Течение в фазовом пространстве , заданное дифференциальным уравнением маятника . По горизонтальной оси — положение маятника, по вертикальной — его скорость.
В математике поток формализует представление о движении частиц в жидкости. Потоки широко распространены в науке, включая инженерию и физику . Понятие потока является основой изучения обыкновенных дифференциальных уравнений . Неформально поток можно рассматривать как непрерывное движение точек во времени. Более формально поток — это групповое действие действительных чисел на множестве .
такой, что для всех x ∈ X и всех действительных чисел s и t
Принято писать φ t ( x ) вместо φ ( x , t ) , так что приведенные выше уравнения можно выразить как ( функция тождества ) и (групповой закон). Тогда для всех отображение является биекцией с обратным. Это следует из приведенного выше определения, и вещественный параметр t может быть взят как обобщенная функциональная степень , как в функции итерации .
Обычно требуется, чтобы потоки были совместимы со структурами , заданными на множестве X. В частности, если X оснащен топологией , то обычно требуется, чтобы φ была непрерывной . Если X наделено дифференцируемой структурой , то обычно требуется, чтобы φ была дифференцируемой . В этих случаях поток образует однопараметрическую группу гомеоморфизмов и диффеоморфизмов соответственно.
В определенных ситуациях можно также рассмотретьлокальный поток s, которые определены только в некотором подмножестве
Во многих областях, включая инженерию , физику и изучение дифференциальных уравнений , очень распространено использование обозначений, которые делают поток неявным. Таким образом, x ( t ) записано для и можно сказать, что переменная x зависит от времени t и начального условия x = x0 . Примеры приведены ниже.
Учитывая x в X , набор называется орбитой x относительно φ . Неформально ее можно рассматривать как траекторию частицы, которая первоначально находилась в точке x . Если поток порождается векторным полем , то его орбиты являются изображениями его интегральных кривых .
Примеры
Алгебраическое уравнение
Пусть – нестационарная траектория, которая является биективной функцией. Тогда поток можно определить как
Автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Пусть – (независимое от времени) векторное поле и решение начальной задачи
Тогда – поток векторного поля F . Это вполне определенный локальный поток при условии, что векторное поле липшицево -непрерывно . Тогда также липшицево-непрерывно везде, где оно определено. В общем, может быть трудно показать, что поток φ определен глобально, но есть один простой критерий: векторное поле F имеет компактный носитель .
В случае векторных полей, зависящих от времени , обозначается где находится решение
Тогда это зависящий от времени поток F . Это не «поток» по приведенному выше определению, но его легко можно рассматривать как таковой, переставив его аргументы. А именно, отображение
действительно удовлетворяет групповому закону для последней переменной:
Потоки векторных полей, зависящие от времени, можно рассматривать как частные случаи независимых от времени с помощью следующего приема. Определять
Тогда y ( t ) является решением «независимой от времени» задачи начального значения.
тогда и только тогда, когда x ( t ) является решением исходной нестационарной задачи начального значения. Более того, тогда отображение φ является в точности потоком «независимого от времени» векторного поля G .
Потоки векторных полей на многообразиях
Потоки нестационарных и нестационарных векторных полей определяются на гладких многообразиях точно так же, как они определены в евклидовом пространстве, и их локальное поведение одинаково. Однако глобальная топологическая структура гладкого многообразия сильно проявляется в том, какие глобальные векторные поля оно может поддерживать, и потоки векторных полей на гладких многообразиях действительно являются важным инструментом дифференциальной топологии. Основная часть исследований динамических систем проводится на гладких многообразиях, которые в приложениях рассматриваются как «пространства параметров».
Пусть Ω — подобласть (ограниченная или нет) области (где n — целое число). Обозначим через Γ его границу (предполагаемую гладкой). Рассмотрим следующее уравнение теплопроводности на Ω × (0, T ) для T > 0 :
со следующим начальным условием u (0) = u 0 в Ω .
Уравнение u = 0 на Γ × (0, T ) соответствует однородному граничному условию Дирихле. Математической постановкой этой проблемы может быть полугрупповой подход. Чтобы использовать этот инструмент, мы вводим неограниченный оператор ∆ D , определенный на своей области определения
есть замыкание бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в Ω по норме).
Для любого у нас есть
С помощью этого оператора уравнение теплопроводности принимает вид u ( 0) = u 0 . Таким образом, поток, соответствующий этому уравнению, имеет вид (см. обозначения выше)
где exp( t ∆ D ) — (аналитическая) полугруппа, порожденная ∆ D .
Решения волнового уравнения
Опять же, пусть Ω — подобласть (ограниченная или нет) области (где n — целое число). Обозначим через Г его границу (предполагаемую гладкой). Рассмотрим следующее волновое уравнение (при T > 0 ):
со следующими начальными условиями u (0) = u 1,0 в Ω и
Используя тот же полугрупповой подход, что и в случае с уравнением теплопроводности выше. Запишем волновое уравнение как уравнение в частных производных первого порядка по времени, введя следующий неограниченный оператор:
с включенной областью определения (оператор Δ D определен в предыдущем примере).
Введем векторы-столбцы
(где и ) и
С учетом этих понятий волновое уравнение принимает вид U ( 0) = U 0 .
Таким образом, поток, соответствующий этому уравнению, имеет вид
где – (унитарная) полугруппа, порожденная
Поток Бернулли
Эргодические динамические системы , то есть системы, демонстрирующие случайность, также демонстрируют потоки. Самым знаменитым из них, пожалуй, является поток Бернулли . Теорема Орнштейна об изоморфизме утверждает, что для любой заданной энтропии H существует поток φ ( x , t ) , называемый потоком Бернулли, такой, что поток в момент времени t = 1 , т.е. φ ( x , 1) , является потоком Бернулли . сдвиг .
Более того, этот поток уникален, вплоть до постоянного масштабирования времени. То есть, если ψ ( x , t ) — другой поток с той же энтропией, то ψ ( x , t ) = φ ( x , t ) для некоторой константы c . Понятие единственности и изоморфизма здесь есть понятие изоморфизма динамических систем . Многие динамические системы, в том числе бильярд Синая и потоки Аносова, изоморфны сдвигам Бернулли.