_{a}^{i}\}=\partial _{a}\lambda ^{i}+g\epsilon ^{ijk}A_{a}^{j}\lambda ^{k}=(D_{a}\lambda )^{i}.}$

Квантовый закон Гаусса гласит:

${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\Psi (A)=-iD_{a}{\delta \lambda \Psi [A] \over \delta A_{a}^{j}}=0.}$

Если размазать квантовый закон Гаусса и изучить его действие на квантовое состояние, то окажется, что действие ограничения на квантовое состояние эквивалентно сдвигу аргумента на бесконечно малое (в смысле малого параметра) калибровочное преобразование: ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \left[1+\int d^{3}x\lambda ^{j}(x){\hat {G}}_{j}\right]\Psi (A)=\Psi [A+D\lambda ]=\Psi [A],}$

и последнее тождество происходит из того факта, что ограничение уничтожает государство. Таким образом, ограничение, как квантовый оператор, налагает ту же симметрию, которую его исчезновение налагало классически: оно говорит нам, что функции должны быть калибровочно-инвариантными функциями связности. Та же идея справедлива и для других ограничений. ${\displaystyle \Psi [A]}$

Таким образом, двухшаговый процесс в классической теории решения ограничений (эквивалентный решению условий допустимости исходных данных) и поиска калибровочных орбит (решения уравнений «эволюции») заменяется одношаговым процессом в квантовой теории. теории, а именно поиск решений квантовых уравнений . Это связано с тем, что он, очевидно, решает ограничение на квантовом уровне и одновременно ищет состояния, которые являются калибровочно-инвариантными, поскольку является квантовым генератором калибровочных преобразований (калибровочно-инвариантные функции постоянны вдоль калибровочных орбит и, таким образом, характеризуют их). ^[12] Напомним, что на классическом уровне решение условий допустимости и уравнений эволюции было эквивалентно решению всех уравнений поля Эйнштейна, это подчеркивает центральную роль уравнений квантовых ограничений в канонической квантовой гравитации. ${\displaystyle C_{I}=0}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$ ${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$

Введение в представление цикла

В частности, именно неспособность хорошо контролировать пространство решений закона Гаусса и ограничения пространственного диффеоморфизма побудили Ровелли и Смолина рассмотреть петлевое представление в калибровочных теориях и квантовой гравитации . ^[13]

LQG включает в себя понятие голономии . Голономия — это мера того, насколько различаются начальные и конечные значения спинора или вектора после параллельного переноса по замкнутому контуру; это обозначается

${\displaystyle h_{\gamma }[A]}$.

Знание голономий эквивалентно знанию связи с точностью до калибровочной эквивалентности. Голономии также могут быть связаны с ребром; по закону Гаусса они преобразуются как

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y).}$

Для замкнутого цикла и при условии , дает ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$

или

${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$

Записан след голономии вокруг замкнутого контура

${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$

и называется петлей Вильсона. Таким образом, петли Вильсона калибровочно-инвариантны. Явная форма голономии такова:

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$

где – кривая, вдоль которой оценивается голономия, и – параметр вдоль кривой, обозначает значащие факторы порядка пути для меньших значений появляются слева, и являются матрицами, удовлетворяющими алгебре ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T_{k}.}$

Матрицы Паули удовлетворяют приведенному выше соотношению. Оказывается, существует бесконечно много других примеров наборов матриц, удовлетворяющих этим отношениям, где каждый набор включает матрицы с , и где ни одна из них не может считаться «разложимой» на два или более примеров меньшей размерности. Их называют различными неприводимыми представлениями алгебры . Наиболее фундаментальным представлением являются матрицы Паули. Голономия помечается полуцелым числом в соответствии с используемым неприводимым представлением. ${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$ ${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle N/2}$

Использование петель Вильсона явно решает калибровочное ограничение Гаусса. Представление цикла требуется для обработки ограничения пространственного диффеоморфизма. Используя петли Вильсона в качестве основы, любая калибровочно-инвариантная функция Гаусса разлагается как:

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A].}$

Это называется преобразованием петли и аналогично представлению импульса в квантовой механике (см. Пространство положения и импульса ). Представление QM имеет основу из состояний, помеченных числом , и расширяется как ${\displaystyle \exp(ikx)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).}$

и работает с коэффициентами разложения ${\displaystyle \psi (k).}$

Преобразование обратного цикла определяется формулой

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A].}$

Это определяет представление цикла. Учитывая оператор в представлении соединения, ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]\qquad Eq\;1,}$

необходимо определить соответствующий оператор в представлении цикла через: ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ]\qquad Eq\;2,}$

где определяется обычным обратным преобразованием цикла, ${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A]\qquad Eq\;3.}$

Формула преобразования, задающая действие оператора на через действие оператора на, затем получается путем приравнивания правой части с правой частью с , подставленной в , а именно ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \Psi [A]}$ ${\displaystyle Eq\;2}$ ${\displaystyle Eq\;3}$ ${\displaystyle Eq\;1}$ ${\displaystyle Eq\;3}$

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A],}$

или

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A],}$

где означает оператор, но с обратным порядком множителей (помните из простой квантовой механики, где произведение операторов меняется на противоположное при сопряжении). Действие этого оператора на петле Вильсона оценивается как вычисление в представлении связности, а результат преобразуется чисто как манипуляция в терминах циклов (что касается действия на петле Вильсона, выбран преобразованный оператор с противоположный порядок фактора по сравнению с тем, который используется для его действия на волновые функции ). Это придает физический смысл оператору . Например, если это соответствует пространственному диффеоморфизму, то это можно рассматривать как сохранение поля связи того места, где оно находится, при выполнении вместо этого пространственного диффеоморфизма . Следовательно, смысл – это пространственный диффеоморфизм на аргументе . ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {O}}}$ ${\displaystyle \Psi [A]}$ ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\hat {O}}'}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

В представлении петли ограничение пространственного диффеоморфизма решается путем рассмотрения функций петель , которые инвариантны относительно пространственных диффеоморфизмов петли . То есть используются инварианты узлов . Это открывает неожиданную связь между теорией узлов и квантовой гравитацией. ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$ ${\displaystyle \gamma }$

Любой набор непересекающихся петель Вильсона удовлетворяет квантовому гамильтониану Аштекара. Используя определенный порядок членов и замену производной, действие ограничения квантового гамильтониана на петлю Вильсона имеет вид ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}^{\dagger }W_{\gamma }[A]=-\epsilon _{ijk}{\hat {F}}_{ab}^{k}{\frac {\delta }{\delta A_{a}^{i}}}{\frac {\delta }{\delta A_{b}^{j}}}W_{\gamma }[A].}$

Когда берется производная, она снижает касательный вектор петли . Так, ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\hat {F}}_{ab}^{i}{\dot {\gamma }}^{a}{\dot {\gamma }}^{b}.}$

Однако, поскольку as антисимметричен по индексам, и это обращается в нуль (при этом предполагается, что он нигде не разрывен и поэтому касательный вектор уникален). ${\displaystyle F_{ab}^{i}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \gamma }$

Что касается представления петли, волновые функции исчезают, когда петля имеет разрывы и является инвариантами узла. Такие функции решают закон Гаусса, ограничение пространственного диффеоморфизма и (формально) ограничение Гамильтона. Это дает бесконечное множество точных (хотя бы формальных) решений всех уравнений квантовой общей теории относительности! ^[13] Это вызвало большой интерес к данному подходу и в конечном итоге привело к LQG. ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

Геометрические операторы, необходимость пересекающихся петель Вильсона и состояния спиновой сети.

Самая простая геометрическая величина – площадь. Выберем координаты так, чтобы поверхность характеризовалась . Площадь малого параллелограмма поверхности равна произведению длины каждой стороны на угол между сторонами. Скажем, одно ребро задается вектором , а другое к тому времени: ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle x^{3}=0}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle A=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}}$

В пространстве, охватываемом и существует бесконечно малый параллелограмм, описываемый и . Использование (где индексы и варьируются от 1 до 2) дает площадь поверхности, определяемую выражением ${\displaystyle x^{1}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {e}}_{2}dx^{2}}$ ${\displaystyle q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {\det \left(q^{(2)}\right)}}}$

где и – определитель метрики, индуцированной на . Последнее можно переписать так, чтобы индексы изменялись от 1 до 2. Далее это можно переписать как ${\displaystyle \det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2}$ ${\displaystyle A\dots D}$

${\displaystyle \det(q^{(2)})={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}.}$

Стандартная формула обратной матрицы:

${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}.}$

Между этим и выражением для . Но в переменных Аштекара . Поэтому, ${\displaystyle \det(q^{(2)})}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}.}$

По правилам канонического квантования триады должны быть повышены до квантовых операторов, ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}.}$

Площадь можно превратить в четко определенный квантовый оператор, несмотря на то, что она содержит произведение двух функциональных производных и квадратного корня. ^[14] Полагая ( -е представление), ${\displaystyle A_{\Sigma }}$ ${\displaystyle N=2J}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1.}$

Эта величина важна в окончательной формуле спектра площади. Результат

${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{\text{Planck}}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$

где сумма ведется по всем ребрам петли Вильсона, пронизывающим поверхность . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Формула объема региона имеет вид ${\displaystyle R}$

${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}=\int _{R}dx^{3}{\sqrt {{\frac {1}{3!}}\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.}$

Квантование объема происходит так же, как и с площадью. Каждый раз, когда берется производная, она снижает касательный вектор , а когда оператор объема действует на непересекающиеся петли Вильсона, результат исчезает. Следовательно, квантовые состояния с ненулевым объемом должны включать пересечения. Учитывая, что в формуле объема учитывается антисимметричное суммирование, для него необходимы пересечения как минимум с тремя некомпланарными линиями . Чтобы оператор объема не обращался в нуль, необходимы как минимум четырехвалентные вершины. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$

Предполагая вещественное представление, где калибровочная группа равна , петли Вильсона являются более полным базисом, поскольку существуют тождества, связывающие различные петли Вильсона. Это происходит потому, что петли Вильсона основаны на матрицах (голономии), и эти матрицы удовлетворяют тождествам. Учитывая любые две матрицы и , ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1}).}$

Это означает, что даны две петли , которые пересекаются, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$

где под мы подразумеваем петлю, пройденную в обратном направлении, а подразумеваем петлю, полученную обходом петли , а затем вдоль . См. рисунок ниже. Учитывая, что матрицы унитарны, это имеет место . Также, учитывая циклическое свойство матричных следов (т. е. ), имеем это . Эти тождества можно комбинировать друг с другом в дополнительные тождества возрастающей сложности, добавляя больше циклов. Эти тождества являются так называемыми тождествами Мандельштама. Определенно, спиновые сети представляют собой линейные комбинации пересекающихся петель Вильсона, предназначенные для решения проблемы сверхполноты, вносимой тождествами Мандельштама (для трехвалентных пересечений они полностью устраняют сверхполноту), и фактически составляют основу для всех калибровочных инвариантных функций. ${\displaystyle \eta ^{-1}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \gamma \circ \eta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )}$ ${\displaystyle W_{\gamma \circ \eta }[A]=W_{\eta \circ \gamma }[A]}$

Графическое представление простейшего нетривиального тождества Мандельштама, связывающего различные петли Вильсона.

Как упоминалось выше, голономия подсказывает, как распространять получастицы с тестовым спином. Состояние спиновой сети присваивает амплитуду набору получастиц со спином, прослеживающих путь в пространстве, сливающихся и разделяющихся. Они описываются спиновыми сетями : ребра помечены спинами вместе с «переплетающимися точками» в вершинах, которые определяют, как суммировать различные способы перенаправления спинов. Сумма по перенаправлению выбрана так, чтобы форма переплетателя была инвариантной относительно калибровочных преобразований Гаусса. ${\displaystyle \gamma }$

Гамильтоново ограничение LQG

За долгую историю канонической квантовой гравитации математически строгая формулировка гамильтонова ограничения в виде квантового оператора ( уравнение Уиллера-ДеВитта ) была огромной проблемой. Именно в петлевом представлении в 1996 году было наконец сформулировано математически четко определенное гамильтоново ограничение. ^[10] Мы оставляем более подробную информацию о его построении в статье Гамильтоново ограничение LQG . Вместе с квантовыми версиями закона Гаусса и ограничениями пространственного диффеоморфизма, записанными в петлевом представлении, это центральные уравнения LQG (современной канонической квантовой общей теории относительности).

Поиск состояний, которые аннулируются этими ограничениями (физических состояний), а также поиск соответствующего физического внутреннего продукта и наблюдаемых является основной целью технической стороны LQG.

Важным аспектом оператора Гамильтона является то, что он действует только в вершинах (следствием этого является то, что оператор Гамильтона Тимана, как и оператор Аштекара, аннулирует непересекающиеся петли, за исключением того, что теперь он не просто формальный и имеет строгий математический смысл). Точнее, его действие не равно нулю, по крайней мере, на вершинах с валентностью три и выше и приводит к линейной комбинации новых спиновых сетей, где исходный граф был модифицирован путем добавления линий в каждой вершине и изменения меток. соседних звеньев вершины. ^{[ нужна цитата ]}

Спин-пены

В петлевой квантовой гравитации (LQG) спиновая сеть представляет собой «квантовое состояние» гравитационного поля на трехмерной гиперповерхности . Множество всех возможных спиновых сетей (или, точнее, «s-узлов», то есть классов эквивалентности спиновых сетей относительно диффеоморфизмов) счетно; оно составляет основу гильбертова пространства ЛКГ .

В физике спиновая пена представляет собой топологическую структуру, состоящую из двумерных граней, которая представляет собой одну из конфигураций, которые необходимо суммировать, чтобы получить фейнмановское описание квантовой гравитации с помощью интеграла по траектории (функционального интегрирования). Это тесно связано с петлевой квантовой гравитацией.

Спиновая пена, полученная на основе оператора ограничения Гамильтона.

По этому разделу см. ^[15] и ссылки там. Ограничение Гамильтона порождает «временную» эволюцию. Решение ограничения Гамильтона должно рассказать нам, как квантовые состояния развиваются во «времени» от начального состояния спиновой сети до конечного состояния спиновой сети. Один из подходов к решению ограничения Гамильтона начинается с так называемой дельта-функции Дирака . Суммирование которых по различным последовательностям действий можно представить как суммирование по различным историям «вершин взаимодействия» в «временной» эволюции, отправляющей начальную спиновую сеть в конечную спиновую сеть. Каждый раз, когда действует гамильтонов оператор, он делает это, добавляя новое ребро в вершине.

Затем это естественным образом приводит к появлению двухкомплекса (комбинаторного набора граней, соединяющихся вдоль ребер, которые, в свою очередь, соединяются по вершинам), лежащего в основе описания спиновой пены; мы развиваем исходную спиновую сеть, охватывающую поверхность, действие оператора ограничения Гамильтона заключается в создании новой плоской поверхности, начиная с вершины. Мы можем использовать действие ограничения Гамильтона на вершину состояния спиновой сети, чтобы связать амплитуду с каждым «взаимодействием» (по аналогии с диаграммами Фейнмана ). См. рисунок ниже. Это открывает возможность напрямую связать канонический LQG с описанием интеграла по пути. Точно так же, как спиновые сети описывают квантовое пространство, каждая конфигурация, вносящая вклад в эти интегралы по путям или суммы за историю, описывает «квантовое пространство-время». Из-за их сходства с мыльной пеной и способа их обозначения Джон Баэз дал этим «квантовым пространствам-временям» название «спиновые пены».

Действие гамильтоновой связи переводится в интеграл по траекториям или в так называемое описание спиновой пены. Один узел разделяется на три узла, создавая вершину пенопласта. – значение в вершине и – матричные элементы ограничения Гамильтона . ${\displaystyle N(x_{n})}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle H_{nop}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Однако этот конкретный подход имеет серьезные трудности: например, гамильтонов оператор не является самосопряженным, фактически он даже не является нормальным оператором (т.е. оператор не коммутирует со своим сопряженным), и поэтому спектральную теорему нельзя использовать для определить экспоненту в целом. Самая серьезная проблема заключается в том, что единицы не коммутируют друг с другом. Тогда можно показать, что формальная величина не может даже определить (обобщенный) проектор. Главное ограничение (см. ниже) не страдает от этих проблем и, как таковое, предлагает способ связать каноническую теорию с формулировкой интеграла по путям. ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$ ${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$

Спин-пены из теории BF

Оказывается, существуют альтернативные пути к формулировке интеграла по путям, однако их связь с гамильтоновым формализмом менее очевидна. Один из способов — начать с теории БФ . Это более простая теория, чем общая теория относительности, она не имеет локальных степеней свободы и как таковая зависит только от топологических аспектов полей. Теория БФ — это то, что известно как топологическая теория поля . Удивительно, но оказывается, что общую теорию относительности можно получить из теории БФ, наложив ограничение: ^[16] Теория БФ включает в себя поле, и если выбрать поле как (антисимметричное) произведение двух тетрад ${\displaystyle B_{ab}^{IJ}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle B_{ab}^{IJ}={1 \over 2}\left(E_{a}^{I}E_{b}^{J}-E_{b}^{I}E_{a}^{J}\right)}$

(тетрады подобны триадам, но в четырех измерениях пространства-времени), восстанавливается общая теория относительности. Условие, что поле задается произведением двух тетрад, называется ограничением простоты. Динамика спиновой пены топологической теории поля хорошо понята. Учитывая амплитуды «взаимодействия» спиновой пены для этой простой теории, можно затем попытаться реализовать условия простоты, чтобы получить интеграл по траекториям для общей теории относительности. Нетривиальная задача построения модели спиновой пены сводится тогда к вопросу о том, как это ограничение простоты должно быть наложено в квантовой теории. Первой попыткой этого стала знаменитая модель Барретта-Крейна . ^[17] Однако эта модель оказалась проблематичной, например, не было достаточного количества степеней свободы для обеспечения правильного классического предела. ^[18] Утверждалось, что ограничение простоты было наложено слишком сильно на квантовом уровне и должно налагаться только в смысле ожидаемых значений, так же, как с калибровочным условием Лоренца в формализме Гупты-Блейлера квантовой электродинамики . Сейчас выдвигаются новые модели, иногда мотивированные наложением условий простоты в более слабом смысле. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }{\hat {A}}^{\mu }}$

Другая трудность здесь заключается в том, что спиновая пена определяется дискретизацией пространства-времени. Хотя это не представляет проблем для топологической теории поля, поскольку она не имеет локальных степеней свободы, это представляет проблемы для ОТО. Это известно как проблема зависимости от триангуляризации.

Современный состав центрифужной пены

Точно так же, как наложение классического ограничения простоты восстанавливает общую теорию относительности из теории БФ, ожидается, что подходящее квантовое ограничение простоты восстановит квантовую гравитацию из квантовой теории БФ.

Прогресс в этом вопросе был достигнут Энглом, Перейрой и Ровелли, ^[19] Фрейделем и Красновым ^[20] и Ливином и Специале ^[21] в определении амплитуд взаимодействия пенопласта с лучшим поведением.

Была предпринята попытка установить контакт между спин-пеной EPRL-FK и канонической формулировкой LQG. ^[22]

Вращение пены, полученное на основе оператора главного ограничения

См. ниже.

Квазиклассический предел и петлевая квантовая гравитация

Классический предел — это способность физической теории приближать классическую механику. Он используется с физическими теориями, предсказывающими неклассическое поведение. ^{[ нужна цитата ] Любой кандидат в теорию квантовой гравитации должен быть в состоянии воспроизвести теорию} общей относительности Эйнштейна как классический предел квантовой теории . Это не гарантировано из-за особенности квантовых теорий поля, заключающейся в том, что они имеют разные сектора, они аналогичны различным фазам, которые возникают в термодинамическом пределе статистических систем. Как разные фазы физически различны, так и разные разделы квантовой теории поля. Может оказаться, что LQG принадлежит нефизическому сектору – тому, в котором не восстанавливается общая теория относительности в квазиклассическом пределе, или вообще может не быть никакого физического сектора.

Более того, физическое гильбертово пространство должно содержать достаточно квазиклассических состояний, чтобы гарантировать, что полученная квантовая теория может вернуться к классической теории при избежании квантовых аномалий ; в противном случае на физическое гильбертово пространство будут ограничения, не имеющие аналогов в классической теории, а это означает, что квантовая теория имеет меньше степеней свободы, чем классическая теория. ${\displaystyle H_{phys}}$ ${\displaystyle \hbar \to 0}$

Теоремы, устанавливающие уникальность представления петли, как это определено Ashtekar et al. (т.е. определенная конкретная реализация гильбертова пространства и связанных с ней операторов, воспроизводящих правильную алгебру петель) были заданы двумя группами (Левандовски, Околов, Зальманн и Тиманн; ^[23] и Кристиан Фляйшхак ^[24] ). До того, как этот результат был установлен, не было известно, могут ли существовать другие примеры гильбертовых пространств с операторами, вызывающими ту же алгебру петель – другие реализации, не эквивалентные той, которая использовалась. Эти теоремы единственности подразумевают, что других не существует, поэтому, если LQG не имеет правильного квазиклассического предела, тогда эти теоремы будут означать конец петлевого представления квантовой гравитации.

Трудности и прогресс проверки квазиклассического предела

Существует ряд трудностей при попытке установить LQG, что дает общая теория относительности Эйнштейна в квазиклассическом пределе:

1. Не существует оператора, соответствующего бесконечно малым пространственным диффеоморфизмам (неудивительно, что в теории нет генератора бесконечно малых пространственных «переносов», поскольку она предсказывает, что пространственная геометрия имеет дискретную природу по сравнению с ситуацией в конденсированной среде). Вместо этого она должна быть аппроксимирована конечными пространственными диффеоморфизмами, и поэтому структура скобок Пуассона классической теории не воспроизводится точно. Эту проблему можно обойти, введя так называемое главное ограничение (см. ниже). ^[25]
2. Существует проблема согласования дискретной комбинаторной природы квантовых состояний с непрерывной природой полей классической теории.
3. Серьезные трудности возникают из-за структуры скобок Пуассона, включающей пространственный диффеоморфизм и гамильтоновы ограничения. В частности, алгебра (размазанных) гамильтоновых ограничений не замыкается: она пропорциональна сумме по бесконечно малым пространственным диффеоморфизмам (которые, как отмечалось выше, не существуют в квантовой теории), где коэффициенты пропорциональности не являются константами, а имеют нетривиальная зависимость от фазового пространства – как таковая она не образует алгебру Ли . Однако ситуация улучшается введением главного ограничения. ^[25]
4. Квазиклассический механизм, разработанный до сих пор, подходит только для операторов, не меняющих граф, однако гамильтоново ограничение Тимана является оператором, изменяющим граф: новый граф, который он генерирует, имеет степени свободы, от которых не зависит когерентное состояние, и поэтому их квантовое состояние колебания не подавляются. Пока что существует также ограничение, заключающееся в том, что эти когерентные состояния определяются только на кинематическом уровне, и теперь необходимо поднять их на уровень и . Можно показать, что гамильтоново ограничение Тимана должно изменять график, чтобы в некотором смысле решить проблему 3. Однако основная алгебра ограничений тривиальна, поэтому требование о том, чтобы она изменяла график, можно снять, и действительно были определены операторы главных ограничений, не меняющие график. Насколько известно на данный момент, эта проблема все еще остается нерешенной. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$
5. Формулировка наблюдаемых для классической общей теории относительности является огромной проблемой из-за ее нелинейной природы и пространственно-временной диффеоморфной инвариантности. Недавно была разработана схема систематической аппроксимации для расчета наблюдаемых. ^{[26] [27]}

Трудности при попытке исследовать квазиклассический предел теории не следует путать с неправильным квазиклассическим пределом.

Что касается проблемы номер 2 выше, рассмотрим так называемые состояния переплетения. Обычные измерения геометрических величин макроскопичны, а планковская дискретность сглажена. Ткань футболки аналогична: на расстоянии она представляет собой гладкую изогнутую двумерную поверхность, но при ближайшем рассмотрении мы видим, что на самом деле она состоит из тысяч одномерных связанных нитей. Образ пространства, данный в ЛКГ, аналогичен. Рассмотрим большую спиновую сеть, образованную большим количеством узлов и связей, каждый из которых имеет планковский масштаб . В макроскопическом масштабе он выглядит как трехмерная непрерывная метрическая геометрия.

Чтобы войти в контакт с физикой низких энергий, необходимо разработать схемы аппроксимации как для физического внутреннего продукта, так и для наблюдаемых Дирака; модели спиновой пены, которые интенсивно изучались, можно рассматривать как путь к схемам аппроксимации указанного физического внутреннего продукта.

Маркопулу и др. принял идею бесшумных подсистем в попытке решить проблему низкого энергетического предела в независящих от фона теориях квантовой гравитации. ^{[28] [29]} Эта идея привела к возможности отождествления материи стандартной модели с возникающими степенями свободы из некоторых версий LQG (см. раздел ниже: LQG и соответствующие исследовательские программы ).

Как подчеркивал Вайтман в 1950-х годах, в КТП Минковского функция точки ${\displaystyle n-}$

${\displaystyle W(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|\phi (x_{n})\dots \phi (x_{1})|0\rangle ,}$

полностью определить теорию. В частности, по этим величинам можно рассчитать амплитуды рассеяния. Как поясняется ниже в разделе « Амплитуды рассеяния , не зависящие от фона», в независимом от фона контексте точечные функции относятся к состоянию, а в гравитации это состояние может естественным образом кодировать информацию о конкретной геометрии, которая затем может появиться в выражениях этих величин. . Было показано, что расчеты LQG в соответствующем смысле согласуются с точечными функциями, рассчитанными в общей теории относительности эффективных квантов низкой энергии. ${\displaystyle n-}$ ${\displaystyle n-}$

Улучшенная динамика и главное ограничение

Главное ограничение

Программа главных ограничений Тимана для петлевой квантовой гравитации (LQG) была предложена как классический эквивалентный способ наложить бесконечное количество уравнений гамильтоновых ограничений в терминах одного главного ограничения , которое включает в себя квадрат рассматриваемых ограничений. Первоначальное возражение против использования главного ограничения заключалось в том, что на первый взгляд казалось, что оно не кодирует информацию о наблюдаемых; поскольку главное ограничение является квадратичным в ограничении, когда кто-то вычисляет его скобку Пуассона с любой величиной, результат пропорционален ограничению, поэтому он исчезает, когда ограничения налагаются, и, как таковое, не выбирает определенные функции фазового пространства. Однако выяснилось, что условие ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \{O,\{O,M\}\}_{M=0}=0,}$

где - по крайней мере дважды дифференцируемая функция в фазовом пространстве эквивалентна тому, чтобы быть слабой наблюдаемой Дираком относительно рассматриваемых ограничений. Таким образом, главное ограничение действительно собирает информацию о наблюдаемых. Из-за своей значимости это уравнение известно как главное уравнение. ^[30] ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O}$

Тот факт, что главная алгебра Пуассона с ограничениями является честной алгеброй Ли, открывает возможность использования метода, известного как групповое усреднение, для построения решений бесконечного числа гамильтоновых ограничений, физического скалярного продукта на них и наблюдаемых Дирака с помощью так называемого усовершенствованное алгебраическое квантование, или RAQ. ^[31]

Главное квантовое ограничение

Определите главное квантовое ограничение (не считая вопросов регуляризации) как

${\displaystyle {\hat {M}}:=\int d^{3}x{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}^{\dagger }(x){\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x).}$

Очевидно,

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0}$

ибо все подразумевает . И наоборот, если тогда ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$ ${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$

${\displaystyle 0=\left\langle \Psi ,{\hat {M}}\Psi \right\rangle =\int d^{3}x\left\|{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \right\|^{2}\qquad Eq\;4}$

подразумевает

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0}$.

Сначала вычислите матричные элементы будущего оператора , то есть квадратичную форму . - это квадратичная форма с изменением графа, инвариантная к диффеоморфизму, которая не может существовать в кинематическом гильбертовом пространстве и должна быть определена на . Поскольку главный оператор ограничения плотно определен на , то является положительным и симметричным оператором в . Следовательно, квадратичная форма , связанная с, является замыкаемой. Замыкание является квадратичной формой единственного самосопряженного оператора , называемого расширением Фридрихса . Переименовываем для простоты. ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle H_{Kin}}$ ${\displaystyle H_{Diff}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle H_{Diff}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle H_{Diff}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}}$

Обратите внимание, что наличие скалярного продукта, а именно уравнения 4, означает отсутствие лишних решений, т.е. таких, что ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \not =0,}$

но для чего . ${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$

Также возможно построить квадратичную форму для так называемого расширенного главного ограничения (обсуждаемого ниже), в котором также используется взвешенный интеграл квадрата ограничения пространственного диффеоморфизма (это возможно, поскольку график не меняется). ${\displaystyle Q_{M_{E}}}$ ${\displaystyle H_{Kin}}$ ${\displaystyle Q_{M_{E}}}$

Спектр главного ограничения может не содержать нуля из-за эффектов нормального или факторного упорядочения, которые конечны, но аналогичны по своей природе бесконечным энергиям вакуума в зависимых от фона квантовых теориях поля. В этом случае физически корректной оказывается замена на при условии, что «нормальная константа порядка» обращается в нуль в классическом пределе, т.е. ${\displaystyle {\hat {M}}}$ ${\displaystyle {\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}}$

${\displaystyle \lim _{\hbar \to 0}\min(spec({\hat {M}}))=0,}$

так что это действительное квантование . ${\displaystyle {\hat {M}}'}$ ${\displaystyle M}$

Тестирование главного ограничения

Ограничения в их примитивной форме довольно своеобразны, это и послужило причиной их интегрирования по тестовым функциям для получения размытых ограничений. Однако может показаться, что уравнение главного ограничения, приведенное выше, является еще более сингулярным и включает в себя произведение двух примитивных ограничений (хотя и интегрированных по пространству). Возведение ограничения в квадрат опасно, поскольку оно может привести к ухудшению ультрафиолетового поведения соответствующего оператора, и, следовательно, к основной программе ограничений следует подходить с осторожностью.

При этом основная программа ограничений прошла удовлетворительную проверку на ряде модельных систем с нетривиальными алгебрами ограничений, свободными и взаимодействующими теориями поля. ^{[32] [33] [34] [35] [36]} Главное ограничение для LQG было установлено как настоящий положительный самосопряженный оператор, и было показано, что физическое гильбертово пространство LQG непусто, ^[37] непротиворечивость тест LQG должен пройти, чтобы стать жизнеспособной теорией квантовой общей теории относительности.

Применение главного ограничения

Главное ограничение использовалось в попытках аппроксимировать физический внутренний продукт и определить более строгие интегралы по траекториям. ^{[38] [39] [40] [41]}

Подход последовательной дискретизации к LQG, ^{[42] [43]} представляет собой применение главной программы ограничений для построения физического гильбертова пространства канонической теории.

Вращение пены из главного ограничения

Главное ограничение легко обобщается и включает в себя другие ограничения. В этом случае его называют расширенным главным ограничением, обозначаемым . Мы можем определить расширенное главное ограничение, которое накладывает как гамильтоново ограничение, так и ограничение пространственного диффеоморфизма, как один оператор: ${\displaystyle M_{E}}$

${\displaystyle M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}}$.

Установка этого единственного ограничения в ноль эквивалентна и для всех в . Это ограничение одновременно реализует пространственный диффеоморфизм и гамильтоново ограничение в кинематическом гильбертовом пространстве. Тогда физический внутренний продукт определяется как ${\displaystyle H(x)=0}$ ${\displaystyle V_{a}(x)=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle _{\text{Phys}}=\lim _{T\to \infty }\left\langle \phi ,\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}\psi \right\rangle }$

(как ). Представление этого выражения в виде спиновой пены получается путем разделения -параметра на дискретные шаги и записи ${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$ ${\displaystyle t}$

${\textstyle e^{it{\hat {M}}_{E}}=\lim _{n\to \infty }\left[e^{it{\hat {M}}_{E}/n}\right]^{n}=\lim _{n\to \infty }[1+it{\hat {M}}_{E}/n]^{n}.}$

Описание спиновой пены затем следует из применения к спиновой сети, что приводит к линейной комбинации новых спиновых сетей, график и метки которых были изменены. Очевидно, что аппроксимация достигается путем усечения значения до некоторого конечного целого числа. Преимущество расширенного главного ограничения состоит в том, что мы работаем на кинематическом уровне и пока только здесь мы имеем доступ к квазиклассическим когерентным состояниям. Более того, невозможно найти ни одной версии этого главного оператора ограничения, изменяющей график, которые являются единственным типом операторов, подходящим для этих когерентных состояний. ${\displaystyle [1+it{\hat {M}}_{E}/n]}$ ${\displaystyle n}$

Алгебраическая квантовая гравитация (AQG)

Основная программа ограничений превратилась в полностью комбинаторную трактовку гравитации, известную как алгебраическая квантовая гравитация (AQG). ^[44] Главный оператор ограничения, не меняющий граф, адаптирован в рамках алгебраической квантовой гравитации. Хотя AQG вдохновлен LQG, он радикально отличается от него, поскольку в AQG принципиально нет топологии или дифференциальной структуры – он не зависит от фона в более обобщенном смысле и, возможно, может что-то сказать об изменении топологии. В этой новой формулировке квантовой гравитации квазиклассические состояния AQG всегда контролируют флуктуации всех существующих степеней свободы. Это делает полуклассический анализ AQG превосходящим анализ LQG, и был достигнут прогресс в установлении правильного квазиклассического предела и обеспечении контакта с известной физикой низких энергий. ^{[45] [46]}

Физические применения LQG

Энтропия черной дыры

Художественное изображение слияния двух черных дыр - процесса, в котором соблюдаются законы термодинамики.

Термодинамика черных дыр — это область исследований, которая стремится согласовать законы термодинамики с существованием горизонтов событий черных дыр . Гипотеза «без волос» общей теории относительности утверждает, что черная дыра характеризуется только своей массой , зарядом и угловым моментом ; следовательно, он не имеет энтропии . Таким образом, оказывается, что можно нарушить второй закон термодинамики , бросив объект с ненулевой энтропией в черную дыру. ^[47] Работа Стивена Хокинга и Джейкоба Бекенштейна показала, что второй закон термодинамики можно сохранить, приписав каждой черной дыре энтропию черной дыры.

${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4\ell _{\text{P}}^{2}}},}$

где – площадь горизонта событий дыры, – постоянная Больцмана , – планковская длина. ^[48] ​​Тот факт, что энтропия черной дыры также является максимальной энтропией, которую можно получить с помощью границы Бекенштейна (при этом граница Бекенштейна становится равенством), был основным наблюдением, которое привело к голографическому принципу . ^[47] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\textstyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$

Упущением при применении теоремы об отсутствии волос является предположение, что соответствующие степени свободы, учитывающие энтропию черной дыры, должны быть классическими по своей природе; что, если бы они были чисто квантовомеханическими и имели ненулевую энтропию? Это то, что реализуется при выводе энтропии черной дыры в ЛКГ, и это можно рассматривать как следствие ее независимости от фона – классическое пространство-время черной дыры возникает из квазиклассического предела квантового состояния гравитационного поля, но существуют множество квантовых состояний, имеющих один и тот же квазиклассический предел. В частности, в LQG ^[49] можно связать квантово-геометрическую интерпретацию с микросостояниями: это квантовая геометрия горизонта, которая согласуется с площадью черной дыры и топологией горизонта (т.е. сферической). . LQG предлагает геометрическое объяснение конечности энтропии и пропорциональности площади горизонта. ^{[50] [51]} Эти расчеты были обобщены на вращающиеся черные дыры. ^[52] ${\displaystyle A}$

Представление квантовой геометрии горизонта. Полимерные возбуждения в объеме прокалывают горизонт, придавая ему квантованную площадь. По своей сути горизонт плоский, за исключением точек, где он приобретает квантованный угол дефицита или квантованную степень кривизны. Эти углы дефицита в сумме составляют . ${\displaystyle 4\pi }$

Из ковариантной формулировки полной квантовой теории ( Spinfoam ) можно вывести правильное соотношение между энергией и площадью (1-й закон), температуру Унру и распределение, которое дает энтропию Хокинга. ^[53] В расчетах используется понятие динамического горизонта и делается для неэкстремальных черных дыр.

Недавним успехом теории в этом направлении является вычисление энтропии всех несингулярных черных дыр непосредственно из теории и независимо от параметра Иммирзи . ^{[53] [54]} Результатом является ожидаемая формула , где – энтропия и площадь черной дыры, выведенная Бекенштейном и Хокингом на эвристических основаниях. Это единственный известный вывод этой формулы из фундаментальной теории для случая обычных несингулярных черных дыр. Старые попытки этого расчета имели трудности. Проблема заключалась в том, что, хотя петлевая квантовая гравитация предсказывала, что энтропия черной дыры пропорциональна площади горизонта событий, результат зависел от ключевого свободного параметра теории, вышеупомянутого параметра Иммирзи. Однако неизвестных вычислений параметра Иммирзи нет, поэтому он был исправлен путем требования согласия с расчетами Бекенштейна и Хокинга энтропии черной дыры . ${\displaystyle S=A/4}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$

Излучение Хокинга в петлевой квантовой гравитации

Детальное исследование квантовой геометрии горизонта черной дыры было проведено с использованием петлевой квантовой гравитации. ^[51] Петлевое квантование не воспроизводит результат для энтропии черной дыры, первоначально открытый Бекенштейном и Хокингом, если только не выбрать значение параметра Иммирзи , чтобы компенсировать другую константу, возникающую при выводе. Однако это привело к вычислению поправок более высокого порядка к энтропии и излучению черных дыр.

Основываясь на флуктуациях площади горизонта, квантовая черная дыра демонстрирует отклонения от спектра Хокинга, которые можно было бы наблюдать, если бы наблюдались рентгеновские лучи от излучения Хокинга испаряющихся первичных черных дыр . ^[55] Квантовые эффекты сосредоточены на наборе дискретных и несмешанных частот, ярко выраженных на вершине спектра излучения Хокинга. ^[56]

Планковская звезда

В 2014 году Карло Ровелли и Франческа Видотто предположили, что внутри каждой черной дыры есть звезда Планка . ^[57] Теория, основанная на LQG, утверждает, что когда звезды коллапсируют в черные дыры, плотность энергии достигает плотности энергии Планка, вызывая силу отталкивания, которая создает звезду. Более того, существование такой звезды разрешило бы межсетевой экран черной дыры и информационный парадокс черной дыры .

Петлевая квантовая космология

В популярной и технической литературе широко упоминается тема петлевой квантовой космологии, связанная с LQG. LQC был в основном разработан Мартином Бойовальдом. Оно было популяризировано в Scientific American за предсказание Большого Отскока до Большого Взрыва . ^[58] Петлевая квантовая космология (LQC) — это уменьшенная по симметрии модель классической общей теории относительности, квантованная с использованием методов, имитирующих методы петлевой квантовой гравитации (LQG), которая предсказывает «квантовый мост» между сжимающейся и расширяющейся космологическими ветвями.

Достижениями LQC стали открытие сингулярности Большого взрыва , предсказание Большого Отскока и естественный механизм инфляции .

Модели LQC имеют те же функции, что и LQG, поэтому являются полезной игрушечной моделью. Однако на полученные результаты распространяется обычное ограничение: усеченная классическая теория, а затем квантованная, может не отображать истинное поведение полной теории из-за искусственного подавления степеней свободы, которые могут иметь большие квантовые флуктуации в полной теории. Утверждалось, что избежание сингулярностей в LQC осуществляется с помощью механизмов, доступных только в этих ограничительных моделях, и что избежание сингулярностей в полной теории все еще может быть достигнуто, но с помощью более тонкой особенности LQG. ^{[59] [60]}

Феноменология петлевой квантовой гравитации

Эффекты квантовой гравитации трудно измерить, поскольку планковская длина очень мала. Однако в последнее время физики, такие как Джек Палмер, начали рассматривать возможность измерения эффектов квантовой гравитации, в основном с помощью астрофизических наблюдений и детекторов гравитационных волн. Энергия этих флуктуаций на столь малых масштабах вызывает пространственные возмущения, которые видны на более высоких масштабах.

Независимые от фона амплитуды рассеяния

Петлевая квантовая гравитация сформулирована на независимом от фона языке. Никакое пространство-время не предполагается априори, а, скорее, создается самими состояниями теории – однако амплитуды рассеяния выводятся из -точечных функций ( корреляционная функция ), и они, сформулированные в традиционной квантовой теории поля, являются функциями точек фона. пространство-время. Связь между независимым от фона формализмом и традиционным формализмом квантовой теории поля в данном пространстве-времени не очевидна, и не очевидно, как восстановить низкоэнергетические величины из полностью независимой от фона теории. Хотелось бы вывести -точечные функции теории из независимого от фона формализма, чтобы сравнить их со стандартным пертурбативным расширением квантовой общей теории относительности и, следовательно, проверить, что петлевая квантовая гравитация дает правильный низкоэнергетический предел. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Была предложена стратегия решения этой проблемы; ^{В [61]} изучается граничная амплитуда, а именно интеграл по траектории по конечной области пространства-времени, рассматриваемый как функция граничного значения поля. ^{[62] [63]} В традиционной квантовой теории поля эта граничная амплитуда четко определена ^{[64] [65]} и кодирует физическую информацию теории; то же самое происходит и в квантовой гравитации, но полностью независимо от фона. ^[66] Общековариантное определение -точечных функций может тогда быть основано на идее, что расстояние между физическими точками - аргументами -точечной функции определяется состоянием гравитационного поля на границе рассматриваемой области пространства-времени. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Таким образом, с использованием спиновых пен был достигнут прогресс в расчете не зависящих от фона амплитуд рассеяния. Это способ извлечь физическую информацию из теории. Были сделаны утверждения о том, что удалось воспроизвести правильное поведение амплитуд рассеяния гравитонов и восстановить классическую гравитацию. «Мы рассчитали закон Ньютона, исходя из мира без пространства и времени». – Карло Ровелли.

Гравитоны, теория струн, суперсимметрия, дополнительные измерения в ЛКГ.

Некоторые квантовые теории гравитации предполагают квантовое поле со спином 2, которое квантуется, порождая гравитоны. В теории струн обычно начинают с квантованных возбуждений поверх классически фиксированного фона. Таким образом, эта теория описывается как зависящая от фона. Частицы, такие как фотоны, а также изменения в геометрии пространства-времени (гравитоны) описываются как возбуждения на мировом листе струн. Фоновая зависимость теории струн может иметь физические последствия, например, определение числа поколений кварков. Напротив, петлевая квантовая гравитация, как и общая теория относительности, явно не зависит от фона, что устраняет фон, необходимый в теории струн. Петлевая квантовая гравитация, как и теория струн, также направлена ​​на преодоление неперенормируемых расхождений квантовых теорий поля.

ЛКГ не вводит фон и возбуждения, живущие на таком фоне, поэтому ЛКГ не использует гравитоны в качестве строительных блоков. Вместо этого можно ожидать, что можно будет восстановить своего рода квазиклассический предел или предел слабого поля, где снова появится что-то вроде «гравитонов». Напротив, гравитоны играют ключевую роль в теории струн, где они относятся к первому (безмассовому) уровню возбуждений суперструн.

LQG отличается от теории струн тем, что она сформулирована в 3-х и 4-х измерениях и без суперсимметрии или дополнительных измерений Калуцы-Клейна , в то время как последняя требует, чтобы оба были верны. На сегодняшний день нет экспериментальных доказательств, подтверждающих предсказания теории струн о суперсимметрии и дополнительных измерениях Калуцы – Клейна. В статье 2003 года «Диалог о квантовой гравитации» ^[67] Карло Ровелли считает тот факт, что ЛКГ сформулирована в 4 измерениях и без суперсимметрии, сильной стороной теории, поскольку он представляет собой наиболее экономное объяснение, согласующееся с текущими экспериментальными результатами, по сравнению с ее конкурирующая струнная/М-теория. Сторонники теории струн часто указывают на тот факт, что, среди прочего, она наглядно воспроизводит устоявшиеся теории общей теории относительности и квантовой теории поля в соответствующих пределах, чего изо всех сил пыталась достичь петлевая квантовая гравитация. В этом смысле связь теории струн с устоявшейся физикой можно считать более надежной и менее умозрительной на математическом уровне. Петлевая квантовая гравитация ничего не говорит о материи (фермионах) во Вселенной.

Поскольку LQG была сформулирована в 4 измерениях (с суперсимметрией и без нее), а М-теория требует суперсимметрии и 11 измерений, прямое сравнение между ними было невозможным. Можно распространить основной формализм ЛКГ на многомерную супергравитацию, общую теорию относительности с суперсимметрией и дополнительные измерения Калуцы-Клейна, если экспериментальные данные подтвердят их существование. Поэтому было бы желательно иметь в своем распоряжении многомерное квантование петли супергравитации, чтобы сравнить эти подходы. Была опубликована серия статей, пытающихся это сделать. ^{[68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75]} Совсем недавно Тиманн (и его выпускники) добились прогресса в расчете энтропии черной дыры для супергравитации в более высоких измерениях. Будет полезно сравнить эти результаты с соответствующими вычислениями суперструн. ^{[76] [77]}

LQG и связанные с ним исследовательские программы

Несколько исследовательских групп пытались объединить LQG с другими исследовательскими программами: Йоханнес Ааструп, Йеспер М. Гримструп и др. исследования сочетают в себе некоммутативную геометрию с канонической квантовой гравитацией и переменными Аштекара, ^[78] Лоран Фрейдель, Симоне Специале и др., спинорную и твисторную теорию с петлевой квантовой гравитацией, ^{[79] [80]} и Ли Смолин и др. с энтропийной гравитацией Верлинде и петлевой гравитацией. ^[81] Стефон Александер, Антонино Марчиано и Ли Смолин попытались объяснить происхождение киральности слабых сил с точки зрения переменных Ашкетара, которые описывают гравитацию как киральную, ^[82] и LQG с полями теории Янга – Миллса ^[83] в четырех измерениях. . Сандэнс Билсон-Томпсон , Хакетт и др., ^{[84] [85]} попытались представить стандартную модель через степени свободы LQG как эмерджентное свойство (используя идею бесшумных подсистем , понятие, введенное в более общей ситуации для системы с ограничениями Фотини Маркопулу-Каламара и др.) ^[86]

Кроме того, LQG провел философские сравнения с причинной динамической триангуляцией ^[87] и асимптотически безопасной гравитацией ^[88] и спин-пеной с теорией группового поля и соответствием AdS/CFT . ^[89] Смолин и Вен предложили объединить LQG со струнно-сетевой жидкостью , тензорами и квантовой графичностью Смолина и Фотини Маркопулу-Каламара . Существует последовательный подход дискретизации. Кроме того, Пуллин и Гамбини обеспечивают основу для объединения интеграла по путям и канонического подхода к квантовой гравитации. Они могут помочь согласовать подходы к представлению спиновой пены и канонической петли. Недавнее исследование Криса Дастона и Матильды Марколли представило изменение топологии через топспиновые сети. ^[90]

Проблемы и сравнения с альтернативными подходами

Некоторые из основных нерешенных проблем в физике являются теоретическими, а это означает, что существующие теории кажутся неспособными объяснить определенное наблюдаемое явление или экспериментальный результат. Остальные являются экспериментальными, что означает, что существует трудность в проведении эксперимента для проверки предложенной теории или более детального исследования явления.

Многие из этих проблем применимы и к LQG, в том числе:

• Могут ли квантовая механика и общая теория относительности быть реализованы как полностью непротиворечивая теория (возможно, как квантовая теория поля)?
• Является ли пространство-время фундаментально непрерывным или дискретным?
• Будет ли последовательная теория включать в себя силу, опосредованную гипотетическим гравитоном, или она будет продуктом дискретной структуры самого пространства-времени (как в петлевой квантовой гравитации)?
• Существуют ли отклонения от предсказаний общей теории относительности в очень малых или очень больших масштабах или в других экстремальных обстоятельствах, вытекающие из теории квантовой гравитации?

Теория ЛКГ, как и теория струн , является одним из возможных решений проблемы квантовой гравитации . Однако есть существенные различия. Например, теория струн также занимается унификацией , пониманием всех известных сил и частиц как проявлений единой сущности, постулируя дополнительные измерения и до сих пор ненаблюдаемые дополнительные частицы и симметрии. В отличие от этого, ЛКГ основана только на квантовой теории и общей теории относительности, а ее возможности ограничены пониманием квантовых аспектов гравитационного взаимодействия. С другой стороны, последствия ЛКГ радикальны, поскольку фундаментально меняют природу пространства и времени и дают предварительную, но подробную физическую и математическую картину квантового пространства-времени.

В настоящее время не доказано существование квазиклассического предела, восстанавливающего общую теорию относительности. Это означает, что остается недоказанным, что описание пространства-времени ЛКГ в масштабе Планка имеет правильный предел континуума (описываемый общей теорией относительности с возможными квантовыми поправками). В частности, динамика теории закодирована в гамильтониановом ограничении , но кандидата на гамильтониан не существует . ^[91] Другие технические проблемы включают в себя нахождение внеоболочного замыкания алгебры ограничений и физического векторного пространства внутреннего произведения, связь с полями материи квантовой теории поля, судьбу перенормировки гравитона в теории возмущений , которая приводит к ультрафиолетовой расходимости за пределами 2- . петли (см . однопетлевую диаграмму Фейнмана в Диаграмме Фейнмана ). ^[91]

Хотя было предложение, касающееся наблюдения голых сингулярностей ^[92] и двойной специальной теории относительности как части программы, называемой петлевой квантовой космологией , не существует экспериментального наблюдения, для которого петлевая квантовая гравитация делала бы предсказания, не сделанные Стандартной моделью. или общая теория относительности (проблема, от которой страдают все современные теории квантовой гравитации). Из-за упомянутого выше отсутствия квазиклассического предела ЛКГ до сих пор даже не воспроизвела предсказания общей теории относительности.

Альтернативная критика состоит в том, что общая теория относительности может быть эффективной теорией поля , и поэтому квантование игнорирует фундаментальные степени свободы.

Спутник ЕКА INTEGRAL измерил поляризацию фотонов разных длин волн и смог установить предел детализации пространства ^[93] , который составляет менее 10–48 ^м , что на 13 порядков ниже масштаба Планка. ^{[ нужны разъяснения ]}

Смотрите также

• Проблема времени  - Концептуальный конфликт между общей теорией относительности и квантовой механикой.
• Переменные Аштекара  - переменные, используемые в общей теории относительности.
• C *-алгебра  - Топологическое комплексное векторное пространство.
• Теория категорий  - Общая теория математических структур
• Двойная специальная теория относительности  - Обобщение специальной теории относительности.
• Конструкция Гельфанда – Наймарка – Сигала  – Соответствие в функциональном анализе
• Теория группового поля  - квантовая теория поля с базовым многообразием группы Ли.
• Алгебра Гейтинга  - ограниченная решетка, моделирующая интуиционистскую логику высказываний.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Гамильтоново ограничение  - ключевое ограничение в некоторых теориях, допускающих гамильтоновы формулировки.
• Гамильтоново ограничение LQG  - Ограничение в петлевой квантовой гравитации
• Параметр Иммирзи  - числовой коэффициент в петлевой квантовой гравитации
• Инвариант узла  - функция узла, которая принимает одно и то же значение для эквивалентных узлов.
• Состояние Кодамы  - решение уравнения Шрёдингера с нулевой энергией в петлевой квантовой гравитации
• Лоренц-инвариантность в петлевой квантовой гравитации  - Аспект петлевой квантовой гравитации
• Некоммутативная геометрия  - Отдел математики
• Исчисление Редже  - формализм для создания симплициальных аппроксимаций пространства-времениPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• S-узел  - класс эквивалентности спиновых сетей
• Спиновая пена  - топологическая структура, используемая при описании квантовой гравитации.
• Струнно-сетевая жидкость  - модель физики конденсированного состояния, включающая только замкнутые контуры.
• Теория струн  - Теория субатомной структуры
• Суперсимметрия  - симметрия между бозонами и фермионами.
• Теория топоса  - Математическая категория
• Теория Эйнштейна – Картана  – Классическая теория гравитации

Примечания

Цитаты

1. Ровелли 2008.
2. Аштекар, Абхай (3 ноября 1986 г.). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации». Письма о физических отзывах . 57 (18): 2244–2247. Бибкод : 1986PhRvL..57.2244A. doi : 10.1103/PhysRevLett.57.2244. ПМИД  10033673.
3. Ровелли, Карло ; Смолин, Ли (1995). «Дискретность площади и объема в квантовой гравитации». Ядерная физика Б . 442 (3): 593–619. arXiv : gr-qc/9411005 . дои : 10.1016/0550-3213(95)00150-Q.
4. Ровелли 2011.
5. Мухин 2011, с. 064010.
6. Fairbairn & Meusburger 2011.
7. Кауфман и Смолин 1997.
8. Смолин 2006, стр. 196 и далее .
9. Ровелли 2004, стр. 13 и далее.
10. Тиманн 1996, стр. 257–264.
11. Баэз и де Муньяин 1994, Часть III, глава 4.
12. Тиманн 2003, стр. 41–135.
13. Ровелли и Смолин 1988, стр. 1155–1958.
14. Гамбини и Пуллин, 2011, раздел 8.2.
15. Тиманн 2008, стр. 458–462.
16. Бойовальд и Перес 2009, с. 877.
17. Барретт и Крейн 2000, стр. 3101–3118.
18. Ровелли и Алески 2007, с. 104012.
19. Энгл, Перейра и Ровелли 2009, с. 161301.
20. Фрейдель и Краснов 2008, с. 125018.
21. Livine & Speziale 2008, с. 50004.
22. Алески, Тиманн и Зипфель 2011, стр. 024017.
23. Левандовски и др. 2006, стр. 703–733.
24. Флейшхак 2006, с. 061302.
25. Тиманн 2008, раздел 10.6.
26. Диттрих 2007, стр. 1891–1927.
27. Диттрих 2006, стр. 6155–6184.
28. Дрейер, Маркопулу и Смолин, 2006, стр. 1–13.
29. Крибс и Маркопулу 2005.
30. Тиманн 2006a, стр. 2211–2247.
31. Тиманн, Томас (5 октября 2001 г.), Введение в современную каноническую квантовую общую теорию относительности , arXiv : gr-qc/0110034 , Bibcode : 2001gr.qc....10034T
32. Диттрих и Тиманн 2006a, стр. 1025–1066.
33. Диттрих и Тиманн 2006b, стр. 1067–1088.
34. Диттрих и Тиманн 2006c, стр. 1089–1120.
35. Диттрих и Тиманн 2006d, стр. 1121–1142.
36. Диттрих и Тиманн 2006e, стр. 1143–1162.
37. Тиманн 2006b, стр. 2249–2265.
38. Бар и Тиманн 2007, стр. 2109–2138.
39. Хан и Тиманн 2010a, с. 225019.
40. Хан и Тиманн 2010b, с. 092501.
41. Хан 2010, с. 215009.
42. Гамбини и Пуллин 2009, с. 035002.
43. Гамбини и Пуллин, 2011, раздел 10.2.2.
44. Гизель и Тиманн 2007a, стр. 2465–2498.
45. Гизель и Тиманн 2007b, стр. 2499–2564.
46. Гизель и Тиманн 2007c, стр. 2565–2588.
47. Буссо 2002, стр. 825–874.
48. Маджумдар 1998, с. 147.
49. См. Список исследователей петлевой квантовой гравитации.
50. Ровелли 1996, стр. 3288–3291.
51. Аштекар и др. 1998, стр. 904–907.
52. Аштекар, Энгл и Брок 2005, стр. L27.
53. Бьянки 2012.
54. Фродден, Гош и Перес 2013, стр. 121503.
55. Ансари 2007, стр. 179–212.
56. Ансари 2008, стр. 635–644.
57. Ровелли и Видотто 2014, с. 1442026.
58. Бойовальд 2008.
59. Бруннеманн и Тиманн 2006a, стр. 1395–1428.
60. Бруннеманн и Тиманн 2006b, стр. 1429–1484.
61. Модесто и Ровелли 2005, с. 191301.
62. Oeckl 2003a, стр. 318–324.
63. Oeckl 2003b, стр. 5371–5380.
64. Конради и Ровелли 2004, с. 4037.
65. Допличер 2004, с. 064037.
66. Конради и др. 2004, с. 064019.
67. Ровелли 2003, стр. 1509–1528.
68. Бодендорфер, Тиманн и Турн 2013a, стр. 045001.
69. Бодендорфер, Тиманн и Турн 2013b, стр. 045002.
70. Бодендорфер, Тиманн и Турн 2013c, стр. 045003.
71. Бодендорфер, Тиманн и Турн 2013d, стр. 045004.
72. Бодендорфер, Тиманн и Турн 2013e, стр. 045005.
73. Бодендорфер, Тиманн и Турн 2012, с. 205.
74. Бодендорфер, Тиманн и Турн 2013f, стр. 045006.
75. Бодендорфер, Тиманн и Турн 2013g, с. 045007.
76. Бодендорфер, Тиманн и Турн 2014, с. 055002.
77. Бодендорфер 2013, стр. 887–891.
78. Ааструп 2012, с. 018.
79. Freidel & Speziale 2010, с. 084041.
80. Speziale & Wieland 2012, с. 124023.
81. Смолин 2010.
82. Александр, Марчиано и Смолин 2014, с. 065017.
83. Александр, Марчиано и Такки 2012, с. 330.
84. Билсон-Томпсон, Маркопулу и Смолин 2007, стр. 3975–3994.
85. Билсон-Томпсон 2012, с. 014.
86. Механика с ограничениями и бесшумные подсистемы , Томаш Конопка, Фотини Маркопулу, arXiv:gr-qc/0601028.
87. PITP: Рената Лолл.
88. Бьянки 2010.
89. Фрейдель 2008.
90. Дастон 2013.
91. Николаи, Петерс и Замаклар, 2005, стр. R193–R247.
92. Госвами, Джоши и Сингх 2006, стр. 31302.
93. «Интеграл бросает вызов физике помимо Эйнштейна».

Цитируемые работы

• Ааструп, Йоханнес (2012). «Пересекающаяся квантовая гравитация с некоммутативной геометрией - обзор». Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 8 : 018. arXiv : 1203.6164 . Бибкод : 2012SIGMA...8..018A. дои : 10.3842/SIGMA.2012.018. S2CID  18279314.
• Алески, Э.; Тиманн, Т.; Зипфель, А. (2011). «Связывание ковариантной и канонической LQG: новые решения евклидова скалярного ограничения». Физический обзор D . 86 (2): 024017. arXiv : 1109.1290 . Бибкод : 2012PhRvD..86b4017A. doi : 10.1103/PhysRevD.86.024017. S2CID  119210827.
• Александр, Стефон; Марчиано, Антонино; Смолин, Ли (2014). «Гравитационное происхождение киральности слабого взаимодействия». Физический обзор D . 89 (6): 065017. arXiv : 1212.5246 . Бибкод : 2014PhRvD..89f5017A. doi : 10.1103/PhysRevD.89.065017. S2CID  118727458.
• Александр, Стефон; Марчиано, Антонино; Такки, Руджеро Альтаир (2012). «К петлевой квантовой гравитации и объединению Янга – Миллса». Буквы по физике Б. 716 (2): 330. arXiv : 1105.3480 . Бибкод : 2012PhLB..716..330A. doi :10.1016/j.physletb.2012.07.034. S2CID  118655185.
• Ансари, Миннесота (2007). «Спектроскопия канонически квантованного горизонта». Нукл. Физ. Б. _ 783 (3): 179–212. arXiv : hep-th/0607081 . Бибкод : 2007NuPhB.783..179A. doi :10.1016/j.nuclphysb.2007.01.009. S2CID  9966483.
• Ансари, Миннесота (2008). «Общее вырождение и энтропия в петлевой квантовой гравитации». Нукл. Физ. Б. _ 795 (3): 635–644. arXiv : gr-qc/0603121 . Бибкод : 2008NuPhB.795..635A. doi :10.1016/j.nuclphysb.2007.11.038. S2CID  119039723.
• Аштекар, А.; Бомбелли, Л.; Коричи, А. (2005). «Квазиклассические состояния для систем с ограничениями». Физический обзор D . 72 (1): 025008. arXiv : hep-ph/0504114 . Бибкод : 2005PhRvD..72a5008C. doi : 10.1103/PhysRevD.72.015008. S2CID  16541870.
• Аштекар, Абхай; Баэз, Джон; Коричи, Алехандро; Краснов, Кирилл (1998). «Квантовая геометрия и энтропия черной дыры». Письма о физических отзывах . 80 (5): 904–907. arXiv : gr-qc/9710007 . Бибкод : 1998PhRvL..80..904A. doi : 10.1103/PhysRevLett.80.904. S2CID  18980849.
• Аштекар, Абхай; Энгл, Джонатан; Брук, Крис Ван Ден (2005). «Квантовые горизонты и энтропия черной дыры: учет искажения и вращения». Классическая и квантовая гравитация . 22 (4): Л27. arXiv : gr-qc/0412003 . Бибкод : 2005CQGra..22L..27A. дои : 10.1088/0264-9381/22/4/L02. S2CID  53842643.
• Баэз, Дж.; де Муньяин, JP (1994). Калибровочные поля, узлы и квантовая гравитация . Серия «Узлы и все такое». Том. 4. Всемирная научная . Часть III, глава 4. ISBN 978-981-02-1729-7.
• Бахр, Бенджамин; Тиманн, Томас (2007). «Аппроксимация физического внутреннего продукта петлевой квантовой космологии». Классическая и квантовая гравитация . 24 (8): 2109–2138. arXiv : gr-qc/0607075 . Бибкод : 2007CQGra..24.2109B. дои : 10.1088/0264-9381/24/8/011. S2CID  13953362.
• Барретт, Дж.; Крейн, Л. (2000). «Лоренцева сигнатурная модель квантовой общей теории относительности». Классическая и квантовая гравитация . 17 (16): 3101–3118. arXiv : gr-qc/9904025 . Бибкод : 2000CQGra..17.3101B. дои : 10.1088/0264-9381/17/16/302. S2CID  14192824.
• Бьянки, Эудженио (18–20 января 2010 г.). «Петлевая квантовая гравитация» (PDF) . Институт физики Ниццы. Архивировано из оригинала (PDF) 18 октября 2016 года.
• Бьянки, Эудженио (2012). «Энтропия неэкстремальных черных дыр из петлевой гравитации». arXiv : 1204.5122 [gr-qc].
• Билсон-Томпсон, Сандэнс (2012). «Эмерджентная плетеная материя квантовой геометрии». Симметрия, интегрируемость и геометрия: методы и приложения . 8 : 014.arXiv : 1109.0080 . Бибкод : 2012SIGMA...8..014B. дои : 10.3842/SIGMA.2012.014. S2CID  14955019.
• Билсон-Томпсон, Сандэнс О; Маркопулу, Фотини; Смолин, Ли (2007). «Квантовая гравитация и стандартная модель». Классическая и квантовая гравитация . 24 (16): 3975–3994. arXiv : hep-th/0603022 . Бибкод : 2007CQGra..24.3975B. дои : 10.1088/0264-9381/24/16/002. S2CID  37406474.
• Бодендорфер, Н. (2013). «Энтропия черной дыры из петлевой квантовой гравитации в высших измерениях». Буквы по физике Б. 726 (4–5): 887–891. arXiv : 1307.5029 . Бибкод : 2013PhLB..726..887B. doi :10.1016/j.physletb.2013.09.043. S2CID  119331759.
• Бодендорфер, Н.; Тиманн, Т.; Турн, А. (2012). «К петлевой квантовой супергравитации (LQSG)». Буквы по физике Б. 711 (2): 205. arXiv : 1106.1103 . Бибкод : 2012PhLB..711..205B. doi :10.1016/j.physletb.2012.04.003. S2CID  67817878.
• Бодендорфер, Н.; Тиманн, Т; Турн, А. (2013a). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации во всех измерениях: I. Гамильтонов анализ». Классическая и квантовая гравитация . 30 (4): 045001. arXiv : 1105.3703 . Бибкод : 2013CQGra..30d5001B. дои : 10.1088/0264-9381/30/4/045001. S2CID  55215120.
• Бодендорфер, Н.; Тиманн, Т; Турн, А. (2013b). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации во всех измерениях: II. Лагранжев анализ». Классическая и квантовая гравитация . 30 (4): 045002. arXiv : 1105.3704 . Бибкод : 2013CQGra..30d5002B. дои : 10.1088/0264-9381/30/4/045002. S2CID  55736166.
• Бодендорфер, Н.; Тиманн, Т; Турн, А. (2013c). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации во всех измерениях: III. Квантовая теория». Классическая и квантовая гравитация . 30 (4): 045003. arXiv : 1105.3705 . Бибкод : 2013CQGra..30d5003B. дои : 10.1088/0264-9381/30/4/045003. S2CID  55516259.
• Бодендорфер, Н.; Тиманн, Т; Турн, А. (2013d). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации во всех измерениях: IV. Связь материи». Классическая и квантовая гравитация . 30 (4): 045004. arXiv : 1105.3706 . Бибкод : 2013CQGra..30d5004B. дои : 10.1088/0264-9381/30/4/045004. S2CID  55530282.
• Бодендорфер, Н.; Тиманн, Т; Турн, А. (2013e). «О реализации ограничения канонической квантовой простоты». Классическая и квантовая гравитация . 30 (4): 045005. arXiv : 1105.3707 . Бибкод : 2013CQGra..30d5005B. дои : 10.1088/0264-9381/30/4/045005. S2CID  56074665.
• Бодендорфер, Н.; Тиманн, Т; Турн, А. (2013f). «На пути к петлевой квантовой супергравитации (LQSG): I. Сектор Рариты – Швингера». Классическая и квантовая гравитация . 30 (4): 045006. arXiv : 1105.3709 . Бибкод : 2013CQGra..30d5006B. дои : 10.1088/0264-9381/30/4/045006. S2CID  55726240.
• Бодендорфер, Н.; Тиманн, Т; Турн, А. (2013г). «На пути к петлевой квантовой супергравитации (LQSG): сектор II.p-формы». Классическая и квантовая гравитация . 30 (4): 045007. arXiv : 1105.3710 . Бибкод : 2013CQGra..30d5007B. дои : 10.1088/0264-9381/30/4/045007. S2CID  56562416.
• Бодендорфер, Н.; Тиманн, Т; Турн, А. (2014). «Новые переменные для классической и квантовой гравитации во всех измерениях: V. Изолированные степени свободы на границе горизонта». Классическая и квантовая гравитация . 31 (5): 055002. arXiv : 1304.2679 . Бибкод : 2014CQGra..31e5002B. дои : 10.1088/0264-9381/31/5/055002. S2CID  119265359.
• Бом, Д. (1989). Квантовая теория . Дуврские публикации . ISBN 978-0-486-65969-5.
• Бор, Н. (1920). «Über die Serienspektra der Element». Zeitschrift für Physik . 2 (5): 423–478. Бибкод : 1920ZPhy....2..423B. дои : 10.1007/BF01329978. S2CID  121792424.
• Бойовальд, Мартин (октябрь 2008 г.). «Большой взрыв или большой отскок?: Новая теория рождения Вселенной» . Научный американец .(доступна здесьпо состоянию на 2 мая 2017 г.)
• Бойовальд, Мартин; Перес, Алехандро (2009). «Квантование спиновой пены и аномалии». Общая теория относительности и гравитация . 42 (4): 877. arXiv : gr-qc/0303026 . Бибкод : 2010GReGr..42..877B. дои : 10.1007/s10714-009-0892-9. S2CID  118474.
• Буссо, Рафаэль (2002). «Голографический принцип». Обзоры современной физики . 74 (3): 825–874. arXiv : hep-th/0203101 . Бибкод : 2002РвМП...74..825Б. doi : 10.1103/RevModPhys.74.825. S2CID  55096624.
• Бруннеманн, Дж; Тиманн, Т. (2006a). «О (космологическом) предотвращении сингулярности в петлевой квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 23 (5): 1395–1428. arXiv : gr-qc/0505032 . Бибкод : 2006CQGra..23.1395B. дои : 10.1088/0264-9381/23/5/001. S2CID  17901385.
• Бруннеманн, Дж; Тиманн, Т. (2006b). «Неограниченность триадных операторов в петлевой квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 23 (5): 1429–1484. arXiv : gr-qc/0505033 . Бибкод : 2006CQGra..23.1429B. дои : 10.1088/0264-9381/23/5/002. S2CID  15885452.
• Конради, Флориан; Доплишер, Луиза; Окл, Роберт; Ровелли, Карло; Теста, Массимо (2004). «Вакуум Минковского в фоновой независимой квантовой гравитации». Физический обзор D . 69 (6): 064019. arXiv : gr-qc/0307118 . Бибкод : 2004PhRvD..69f4019C. doi : 10.1103/PhysRevD.69.064019. S2CID  30190407.
• Конради, Флориан; Ровелли, Карло (2004). «Обобщенное уравнение Шрёдингера в евклидовой теории поля». Международный журнал современной физики А. 19 (24): 4037. arXiv : hep-th/0310246 . Бибкод : 2004IJMPA..19.4037C. дои : 10.1142/S0217751X04019445. S2CID  18048123.
• Диттрих, Б. (2006). «Частичные и полные наблюдаемые для канонической общей теории относительности». Классическая и квантовая гравитация . 23 (22): 6155–6184. arXiv : gr-qc/0507106 . Бибкод : 2006CQGra..23.6155D. дои : 10.1088/0264-9381/23/22/006. S2CID  6945571.
• Диттрих, Б. (2007). «Частичные и полные наблюдаемые для гамильтоновых систем с ограничениями». Общая теория относительности и гравитация . 39 (11): 1891–1927. arXiv : gr-qc/0411013 . Бибкод : 2007GReGr..39.1891D. дои : 10.1007/s10714-007-0495-2. S2CID  14617707.
• Диттрих, Б; Тиманн, Т. (2006a). «Тестирование основной программы ограничений на петлевую квантовую гравитацию: I. Общая основа». Классическая и квантовая гравитация . 23 (4): 1025–1066. arXiv : gr-qc/0411138 . Бибкод : 2006CQGra..23.1025D. дои : 10.1088/0264-9381/23/4/001. S2CID  16155563.
• Диттрих, Б; Тиманн, Т. (2006b). «Тестирование основной программы ограничений для петлевой квантовой гравитации: II. Конечномерные системы». Классическая и квантовая гравитация . 23 (4): 1067–1088. arXiv : gr-qc/0411139 . Бибкод : 2006CQGra..23.1067D. дои : 10.1088/0264-9381/23/4/002. S2CID  14395043.
• Диттрих, Б; Тиманн, Т. (2006c). «Тестирование основной программы ограничений для петлевой квантовой гравитации: III. Модели». Классическая и квантовая гравитация . 23 (4): 1089–1120. arXiv : gr-qc/0411140 . Бибкод : 2006CQGra..23.1089D. дои : 10.1088/0264-9381/23/4/003. S2CID  16944390.
• Диттрих, Б; Тиманн, Т. (2006d). «Тестирование основной программы ограничений для петлевой квантовой гравитации: IV. Теории свободного поля». Классическая и квантовая гравитация . 23 (4): 1121–1142. arXiv : gr-qc/0411141 . Бибкод : 2006CQGra..23.1121D. дои : 10.1088/0264-9381/23/4/004. S2CID  16510175.
• Диттрих, Б; Тиманн, Т. (2006e). «Тестирование основной программы ограничений для петлевой квантовой гравитации: V. Взаимодействующие теории поля». Классическая и квантовая гравитация . 23 (4): 1143–1162. arXiv : gr-qc/0411142 . Бибкод : 2006CQGra..23.1143D. дои : 10.1088/0264-9381/23/4/005. S2CID  17888279.
• Допличер, Луиза (2004). «Обобщенное уравнение Томонаги-Швингера из формулы Адамара». Физический обзор D . 70 (6): 064037. arXiv : gr-qc/0405006 . Бибкод : 2004PhRvD..70f4037D. doi :10.1103/PhysRevD.70.064037. S2CID  14402915.
• Дрейер, О.; Маркопулу, ф.; Смолин, Л. (2006). «Симметрия и энтропия горизонтов черных дыр». Ядерная физика Б . 774 (1–2): 1–13. arXiv : hep-th/0409056 . Бибкод : 2006NuPhB.744....1D. doi :10.1016/j.nuclphysb.2006.02.045. S2CID  14282122.
• Дастон, Кристофер Л. (13 августа 2013 г.). «Фундаментальная группа пространственного сечения, представленного сетью Topspin». arXiv : 1308.2934 . Бибкод : 2013arXiv1308.2934D. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
• Энгл, Дж.; Перейра, Р.; Ровелли, К. (2009). «Вершинная амплитуда петлевой квантовой гравитации». Письма о физических отзывах . 99 (16): 161301. arXiv : 0705.2388 . Бибкод : 2007PhRvL..99p1301E. doi : 10.1103/physrevlett.99.161301. PMID  17995233. S2CID  27052383.
• Фэйрберн, штат Вашингтон; Мейсбургер, К. (2011). «q-деформация лоренцевых моделей спиновой пены». arXiv : 1112.2511 [gr-qc].
• Фернандо, Дж.; Барберо, Г. (1995a). «Условия реальности и переменные Аштекара: другая точка зрения». Физический обзор D . 51 (10): 5498–5506. arXiv : gr-qc/9410013 . Бибкод : 1995PhRvD..51.5498B. doi : 10.1103/PhysRevD.51.5498. PMID  10018308. S2CID  16131908.
• Фернандо, Дж.; Барберо, Г. (1995b). «Реальные переменные Аштекара для лоренцева сигнатурного пространства-времени». Физический обзор D . 51 (10): 5507–5520. arXiv : gr-qc/9410014 . Бибкод : 1995PhRvD..51.5507B. doi : 10.1103/PhysRevD.51.5507. PMID  10018309. S2CID  16314220.
• Флейшхак, К. (2006). «Неприводимость алгебры Вейля в петлевой квантовой гравитации». Письма о физических отзывах . 97 (6): 061302. Бибкод : 2006PhRvL..97f1302F. doi : 10.1103/physrevlett.97.061302. ПМИД  17026156.
• Фрейдель, Л.; Краснов, К. (2008). «Новая модель спин-пены для 4D-гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 25 (12): 125018. arXiv : 0708.1595 . Бибкод : 2008CQGra..25l5018F. дои : 10.1088/0264-9381/25/12/125018. S2CID  119138842.
• Фрейдель, Лоран (4 апреля 2008 г.). «Реконструкция AdS/CFT». arXiv : 0804.0632 . Бибкод : 2008arXiv0804.0632F. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
• Фрейдель, Лоран; Специале, Симона (2010). «Твисторы для искривленной геометрии». Физический обзор D . 82 (8): 084041. arXiv : 1006.0199 . Бибкод : 2010PhRvD..82h4041F. doi : 10.1103/PhysRevD.82.084041. S2CID  119292655.
• Фродден, Эрнесто; Гош, Амит; Перес, Алехандро (2013). «Квазилокальный первый закон термодинамики черной дыры». Физический обзор D . 87 (12): 121503. arXiv : 1110.4055 . Бибкод : 2013PhRvD..87l1503F. doi : 10.1103/PhysRevD.87.121503. S2CID  56145555.
• Гамбини, Р.; Пуллин, Дж. (2011). Первый курс петлевой квантовой гравитации . Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-959075-9.
• Гамбини, Родольфо; Пуллин, Хорхе (2009). «Эмерджентная инвариантность диффеоморфизма в дискретной петлевой модели квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 26 (3): 035002. arXiv : 0807.2808 . Бибкод : 2009CQGra..26c5002G. дои : 10.1088/0264-9381/26/3/035002. S2CID  118500639.
• Гамбини, Родольфо; Пуллин, Хорхе (2020). Петлевая квантовая гравитация для всех . Всемирная научная. дои : 10.1142/11599. ISBN 978-981121195-9. S2CID  202934669.
• Гизель, К; Тиманн, Т. (2007a). «Алгебраическая квантовая гравитация (AQG): I. Концептуальная установка». Классическая и квантовая гравитация . 24 (10): 2465–2498. arXiv : gr-qc/0607099 . Бибкод : 2007CQGra..24.2465G. дои : 10.1088/0264-9381/24/10/003. S2CID  17907375.
• Гизель, К; Тиманн, Т. (2007b). «Алгебраическая квантовая гравитация (AQG): II. Квазиклассический анализ». Классическая и квантовая гравитация . 24 (10): 2499–2564. arXiv : gr-qc/0607100 . Бибкод : 2007CQGra..24.2499G. дои : 10.1088/0264-9381/24/10/004. S2CID  88507130.
• Гизель, К; Тиманн, Т. (2007c). «Алгебраическая квантовая гравитация (АКГ): III. Квазиклассическая теория возмущений». Классическая и квантовая гравитация . 24 (10): 2565–2588. arXiv : gr-qc/0607101 . Бибкод : 2007CQGra..24.2565G. дои : 10.1088/0264-9381/24/10/005. S2CID  17728576.
• Госвами; Джоши, Панкадж С.; Сингх, Парамприт; и другие. (2006). «Квантовое испарение голой сингулярности». Письма о физических отзывах . 96 (3): 31302. arXiv : gr-qc/0506129 . Бибкод : 2006PhRvL..96c1302G. doi : 10.1103/PhysRevLett.96.031302. PMID  16486681. S2CID  19851285.
• Хан, Муксин (2010). «Интеграл по траектории для главного ограничения петлевой квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 27 (21): 215009. arXiv : 0911.3432 . Бибкод : 2010CQGra..27u5009H. дои : 10.1088/0264-9381/27/21/215009. S2CID  118610209.
• Хан, Муксин; Тиманн, Т. (2010a). «О связи между операторным ограничением, главным ограничением, уменьшенным фазовым пространством и квантованием интеграла по пути». Классическая и квантовая гравитация . 27 (22): 225019. arXiv : 0911.3428 . Бибкод : 2010CQGra..27v5019H. дои : 10.1088/0264-9381/27/22/225019. S2CID  119262615.
• Хан, Муксин; Тиманн, Томас (2010b). «О связи между оснащением внутреннего продукта и основным ограничением разложения прямого интеграла». Журнал математической физики . 51 (9): 092501. arXiv : 0911.3431 . Бибкод : 2010JMP....51i2501H. дои : 10.1063/1.3486359. S2CID  115176353.
• Джаммер, М. (1989). Концептуальное развитие квантовой механики (2-е изд.). Издательство Томаш . Раздел 3.2. ISBN 978-0-88318-617-6.
• Кауфман, С.; Смолин Л. (7 апреля 1997 г.). «Возможное решение проблемы времени в квантовой космологии». Edge.org . Архивировано из оригинала 1 января 2019 года . Проверено 20 августа 2014 г.
• Крибс, Д.В.; Маркопулу, Ф. (11 октября 2005 г.). «Геометрия из квантовых частиц». arXiv : gr-qc/0510052 .
• Левандовски Дж.; Околув, А.; Салманн, Х.; Тиманн, Т. (2006). «Уникальность инвариантных к диффеоморфизму состояний на алгебрах потока голономии». Связь в математической физике . 267 (3): 703–733. arXiv : gr-qc/0504147 . Бибкод : 2006CMaPh.267..703L. дои : 10.1007/s00220-006-0100-7. S2CID  14866220.
• Ливин, Э.; Специале, С. (2008). «Последовательное решение ограничений простоты для квантовой гравитации Spinfoam». ЭПЛ . 81 (5): 50004. arXiv : 0708.1915 . Бибкод : 2008EL.....8150004L. дои : 10.1209/0295-5075/81/50004. S2CID  119718476.
• Маджумдар, Партхасарати (1998). «Энтропия черной дыры и квантовая гравитация». Индиан Дж. Физ . 73 (2): 147. arXiv : gr-qc/9807045 . Бибкод : 1999InJPB..73..147M.
• Модесто, Леонардо; Ровелли, Карло (2005). «Рассеяние частиц в петлевой квантовой гравитации». Письма о физических отзывах . 95 (19): 191301. arXiv : gr-qc/0502036 . Бибкод : 2005PhRvL..95s1301M. doi : 10.1103/PhysRevLett.95.191301. PMID  16383970. S2CID  46705469.
• Муксин, Х. (2011). «Космологическая константа в амплитуде вершины петлевой квантовой гравитации». Физический обзор D . 84 (6): 064010. arXiv : 1105.2212 . Бибкод : 2011PhRvD..84f4010H. doi : 10.1103/PhysRevD.84.064010. S2CID  119144559.
• Николай, Герман; Петерс, Каспер; Замаклар, Мария (2005). «Петлевая квантовая гравитация: взгляд со стороны». Классическая и квантовая гравитация . 22 (19): Р193–Р247. arXiv : hep-th/0501114 . Бибкод : 2005CQGra..22R.193N. дои : 10.1088/0264-9381/22/19/R01. S2CID  14106366.
• Окл, Роберт (2003a). «Формулировка «общей границы» для квантовой механики и квантовой гравитации». Буквы по физике Б. 575 (3–4): 318–324. arXiv : hep-th/0306025 . Бибкод : 2003PhLB..575..318O. doi :10.1016/j.physletb.2003.08.043. S2CID  119485193.
• Окл, Роберт (2003b). «Кот Шрёдингера и часы: уроки квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 20 (24): 5371–5380. arXiv : gr-qc/0306007 . Бибкод : 2003CQGra..20.5371O. дои : 10.1088/0264-9381/20/24/009. S2CID  118978523.
• «Рената Лолль». Периметр Института теоретической физики . Проверено 4 ноября 2016 г.
• Ровелли, К. (2004). Квантовая гравитация . Кембриджские монографии по математической физике. стр. 13 и далее. ISBN 978-0-521-83733-0.
• Ровелли, К. (2011). «Закопанеские лекции по петлевой гравитации». arXiv : 1102.3660 [gr-qc].
• Ровелли, К. ; Алески, Э. (2007). «Полный пропагатор LQG I. Трудности с вершиной Барретта – Крейна». Физический обзор D . 76 (2): 104012. arXiv : 0708.0883 . Бибкод : 2007PhRvD..76j4012A. doi :10.1103/PhysRevD.76.104012. S2CID  18845501.
• Ровелли, К. ; Смолин Л. (1988). «Теория узлов и квантовая гравитация». Письма о физических отзывах . 61 (10): 1155–1158. Бибкод : 1988PhRvL..61.1155R. doi : 10.1103/PhysRevLett.61.1155. ПМИД  10038716.
• Ровелли, Карло (1996). «Энтропия черной дыры из петлевой квантовой гравитации». Письма о физических отзывах . 77 (16): 3288–3291. arXiv : gr-qc/9603063 . Бибкод : 1996PhRvL..77.3288R. doi :10.1103/PhysRevLett.77.3288. PMID  10062183. S2CID  43493308.
• Ровелли, Карло (2003). «Диалог о квантовой гравитации». Международный журнал современной физики Д. 12 (9): 1509–1528. arXiv : hep-th/0310077 . Бибкод : 2003IJMPD..12.1509R. дои : 10.1142/S0218271803004304. S2CID  119406493.
• Ровелли, Карло (август 2008 г.). «Петлевая квантовая гравитация» (PDF) . Живые обзоры в теории относительности . 11 (1): 5. Бибкод : 2008LRR....11....5R. дои : 10.12942/lrr-2008-5. ПМК  5256093 . ПМИД  28179822 . Проверено 14 сентября 2014 г.
• Ровелли, Карло; Видотто, Франческа (2014). «Планковские звезды». Международный журнал современной физики Д. 23 (12): 1442026. arXiv : 1401.6562 . Бибкод : 2014IJMPD..2342026R. дои : 10.1142/S0218271814420267. S2CID  118917980.
• Смолин, Л. (2006). «Дело в пользу фоновой независимости». В Риклсе, Д.; Френч, С.; Саатси, Дж.Т. (ред.). Структурные основы квантовой гравитации . Кларендон Пресс . стр. 196 и далее . arXiv : hep-th/0507235 . Бибкод : 2005hep.th....7235S. ISBN 978-0-19-926969-3.
• Смолин, Ли (20 января 2010 г.). «Ньютоновская гравитация в петлевой квантовой гравитации». arXiv : 1001.3668 . Бибкод : 2010arXiv1001.3668S. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
• Специале, Симона; Виланд, Вольфганг (2012). «Твисториальная структура амплитуд перехода петлевой гравитации». Физический обзор D . 86 (12): 124023. arXiv : 1207.6348 . Бибкод : 2012PhRvD..86l4023S. doi : 10.1103/PhysRevD.86.124023. S2CID  59406729.
• Тиманн, Томас (1996). «Безаномальная формулировка непертурбативной четырехмерной лоренцевой квантовой гравитации». Буквы по физике Б. 380 (3–4): 257–264. arXiv : gr-qc/9606088 . Бибкод : 1996PhLB..380..257T. дои : 10.1016/0370-2693(96)00532-1. S2CID  8691449.
• Тиманн, Томас (2003). «Лекции по петлевой квантовой гравитации». Квантовая гравитация . Конспект лекций по физике . Том. 631. стр. 41–135. arXiv : gr-qc/0210094 . Бибкод : 2003ЛНП...631...41Т. дои : 10.1007/978-3-540-45230-0_3. ISBN 978-3-540-40810-9. S2CID  119151491.
• Тиманн, Томас (2006a). «Проект Феникс: главная программа ограничений для петлевой квантовой гравитации». Классическая и квантовая гравитация . 23 (7): 2211–2247. arXiv : gr-qc/0305080 . Бибкод : 2006CQGra..23.2211T. дои : 10.1088/0264-9381/23/7/002. S2CID  16304158.
• Тиманн, Томас (2006b). «Квантовая спиновая динамика: VIII. Главное ограничение». Классическая и квантовая гравитация . 23 (7): 2249–2265. arXiv : gr-qc/0510011 . Бибкод : 2006CQGra..23.2249T. дои : 10.1088/0264-9381/23/7/003. S2CID  29095312.
• Тиманн, Томас (2008). Современная каноническая общая теория относительности . Кембриджские монографии по математической физике. Издательство Кембриджского университета . Раздел 10.6. ISBN 978-0-521-74187-3.
• Типлер, П.; Ллевеллин, Р. (2008). Современная физика (5-е изд.). WH Фриман и Ко . стр. 160–161. ISBN 978-0-7167-7550-8.

дальнейшее чтение

• Популярные книги:
  • Родольфо Гамбини и Хорхе Пуллин , Петлевая квантовая гравитация для всех, World Scientific , 2020.
  • Карло Ровелли , «Реальность не то, чем кажется», «Пингвин», 2016.
  • Мартин Бойовальд , «Однажды до начала времён: Целая история Вселенной», 2010.
  • Карло Ровелли , Что такое время? Что такое пространство? , Ди Ренцо Эдиторе, Рим, 2006 г.
  • Ли Смолин , Три дороги к квантовой гравитации , 2001.
• Статьи в журналах:
  • Ли Смолин , «Атомы пространства и времени», Scientific American , январь 2004 г.
  • Мартин Бойовальд , «Следуя за прыгающей Вселенной», журнал Scientific American , октябрь 2008 г.
• Более простые вводные, разъяснительные или критические работы:
  • Абхай Аштекар , Гравитация и квант , электронная версия доступна по адресу gr-qc/0410054 (2004).
  • Джон К. Баез и Хавьер П. Муньяин, Калибровочные поля, узлы и квантовая гравитация , World Scientific (1994).
  • Карло Ровелли , Диалог о квантовой гравитации , электронная версия доступна по адресу hep-th/0310077 (2003).
  • Карло Ровелли и Франческа Видотто , Ковариантная петля квантовой гравитации , Кембридж (2014); проект доступен в Интернете.
• Более продвинутые вводные/разъяснительные работы:
  • Карло Ровелли , Квантовая гравитация , Издательство Кембриджского университета (2004); проект доступен в Интернете.
  • Абхай Аштекар , Новые перспективы канонической гравитации , Библиополис (1988).
  • Абхай Аштекар , Лекции по непертурбативной канонической гравитации , World Scientific (1991).
  • Родольфо Гамбини и Хорхе Пуллин , Петли, узлы, калибровочные теории и квантовая гравитация , Издательство Кембриджского университета (1996).
  • Т. Тиманн LQG - Струна: петлевое квантовое гравитационное квантование теории струн (2004).
  • Селада, Мариано; Гонсалес, Диего; Монтесинос, Мерсед (2016). «БФ гравитация». Классическая и квантовая гравитация . 33 (21): 213001. arXiv : 1610.02020 . Бибкод : 2016CQGra..33u3001C. дои : 10.1088/0264-9381/33/21/213001. S2CID  119605468.
• Тематические обзоры
  • Ровелли, Карло (2011). «Закопанеские лекции по петлевой гравитации». arXiv : 1102.3660 [gr-qc].
  • Ровелли, Карло (1998). «Петлевая квантовая гравитация». Живые обзоры в теории относительности . 1 (1): 1. arXiv : gr-qc/9710008 . Бибкод : 1998LRR.....1....1R. дои : 10.12942/lrr-1998-1. ПМЦ  5567241 . ПМИД  28937180.
  • Тиманн, Томас (2003). «Лекции по петлевой квантовой гравитации». Квантовая гравитация . Конспект лекций по физике . Том. 631. стр. 41–135. arXiv : gr-qc/0210094 . Бибкод : 2003ЛНП...631...41Т. дои : 10.1007/978-3-540-45230-0_3. ISBN 978-3-540-40810-9. S2CID  119151491.
  • Аштекар, Абхай ; Левандовски, Ежи (2004). «Фоновая независимая квантовая гравитация: отчет о состоянии». Классическая и квантовая гравитация . 21 (15): С53–Р152. arXiv : gr-qc/0404018 . Бибкод : 2004CQGra..21R..53A. дои : 10.1088/0264-9381/21/15/R01. S2CID  119175535.
  • Карло Ровелли и Маркус Галл, Петлевая квантовая гравитация и значение инвариантности диффеоморфизма , электронная печать доступна по адресу gr-qc/9910079.
  • Ли Смолин , Аргументы в пользу независимости от фона , электронная версия доступна по адресу hep-th/0507235.
  • Алехандро Коричи , Петлевая квантовая геометрия: учебник для начинающих , электронная распечатка доступна как «Петлевая квантовая геометрия: учебник для начинающих».
  • Алехандро Перес, «Введение в петлевую квантовую гравитацию и спиновые пены» , электронная распечатка доступна как «Введение в петлевую квантовую гравитацию и спиновые пены».
• Фундаментальные научные статьи:
  • Роджер Пенроуз , Угловой момент: подход к комбинаторному пространству-времени в квантовой теории и за ее пределами , изд. Тед Бастин, издательство Кембриджского университета, 1971.
  • Ровелли, Карло ; Смолин, Ли (1988). «Теория узлов и квантовая гравитация». Письма о физических отзывах . 61 (10): 1155–1158. Бибкод : 1988PhRvL..61.1155R. doi : 10.1103/PhysRevLett.61.1155. ПМИД  10038716.
  • Ровелли, Карло ; Смолин, Ли (1990). «Петлевое представление квантовой общей теории относительности». Ядерная физика . Б331 (1): 80–152. Бибкод : 1990NuPhB.331...80R. дои : 10.1016/0550-3213(90)90019-а.
  • Карло Ровелли и Ли Смолин , Дискретность площади и объема в квантовой гравитации , Nucl. Phys., B442 (1995) 593–622, электронная версия доступна как arXiv :gr-qc/9411005.
  • Тиманн, Томас (2007). «Петлевая квантовая гравитация: взгляд изнутри». Подходы к фундаментальной физике . Конспект лекций по физике. Том. 721. стр. 185–263. arXiv : hep-th/0608210 . Бибкод : 2007LNP...721..185T. дои : 10.1007/978-3-540-71117-9_10. ISBN 978-3-540-71115-5. S2CID  119572847.

Внешние ссылки

• Введение в онлайн-лекции Карло Ровелли по петлевой квантовой гравитации
• Ковариантная петля «Квантовая гравитация», Карло Ровелли и Франческа Видотто
• «Петлевая квантовая гравитация» Карло Ровелли. Мир физики, ноябрь 2003 г.
• Квантовая пена и петлевая квантовая гравитация
• Абхай Аштекар: Полупопулярные статьи. Несколько отличных популярных статей о пространстве, времени, ОТО и LQG, подходящих для новичков.
• Петлевая квантовая гравитация: Ли Смолин
• Онлайн-лекции Ли Смолина по петлевой квантовой гравитации
• Спиновые сети, спиновые пены и петлевая квантовая гравитация
• Журнал Wired, Новости: Выход за рамки теории струн
• В специальном выпуске Scientific American за апрель 2006 г. «Вопрос времени» опубликована статья Ли Смолина LQG «Атомы пространства и времени».
• Сентябрь 2006 г., The Economist, статья «Зацикливание цикла».
• Гамма-космический космический телескоп большой площади: Космический гамма-телескоп Ферми. Архивировано 18 июня 2008 года на Wayback Machine.
• Зенон встречается с современной наукой. Статья из Acta Physica Polonica B З.К. Силагадзе.
• Оставила ли Вселенная до Большого взрыва свой след на небе? – Согласно модели, основанной на теории «петлевой квантовой гравитации», родительская вселенная, существовавшая до нашей, могла оставить отпечаток ( New Scientist , 10 апреля 2008 г.)
• О'Дауд, Мэтт (15 октября 2019 г.). «Объяснение петлевой квантовой гравитации». PBS Space Time – через YouTube .