Общая линейная группа

В математике общая линейная группа степени n представляет собой набор обратимых матриц размера n × n вместе с операцией обычного умножения матриц . Это образует группу , поскольку произведение двух обратимых матриц снова обратимо, а обратная матрица обратима, причем единичная матрица является единичным элементом группы. Группа названа так потому, что столбцы (а также строки) обратимой матрицы линейно независимы , следовательно, векторы/точки, которые они определяют, находятся в общем линейном положении , а матрицы в общей линейной группе переводят точки в общем линейном положении в точки. в общем линейном положении.

Точнее, необходимо указать, какие объекты могут фигурировать в записях матрицы. Например, общая линейная группа над R (множество действительных чисел ) представляет собой группу обратимых матриц действительных чисел размера n × n и обозначается GL _n ( R ) или GL ( n , R ) .

В более общем смысле, общая линейная группа степени n над любым полем F (например, комплексными числами ) или кольцом R (например, кольцом целых чисел ) представляет собой набор обратимых матриц размера n × n с элементами из F (или R ), опять же с умножением матрицы в качестве групповой операции. ^[1] Типичным обозначением является GL _n ( F ) или GL( n , F ) или просто GL( n ), если поле понятно.

В более общем смысле общая линейная группа векторного пространства GL( V ) является группой автоморфизмов , не обязательно записанной в виде матриц.

Специальная линейная группа , обозначаемая SL( n , F ) или SL _n ( F ), является подгруппой GL ( n , F ) , состоящей из матриц с определителем 1.

Группу GL( n , F ) и ее подгруппы часто называют линейными группами или матричными группами (группа автоморфизмов GL( V ) является линейной группой, но не матричной группой). Эти группы важны в теории представлений групп , а также возникают при изучении пространственных симметрий и симметрий векторных пространств вообще, а также при изучении полиномов . Модульная группа может быть реализована как фактор специальной линейной группы SL(2, Z ) .

Если n ≥ 2 , то группа GL( n , F ) не абелева .

Общая линейная группа векторного пространства

Если V — векторное пространство над полем F , общая линейная группа V , записанная GL( V ) или Aut( V), является группой всех автоморфизмов V , т.е. набором всех биективных линейных преобразований V → V , вместе с функциональной композицией как групповой операцией. Если V имеет конечную размерность n , то GL( V ) и GL( n , F ) изоморфны . Изоморфизм не каноничен; это зависит от выбора базиса в V . Учитывая базис ( e ₁ , ..., _en ) V и автоморфизм T в GL( V ), мы имеем тогда для каждого базисного вектора ei , _что

T(e_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}e_{j}

для некоторых констант aij в F _; матрица, соответствующая T , тогда является просто матрицей с элементами, заданными a _ji .

Аналогично для коммутативного кольца R группу GL( n , R ) можно интерпретировать как группу автоморфизмов свободного R - модуля M ранга n . Можно также определить GL( M ) для любого R -модуля, но, вообще говоря, это не изоморфно GL( n , R ) (для любого n ).

С точки зрения определителей

Над полем F матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Следовательно, альтернативное определение GL( n , F ) — это группа матриц с ненулевым определителем.

Над коммутативным кольцом R требуется больше внимания: матрица над R обратима тогда и только тогда, когда ее определитель является единицей в R , то есть если ее определитель обратим в R. Следовательно, GL( n , R ) можно определить как группу матриц, определители которых являются единицами.

Над некоммутативным кольцом R детерминанты ведут себя совсем нехорошо. В этом случае GL( n , R ) может быть определена как единичная группа кольца матриц M( n , R ) .

Как группа Лжи

Реальный случай

Общая линейная группа GL( ⁿ, R ) над полем действительных чисел является вещественной группой Ли размерности n2 . Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что набор всех вещественных матриц размера n × n , M _n ( R ), образует вещественное векторное пространство размерности n ² . Подмножество GL( n , R ) состоит из тех матриц, определитель которых не равен нулю. Определитель является полиномиальным отображением, и, следовательно, GL( n , R ) является открытым аффинным подмногообразием M _n ( R ) ( непустое открытое подмножество M _n ( R ) в топологии Зарисского ), и поэтому ^[2] гладкое многообразие той же размерности.

Обозначенная алгебра Ли группы GL( n , R ) состоит из всех действительных матриц размера n × n с коммутатором, служащим скобкой Ли. ${\mathfrak {gl}}_{n},$

Как многообразие GL( n , R ) не связно , а имеет два компонента связности : матрицы с положительным определителем и матрицы с отрицательным определителем. Единичный компонент , обозначаемый GL ⁺ ( n , R ) , состоит из действительных матриц размера n × n с положительным определителем. Это также группа Ли размерности n ² ; он имеет ту же алгебру Ли, что и GL( n , R ) .

Полярное разложение , уникальное для обратимых матриц, показывает, что существует гомеоморфизм между GL( n , R ) и декартовым произведением O( n ) с набором положительно определенных симметричных матриц. Точно так же это показывает, что существует гомеоморфизм между GL ⁺ ( n , R ) и декартовым произведением SO( n ) с набором положительно определенных симметричных матриц. Поскольку последняя стягиваема, фундаментальная группа GL ⁺ ( n , R ) изоморфна группе SO( n ).

Гомеоморфизм также показывает, что группа GL ( n , R ) некомпактна . « ^[3]максимальная компактная подгруппа группы GL( n , R ) — это ортогональная группа O( n ), а «максимальная компактная подгруппа группы GL ⁺ ( n , R ) — это специальная ортогональная группа SO( n ). Что касается SO( n ), группа GL ⁺ ( n , R ) не является односвязной (кроме случаев, когда n = 1) , а скорее имеет фундаментальную группу , изоморфную Z для n = 2 или Z ₂ для n > 2 .

Сложный случай

Общая линейная группа над полем комплексных чисел , GL( n , C ) , является комплексной группой Ли комплексной размерности n2 ^. Как реальная группа Ли (через реализацию), она имеет размерность 2 n ² . Множество всех вещественных матриц образует вещественную подгруппу Ли. Они соответствуют включениям

GL( n , R ) < GL( n , C ) < GL( 2n , R ),

которые имеют действительные размерности n ² , 2 n ² и 4 n ² = (2 n ) ² . Комплексные n -мерные матрицы можно охарактеризовать как вещественные 2 n -мерные матрицы, которые сохраняют линейную комплексную структуру , а именно, которые коммутируют с матрицей J такой, что J ² = − I , где J соответствует умножению на мнимую единицу i .

Алгебра Ли , соответствующая GL( n , C ), состоит из всех комплексных матриц размера n × n , коммутатор которых служит скобкой Ли.

В отличие от реального случая, GL( n , C ) связен . Частично это следует из того, что мультипликативная группа комплексных чисел C ^∗ связна. Групповое многообразие GL( n , C ) не компактно; скорее, ее максимальная компактная подгруппа является унитарной группой U( n ). Что касается U( n ), групповое многообразие GL( n , C ) не односвязно , а имеет фундаментальную группу , изоморфную Z.

Над конечными полями

Если F — конечное поле с q элементами, то мы иногда пишем GL( n , q ) вместо GL( n , F ) . Когда p простое число, GL( n , p ) является внешней группой автоморфизмов группы Z _pⁿ , а также группой автоморфизмов , поскольку Z _pⁿ абелева, поэтому внутренняя группа автоморфизмов тривиальна.

Порядок GL( n , q ) :

\prod _{k=0}^{n-1}(q^{n}-q^{k})=(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\ \cdots \ (q^{n}-q^{n-1}).

Это можно показать, подсчитав возможные столбцы матрицы: первый столбец может быть любым, кроме нулевого вектора; второй столбец может быть любым, но не кратным первому столбцу; и вообще, k -й столбец может быть любым вектором, не входящим в линейную оболочку первых k - 1 столбцов. В q -аналоговой записи это . $[n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}$

Например, GL(3, 2) имеет порядок (8 - 1)(8 - 2)(8 - 4) = 168 . Это группа автоморфизмов плоскости Фано и группы Z ₂³ , также известная как PSL(2, 7) .

В более общем смысле, можно подсчитать точки грассманиана над F : другими словами, количество подпространств заданной размерности k . Для этого требуется только найти порядок подгруппы стабилизатора одного такого подпространства и разделить ее на только что приведенную формулу по теореме о стабилизаторе орбиты .

Эти формулы связаны с разложением Шуберта грассманиана и являются q -аналогами чисел Бетти комплексных грассманианов. Это было одним из ключей к разгадке гипотез Вейля .

Обратите внимание, что в пределе q ↦ 1 порядок GL( n , q ) обращается в 0! – но при правильной процедуре (деление на ( q − 1) ⁿ ) мы видим, что это порядок симметрической группы (см. статью Лоршайда) – в философии поля с одним элементом симметричную группу интерпретируют таким образом как общая линейная группа над полем с одним элементом: S _n ≅ GL( n , 1) .

История

Общая линейная группа над простым полем GL( ν , p ) была построена и ее порядок вычислен Эваристом Галуа в 1832 году в его последнем письме (Шевалье) и во второй (из трех) прилагаемых рукописях, которые он использовал в в контексте изучения группы Галуа общего уравнения порядка p ^ν . ^[4]

Специальная линейная группа

Специальная линейная группа SL( n , F ) — это группа всех матриц с определителем 1. Они особенные тем, что лежат на подмногообразии — они удовлетворяют полиномиальному уравнению (поскольку определитель является полиномом в записях). Матрицы этого типа образуют группу, поскольку определитель произведения двух матриц является произведением определителей каждой матрицы. SL( n , F ) — нормальная подгруппа GL ( n , F ) .

Если мы напишем F ^× для мультипликативной группы F (исключая 0), то определитель будет гомоморфизмом группы

det: GL( n , F ) → F ^× .

которая сюръективна, и ее ядром является специальная линейная группа. Следовательно, по первой теореме об изоморфизме GL( ⁿ, F ) / SL( n , F ) изоморфен F × . Фактически, GL( n , F ) можно записать как полупрямое произведение :

GL( п , F ) = SL( п , F ) ⋊ F ^×

Специальная линейная группа также является производной группой (также известной как коммутантная подгруппа) GL( n , F ) (для поля или тела F ) при условии, что или k не является полем с двумя элементами . ^[5] $n\neq 2$

Когда F равно R или C , SL( n , F ) является подгруппой Ли в GL( n , F ) размерности n ² − 1 . Алгебра Ли группы SL ( n , F ) состоит из всех матриц размера n × n над F с исчезающим следом . Скобка Ли задается коммутатором .

Специальную линейную группу SL( n , R ) можно охарактеризовать как группу линейных преобразований Rn ^,сохраняющих объем и ориентацию .

Группа SL( n , C ) односвязна, а SL( n , R ) — нет. SL( n , R ) имеет ту же фундаментальную группу, что и GL ⁺ ( n , R ) , то есть Z для n = 2 и Z ₂ для n > 2 .

Другие подгруппы

Диагональные подгруппы

Множество всех обратимых диагональных матриц образует подгруппу GL( n , F ) , изоморфную ( F ^× ) ⁿ . В таких полях, как R и C , они соответствуют изменению масштаба пространства; так называемые расширения и сокращения.

Скалярная матрица — это диагональная матрица, равная константе, умноженной на единичную матрицу . Набор всех ненулевых скалярных матриц образует подгруппу GL( n , F ) , изоморфную F ^× . Эта группа является центром GL ( n , F ) . В частности, это нормальная абелева подгруппа.

Центр SL( n , F ) представляет собой просто набор всех скалярных матриц с единичным определителем и изоморфен группе корней n -й степени из единицы в поле F .

Классические группы

Так называемые классические группы — это подгруппы GL( V ), которые сохраняют некоторую билинейную форму в векторном пространстве V. К ним относятся

ортогональная группа O( V ), сохраняющая невырожденную квадратичную форму на V ,
симплектическая группа Sp( V ), сохраняющаяна V симплектическую форму (невырожденную знакопеременную форму ),
унитарная группа U( V ), которая при F = C сохраняет невырожденную эрмитову форму на V .

Эти группы представляют собой важные примеры групп Ли.

Родственные группы и моноиды

Проективная линейная группа

Проективная линейная группа PGL( n , F ) и проективная специальная линейная группа PSL( n , F ) являются факторами GL ( n , F ) и SL( n , F ) по их центрам (которые состоят из кратных идентификационная матрица в нем); они являются индуцированным действием на соответствующее проективное пространство .

Аффинная группа

Аффинная группа Aff( n , F ) является расширением GL ( n , F ) с помощью группы сдвигов ^в Fn . Его можно записать как полупрямое произведение :

Афф( п , F ) = GL( п , F ) ⋉ F ^п

где GL( n , F ) действует на F ⁿ естественным образом. Аффинную группу можно рассматривать как группу всех аффинных преобразований аффинного пространства ^, лежащего в основе векторного пространства Fn .

Аналогичные конструкции имеются и для других подгрупп общей линейной группы: например, специальная аффинная группа — это подгруппа, определяемая полупрямым произведением SL( n , F ) ⋉ Fn , а группа Пуанкаре — это аффинная группа, ассоциированная ^с Группа Лоренца , O(1, 3, F ) ⋉ F ⁿ .

Общая полулинейная группа

Общая полулинейная группа ΓL( n , F ) — это группа всех обратимых полулинейных преобразований и содержит GL. Полулинейное преобразование — это преобразование, которое является линейным «с точностью до поворота», что означает «с точностью до автоморфизма поля при скалярном умножении». Его можно записать как полупрямое произведение:

ΓL( п , F ) = Гал( F ) ⋉ GL( п , F )

где Gal( F ) — группа Галуа группы F ( над ее простым полем ), которая действует на GL( n , F ) действием Галуа на элементы.

Основной интерес ΓL( n , F ) заключается в том, что ассоциированная проективная полулинейная группа PΓL( n , F ) (которая содержит PGL( n , F )) является группой коллинеации проективного пространства для n > 2 и, следовательно, полулинейными отображениями. представляют интерес для проективной геометрии .

Полный линейный моноид

Если снять ограничение на то, что определитель не равен нулю, результирующая алгебраическая структура представляет собой моноид , обычно называемый полным линейным моноидом , ^[6]^[7]^[8] , но иногда также полную линейную полугруппу , ^[9] общий линейный моноид ^[10]^[11] и т. д. На самом деле это регулярная полугруппа . ^[7]

Бесконечная общая линейная группа

Бесконечная общая линейная группа или стабильная общая линейная группа является прямым пределом включений GL( n , F ) → GL( n + 1, F ) в качестве верхней левой блочной матрицы . Она обозначается либо GL( F ), либо GL(∞, F ) и также может интерпретироваться как обратимые бесконечные матрицы, которые отличаются от единичной матрицы только в конечном числе мест. ^[12]

Он используется в алгебраической K-теории для определения K 1 и имеет хорошо понятную топологию над действительными числами благодаря периодичности Ботта .

Его не следует путать с пространством (ограниченных) обратимых операторов в гильбертовом пространстве , которое является более крупной группой и топологически намного проще, а именно сжимаемой – см. теорему Койпера .

Смотрите также

Примечания

^ Здесь кольца считаются ассоциативными и едиными .
^ Поскольку топология Зарисского грубее метрической топологии; эквивалентно, полиномиальные карты непрерывны .
^ Максимальная компактная подгруппа не единственна, но существенно уникальна , поэтому часто называют «максимальной компактной подгруппой».
^ Галуа, Эварист (1846). «Письмо Галуа к Огюсту Шевалье». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . XI : 408–415 . Проверено 4 февраля 2009 г. , GL( ν , p ), обсуждалось на стр. 410.{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)
^ Супруненко, Д.А. (1976), Группы матриц , Переводы математических монографий, Американское математическое общество, Теорема II.9.4
^ Ян Окниньский (1998). Полугруппы матриц . Всемирная научная. Глава 2: Полный линейный моноид. ISBN 978-981-02-3445-4.
^ Аб Микин (2007). «Группы и полугруппы: связи и контраст». В CM Кэмпбелл (ред.). Группы Сент-Эндрюс 2005 . Издательство Кембриджского университета. п. 471. ИСБН 978-0-521-69470-4.
^ Джон Роудс; Бенджамин Стейнберг (2009). q-теория конечных полугрупп . Springer Science & Business Media. п. 306. ИСБН 978-0-387-09781-7.
^ Эрик Джесперс; Ян Окниски (2007). Нётеровы полугрупповые алгебры . Springer Science & Business Media. 2.3: Полная линейная полугруппа. ISBN 978-1-4020-5810-3.
^ Мейнольф Гек (2013). Введение в алгебраическую геометрию и алгебраические группы . Издательство Оксфордского университета. п. 132. ИСБН 978-0-19-967616-3.
^ Махир Билен Джан; Чжэньхэн Ли; Бенджамин Стейнберг; Цян Ван (2014). Алгебраические моноиды, групповые вложения и алгебраическая комбинаторика . Спрингер. п. 142. ИСБН 978-1-4939-0938-4.
^ Милнор, Джон Уиллард (1971). Введение в алгебраическую К-теорию . Анналы математических исследований. Том. 72. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . п. 25. МР 0349811. Збл 0237.18005.

Внешние ссылки

«Общая линейная группа», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
«GL(2, p) и GL(3,3) Действуя по точкам», Эд Пегг-младший , Демонстрационный проект Wolfram , 2007.