В математике простая группа Ли — это связная неабелева группа Ли G , не имеющая нетривиальных связных нормальных подгрупп . Список простых групп Ли можно использовать для чтения списка простых алгебр Ли и римановых симметрических пространств .
Вместе с коммутативной группой Ли действительных чисел и группой комплексных чисел единичной величины U (1) (единичный круг) простые группы Ли дают атомные «блоки», из которых состоят все (конечномерные) связали группы Ли посредством операции расширения группы . Многие часто встречающиеся группы Ли либо просты, либо «близки» к простоте: например, так называемая « специальная линейная группа » SL( n ) из матриц размером n на n с определителем, равным 1, проста для всех n > 1.
Первая классификация простых групп Ли была сделана Вильгельмом Киллингом , а позже эта работа была усовершенствована Эли Картаном . Окончательную классификацию часто называют классификацией Киллинга-Картана.
К сожалению, не существует общепринятого определения простой группы Ли. В частности, она не всегда определяется как группа Ли, простая как абстрактная группа. Авторы расходятся во мнениях относительно того, должна ли простая группа Ли быть связной, разрешено ли ей иметь нетривиальный центр или является ли она простой группой Ли.
Наиболее распространенное определение состоит в том, что группа Ли является простой, если она связна, неабелева, и каждая замкнутая связная нормальная подгруппа является либо единицей, либо всей группой. В частности, простым группам разрешено иметь нетривиальный центр, но он не является простым.
В этой статье перечислены связные простые группы Ли с тривиальным центром. Зная их, можно легко перечислить те, у которых центр нетривиален, следующим образом. Любая простая группа Ли с тривиальным центром имеет универсальное покрытие , центром которого является фундаментальная группа простой группы Ли. Соответствующие простые группы Ли с нетривиальным центром можно получить как факторы этого универсального накрытия по подгруппе центра.
Эквивалентное определение простой группы Ли следует из соответствия Ли : Связная группа Ли является простой, если ее алгебра Ли проста . Важным техническим моментом является то, что простая группа Ли может содержать дискретные нормальные подгруппы. По этой причине определение простой группы Ли не эквивалентно определению группы Ли, которая проста как абстрактная группа .
Простые группы Ли включают в себя множество классических групп Ли , которые обеспечивают теоретико-групповую основу для сферической геометрии , проективной геометрии и родственных геометрий в смысле программы Эрлангена Феликса Кляйна . В ходе классификации простых групп Ли выяснилось, что существует также несколько исключительных возможностей, не соответствующих ни одной известной геометрии. Эти исключительные группы объясняют множество особых примеров и конфигураций в других разделах математики, а также в современной теоретической физике .
Контрпример: общая линейная группа не является ни простой, ни полупростой . Это связано с тем, что кратные единице образуют нетривиальную нормальную подгруппу, тем самым уклоняясь от определения. Эквивалентно, соответствующая алгебра Ли имеет вырожденную форму Киллинга , поскольку кратные единицы отображаются в нулевой элемент алгебры. Таким образом, соответствующая алгебра Ли также не является ни простой, ни полупростой. Другим контрпримером являются специальные ортогональные группы четной размерности. У них матрица находится в центре , и этот элемент связан с единичным элементом путем, поэтому эти группы ускользают от определения. Обе они являются редуктивными группами .
Алгебра Ли простой группы Ли является простой алгеброй Ли. Это взаимно однозначное соответствие между связными простыми группами Ли с тривиальным центром и простыми алгебрами Ли размерности больше 1. (Авторы расходятся во мнениях относительно того, следует ли считать одномерную алгебру Ли простой.)
Над комплексными числами полупростые алгебры Ли классифицируются по диаграммам Дынкина типов «ABCDEFG». Если L — настоящая простая алгебра Ли, ее комплексификация — это простая комплексная алгебра Ли, если только L не является комплексификацией алгебры Ли, и в этом случае комплексификация L является продуктом двух копий L . Это сводит проблему классификации вещественных простых алгебр Ли к задаче нахождения всех вещественных форм каждой комплексной простой алгебры Ли (т. е. вещественных алгебр Ли, комплексификация которых является заданной комплексной алгеброй Ли). Таких форм всегда как минимум 2: разъемная и компактная, а также обычно еще несколько. Различные действительные формы соответствуют классам автоморфизмов порядка не выше 2 комплексной алгебры Ли.
Симметричные пространства классифицируются следующим образом.
Во-первых, универсальное накрытие симметрического пространства по-прежнему симметрично, поэтому мы можем свести его к случаю односвязных симметрических пространств. (Например, универсальным покрытием реальной проективной плоскости является сфера.)
Во-вторых, произведение симметричных пространств симметрично, поэтому мы можем просто классифицировать неприводимые односвязные пространства (где неприводимость означает, что их нельзя записать как произведение меньших симметричных пространств).
Неприводимые односвязные симметрические пространства — это вещественная прямая и ровно два симметрических пространства, соответствующие каждой некомпактной простой группе Ли G : одно компактное и одно некомпактное. Некомпактная группа — это покрытие фактора группы G по максимальной компактной подгруппе H , а компактная — это покрытие фактора компактной формы группы G по той же подгруппе H. Эта двойственность между компактными и некомпактными симметричными пространствами является обобщением хорошо известной двойственности между сферической и гиперболической геометрией.
Симметричное пространство с согласованной комплексной структурой называется эрмитовым. Компактные односвязные неприводимые эрмитовы симметрические пространства распадаются на 4 бесконечных семейства, у которых осталось 2 исключительных, каждое из которых имеет некомпактное двойственное семейство. Кроме того, комплексная плоскость также является эрмитовым симметричным пространством; это дает полный список неприводимых эрмитовых симметрических пространств.
Четыре семейства — это типы A III, B I и D I для p = 2 , D III и C I, а два исключительных — это типы E III и E VII комплексных размерностей 16 и 27.
обозначают действительные числа, комплексные числа, кватернионы и октонионы .
В таких символах, как E 6 −26 для исключительных групп, показатель −26 является сигнатурой инвариантной симметричной билинейной формы, которая отрицательно определена на максимальной компактной подгруппе. Она равна размерности группы минус удвоенная размерность максимальной компактной подгруппы.
Фундаментальная группа, указанная в таблице ниже, является фундаментальной группой простой группы с тривиальным центром. Подгруппам этой фундаментальной группы (по модулю действия внешней группы автоморфизмов) соответствуют другие простые группы с той же алгеброй Ли.
Простые группы Ли полностью классифицированы. Классификация обычно проводится в несколько этапов, а именно:
Можно показать, что фундаментальная группа любой группы Ли является дискретной коммутативной группой . Учитывая (нетривиальную) подгруппу фундаментальной группы некоторой группы Ли , можно использовать теорию накрытий , чтобы построить новую группу с центром. Теперь любую (действительную или комплексную) группу Ли можно получить, применив эту конструкцию к бесцентровым группам Ли. Обратите внимание, что полученные таким образом реальные группы Ли могут не быть реальными формами какой-либо комплексной группы. Очень важным примером такой реальной группы является метаплектическая группа , которая появляется в теории бесконечномерных представлений и физике. Если взять полную фундаментальную группу, полученная группа Ли является универсальным накрытием бесцентровой группы Ли и является односвязной. В частности, каждая (действительная или комплексная) алгебра Ли также соответствует уникальной связной и односвязной группе Ли с этой алгеброй Ли, называемой «односвязной группой Ли», связанной с
Каждая простая комплексная алгебра Ли имеет единственную действительную форму, соответствующая ей бесцентровая группа Ли компактна . Оказывается, односвязная группа Ли в этих случаях также компактна. Компактные группы Ли имеют особенно удобную теорию представлений благодаря теореме Питера-Вейля . Как и простые комплексные алгебры Ли, бесцентровые компактные группы Ли классифицируются диаграммами Дынкина (впервые классифицированными Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном ).
Для бесконечной (A, B, C, D) серии диаграмм Дынкина связная компактная группа Ли, связанная с каждой диаграммой Дынкина, может быть явно описана как матричная группа, а соответствующая бесцентровая компактная группа Ли описывается как фактор по подгруппе скалярных матриц. Для типов A и C мы можем найти явные матричные представления соответствующей односвязной группы Ли в виде матричных групп.
A r имеет в качестве ассоциированной односвязной компактной группы специальную унитарную группу SU ( r + 1) и в качестве ассоциированной бесцентровой компактной группы проективную унитарную группу PU( r + 1) .
Br имеет в качестве ассоциированных с ним бесцентровых компактных групп нечетные специальные ортогональные группы SO (2 r + 1) . Однако эта группа не является односвязной: ее универсальным (двойным) накрытием является спиновая группа .
Cr имеет в качестве ассоциированной односвязной группы группу унитарных симплектических матриц Sp( r ) и в качестве ассоциированной бесцентровой группы группу Ли PSp( r ) = Sp( r ) /{I, −I} проективных унитарных симплектических матриц. . Симплектические группы имеют двойное покрытие метаплектической группой .
D r имеет в качестве ассоциированной компактной группы четные специальные ортогональные группы SO (2 r ) и в качестве ассоциированной бесцентровой компактной группы проективную специальную ортогональную группу PSO(2 r ) = SO(2 r )/{I, −I}. Как и в серии B, SO(2 r ) не является односвязным; ее универсальным покрытием опять же является спиновая группа , но последняя снова имеет центр (см. ее статью).
Диаграмма D 2 представляет собой два изолированных узла, так же, как A 1 ∪ A 1 , и это совпадение соответствует гомоморфизму покрывающего отображения из SU(2) × SU(2) в SO(4), заданному умножением кватернионов ; см. кватернионы и пространственное вращение . Таким образом, SO(4) не является простой группой. Кроме того, диаграмма D 3 аналогична диаграмме A 3 и соответствует гомоморфизму накрывающего отображения из SU(4) в SO(6).
В дополнение к четырем семействам Ai , Bi , Ci и Di , указанным выше , существует пять так называемых исключительных диаграмм Дынкина G2 , F4 , E6 , E7 и E8 ; этим исключительным диаграммам Дынкина также соответствуют односвязные и бесцентровые компактные группы. Однако группы, связанные с исключительными семействами, описать труднее, чем группы, связанные с бесконечными семействами, главным образом потому, что в их описаниях используются исключительные объекты . Например, группа, ассоциированная с G2, является группой автоморфизмов октонионов , а группа, ассоциированная с F4, является группой автоморфизмов некоторой алгебры Альберта .
См. также Е 7 + 1 ⁄ 2 .
В следующей таблице перечислены некоторые группы Ли с простыми алгебрами Ли малой размерности. Все группы на данной прямой имеют одну и ту же алгебру Ли. В случае размерности 1 группы абелевы и непросты.
Группа с простой связкой — это группа Ли , диаграмма Дынкина которой содержит только простые связи, и поэтому все ненулевые корни соответствующей алгебры Ли имеют одинаковую длину. Все группы серий A, D и E имеют простое соединение, но ни одна группа типа B, C, F или G не имеет простого соединения.
