В математике интегрируемость — это свойство некоторых динамических систем . Хотя существует несколько различных формальных определений, неформально говоря, интегрируемая система — это динамическая система с достаточным количеством сохраняющихся величин или первых интегралов , так что ее движение ограничивается подмногообразием гораздо меньшей размерности, чем размерность ее фазового пространства .
Три особенности часто называют характеризующими интегрируемые системы: [1]
Интегрируемые системы можно рассматривать как совершенно отличные по качественному характеру от более общих динамических систем, которые чаще всего являются хаотическими системами . Последние, вообще говоря, не имеют сохраняющихся величин и асимптотически трудноразрешимы, поскольку сколь угодно малое возмущение начальных условий может привести к сколь угодно большим отклонениям их траекторий за достаточно большое время.
Многие системы, изучаемые в физике, полностью интегрируемы, в частности, в гамильтоновом смысле, ключевым примером являются многомерные гармонические осцилляторы. Другой стандартный пример — движение планет вокруг одного фиксированного центра (например, Солнца) или двух. Другие элементарные примеры включают движение твердого тела вокруг его центра масс ( волчок Эйлера ) и движение осесимметричного твердого тела вокруг точки на его оси симметрии (волчок Лагранжа ).
В конце 1960-х годов стало понятно, что в физике существуют полностью интегрируемые системы, имеющие бесконечное число степеней свободы, такие как некоторые модели волн на мелкой воде ( уравнение Кортевега-де Фриза ), эффект Керра в оптических волокнах, описываемый уравнением нелинейное уравнение Шрёдингера и некоторые интегрируемые системы многих тел, такие как решётка Тоды . Современная теория интегрируемых систем была возрождена с численным открытием солитонов Мартином Крускалом и Норманом Забуски в 1965 году, что привело к созданию метода обратного преобразования рассеяния в 1967 году.
В частном случае гамильтоновых систем, если имеется достаточно независимых коммутирующих по Пуассону первых интегралов, чтобы параметры потока могли служить системой координат на инвариантных множествах уровня (листья лагранжева слоения ) , и если потоки полны и множество уровней энергии компактно, отсюда следует теорема Лиувилля-Арнольда ; т.е. существование переменных действие-угол . Общие динамические системы не имеют таких сохраняющихся величин; в случае автономных гамильтоновых систем энергия, как правило, единственная, и на множествах уровней энергии течения обычно хаотичны.
Ключевым моментом в характеристике интегрируемых систем является теорема Фробениуса , которая утверждает, что система является интегрируемой по Фробениусу (т. е. порождается интегрируемым распределением), если локально она имеет слоение на максимальные целочисленные многообразия. Но интегрируемость в смысле динамических систем является глобальным свойством, а не локальным, поскольку она требует, чтобы слоение было регулярным, с вложенными в листья подмногообразиями.
Интегрируемость не обязательно означает, что общие решения могут быть явно выражены через некоторый известный набор специальных функций ; это внутреннее свойство геометрии и топологии системы, а также природы динамики.
В контексте дифференцируемых динамических систем понятие интегрируемости относится к существованию инвариантных регулярных слоений ; т. е. те, чьи листья представляют собой вложенные подмногообразия наименьшей возможной размерности, инвариантные относительно потока . Таким образом, существует различное представление о степени интегрируемости, зависящее от размерности слоев инвариантного слоения. Эта концепция имеет уточнение в случае гамильтоновых систем , известное как полная интегрируемость в смысле Лиувилля (см. ниже), о чем чаще всего говорят в этом контексте.
Расширение понятия интегрируемости также применимо к дискретным системам, таким как решетки. Это определение может быть адаптировано для описания эволюционных уравнений, которые либо являются системами дифференциальных уравнений , либо конечно-разностными уравнениями .
Различие между интегрируемыми и неинтегрируемыми динамическими системами имеет качественное следствие регулярного движения и хаотического движения и, следовательно, является внутренним свойством, а не просто вопросом того, может ли система быть явно интегрирована в точной форме.
В специальном случае гамильтоновых систем у нас есть понятие интегрируемости в смысле Лиувилля . (См. теорему Лиувилля – Арнольда .) Интегрируемость Лиувилля означает, что существует регулярное слоение фазового пространства на инвариантные многообразия, такое что гамильтоновы векторные поля, связанные с инвариантами слоения, охватывают касательное распределение. Другой способ сформулировать это состоит в том, что существует максимальный набор функционально независимых пуассоновских коммутирующих инвариантов (т. е. независимых функций в фазовом пространстве, чьи скобки Пуассона с гамильтонианом системы и друг с другом равны нулю).
В конечных размерностях, если фазовое пространство является симплектическим (т. е. центр алгебры Пуассона состоит только из констант), оно должно иметь четную размерность и максимальное число независимых пуассоновских коммутирующих инвариантов (включая сам гамильтониан) равно . Листы слоения вполне изотропны относительно симплектической формы, и такое максимальное изотропное слоение называется лагранжианом . Все автономные гамильтоновы системы (т.е. те, для которых гамильтониан и скобки Пуассона не зависят явно от времени) имеют по крайней мере один инвариант; а именно, сам гамильтониан, значением которого вдоль потока является энергия. Если множества уровней энергии компактны, листья лагранжева слоения являются торами, а естественные линейные координаты на них называются «угловыми» переменными. Циклы канонической формы называются переменными действия, а результирующие канонические координаты — переменными действия-угла (см. ниже).
Существует также различие между полной интегрируемостью в смысле Лиувилля и частичной интегрируемостью, а также понятием суперинтегрируемости и максимальной суперинтегрируемости. По существу эти различия соответствуют размерам листьев слоения. Когда число независимых пуассоновских коммутирующих инвариантов меньше максимального (но в случае автономных систем их больше одного), мы говорим, что система частично интегрируема. Когда существуют дополнительные функционально независимые инварианты, помимо максимального числа, которое может быть коммутирующим по Пуассону, и, следовательно, размерность слоев инвариантного слоения меньше n, мы говорим, что система суперинтегрируема . Если существует правильное слоение с одномерными слоями (кривыми), то оно называется максимально суперинтегрируемым.
Когда конечномерная гамильтонова система вполне интегрируема по Лиувиллю, а множества уровня энергии компактны, потоки полны, а слоями инвариантного слоения являются торы . Тогда существуют, как упоминалось выше, специальные наборы канонических координат в фазовом пространстве , известные как переменные действия-угла , такие, что инвариантные торы являются совместными множествами уровня переменных действия . Таким образом, они обеспечивают полный набор инвариантов гамильтонова потока (константы движения), а угловые переменные являются естественными периодическими координатами на торах. Движение по инвариантным торам, выраженное через эти канонические координаты, линейно по угловым переменным.
В теории канонических преобразований существует метод Гамильтона–Якоби , в котором решения уравнений Гамильтона ищутся путем нахождения полного решения соответствующего уравнения Гамильтона–Якоби . В классической терминологии это описывается как определение преобразования к каноническому набору координат, состоящему из полностью игнорируемых переменных; т. е. те, в которых гамильтониан не зависит от полного набора канонических «позиционных» координат и, следовательно, все соответствующие канонически сопряженные импульсы являются сохраняющимися величинами. В случае компактных наборов уровней энергии это первый шаг к определению переменных действие-угол . В общей теории уравнений в частных производных типа Гамильтона–Якоби полное решение (т. е. зависящее от n независимых констант интегрирования, где n — размерность конфигурационного пространства) существует в очень общих случаях, но только в местный смысл. Поэтому существование полного решения уравнения Гамильтона–Якоби никоим образом не является характеристикой полной интегрируемости в смысле Лиувилля. Большинство случаев, которые могут быть «явно интегрированы», включают полное разделение переменных , при котором константы разделения предоставляют полный набор необходимых констант интегрирования. Только когда эти константы можно переинтерпретировать в рамках полного фазового пространства как значения полного набора коммутирующих функций Пуассона, ограниченных слоями лагранжева слоения, систему можно считать полностью интегрируемой в смысле Лиувилля.
Возрождение интереса к классическим интегрируемым системам произошло с открытием в конце 1960-х годов того, что солитоны , которые являются сильно стабильными, локализованными решениями уравнений в частных производных, таких как уравнение Кортевега – де Фриза (которое описывает одномерную недиссипативную динамику жидкости). в мелких бассейнах), можно понять, рассматривая эти уравнения как бесконечномерные интегрируемые гамильтоновы системы. Их исследование приводит к очень плодотворному подходу к «интеграции» таких систем, преобразованию обратного рассеяния и более общим обратным спектральным методам (часто сводящимся к задачам Римана – Гильберта ), которые обобщают локальные линейные методы, такие как анализ Фурье, на нелокальную линеаризацию, посредством решения связанных интегральных уравнений.
Основная идея этого метода состоит во введении линейного оператора, который определяется положением в фазовом пространстве и который развивается под действием динамики рассматриваемой системы таким образом, что его «спектр» (в подходящем обобщенном смысле) инвариантен. в процессе эволюции, ср. Слабая пара . В некоторых случаях это обеспечивает достаточное количество инвариантов или «интегралов движения», чтобы сделать систему полностью интегрируемой. В случае систем, имеющих бесконечное число степеней свободы, таких как уравнение КдФ, этого недостаточно для уточнения свойства интегрируемости по Лиувиллю. Однако для правильно определенных граничных условий спектральное преобразование фактически можно интерпретировать как преобразование к полностью игнорируемым координатам , в которых сохраняющиеся величины образуют половину дважды бесконечного набора канонических координат, и поток в них линеаризуется. В некоторых случаях это можно даже рассматривать как преобразование к переменным действия-угла, хотя обычно только конечное число переменных «положения» на самом деле являются угловыми координатами, а остальные некомпактны.
Другая точка зрения, возникшая в современной теории интегрируемых систем, возникла из вычислительного подхода, предложенного Рёго Хиротой [2] , который заключался в замене исходной нелинейной динамической системы билинейной системой уравнений с постоянными коэффициентами для вспомогательной величины, которая позже стала называться известная как τ-функция . Теперь они называются уравнениями Хироты . Хотя первоначально оно возникло просто как вычислительное устройство, без какой-либо явной связи с подходом обратного рассеяния или гамильтоновой структурой, оно, тем не менее, дало очень прямой метод, из которого можно было вывести важные классы решений, такие как солитоны .
Впоследствии это было интерпретировано Микио Сато [3] и его учениками [4] [5] сначала для случая интегрируемых иерархий УЧП, таких как иерархия Кадомцева–Петвиашвили , но затем для гораздо более общих классов интегрируемых иерархий. , как своего рода подход к универсальному фазовому пространству , в котором, как правило, коммутирующая динамика рассматривалась просто как определяемая фиксированным (конечным или бесконечным) абелевым групповым действием на (конечном или бесконечном) грассмановом многообразии . τ-функция рассматривалась как определитель оператора проектирования элементов групповой орбиты в некоторое начало в пределах грассманиана, а уравнения Хироты как выражение соотношений Плюккера , характеризующих вложение Плюкера грассманиана в проективизацию подходящим образом определенного (бесконечное) внешнее пространство , рассматриваемое как фермионное пространство Фока .
Существует также понятие квантовых интегрируемых систем.
В квантовой ситуации функции в фазовом пространстве должны быть заменены самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве , а понятие коммутирующих по Пуассону функций заменено коммутирующими операторами. Понятие законов сохранения должно быть специализировано к локальным законам сохранения. [6] Каждый гамильтониан имеет бесконечное множество сохраняющихся величин, заданных проекторами на его собственные состояния энергии . Однако это не предполагает какой-либо особой динамической структуры.
Чтобы объяснить квантовую интегрируемость, полезно рассмотреть ситуацию со свободными частицами. Здесь вся динамика сводима к одному телу. Квантовая система называется интегрируемой, если ее динамика сводима к двум телам. Уравнение Янга-Бакстера является следствием этой сводимости и приводит к тождествам следов, которые обеспечивают бесконечный набор сохраняющихся величин. Все эти идеи включены в квантовый метод обратной задачи рассеяния , где алгебраический анзац Бете можно использовать для получения явных решений. Примерами квантовых интегрируемых моделей являются модель Либа-Линигера , модель Хаббарда и несколько вариаций модели Гейзенберга . [7] Некоторые другие типы квантовой интегрируемости известны в явно зависящих от времени квантовых задачах, таких как управляемая модель Тэвиса-Каммингса. [8]
В физике вполне интегрируемые системы, особенно в бесконечномерной ситуации, часто называют точно решаемыми моделями. Это стирает различие между интегрируемостью в гамильтоновом смысле и более общим смыслом динамических систем.
В статистической механике существуют также точно решаемые модели, которые более тесно связаны с квантовыми интегрируемыми системами, чем с классическими. Два тесно связанных метода: анзац-подход Бете в его современном понимании, основанный на уравнениях Янга-Бакстера и квантовый метод обратной задачи рассеяния , предоставляют квантовые аналоги обратных спектральных методов. Они не менее важны при изучении разрешимых моделей статистической механики.
Иногда также используется неточное понятие «точной разрешимости», означающее: «Решения могут быть явно выражены через некоторые ранее известные функции», как если бы это было внутренним свойством самой системы, а не чисто вычислительной особенностью, которая у нас есть некоторые «известные» функции, через которые можно выразить решения. Это понятие не имеет внутреннего смысла, поскольку под «известными» функциями очень часто понимается именно то, что они удовлетворяют некоторым заданным уравнениям, и список таких «известных функций» постоянно растет. Хотя такая характеристика «интегрируемости» не имеет внутренней обоснованности, она часто подразумевает тот вид регулярности, которого следует ожидать в интегрируемых системах. [ нужна цитата ]
